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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 5.3


第三节
等比数列

【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)等比数列及其相关概念:
前一项 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的_______ 等比数列 同一个常数 的比都等于___________ 公 比 常数 叫做等比数列的公比,常用字母 等比数列定义中的_____ q(q≠0)表示
a n ?1 ?q *,q为非零常数) {an}为等比数列?________(n∈N an

公式表示

如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么 等比中项 ? ab 称G为a,b的等比中项,且有G=_______

(2)等比数列的通项公式:
n-1 a =a q n 1 若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则其通项公式为________

(a1≠0,q≠0)(n∈N*). (3)等比数列的前n项和公式: na1 ①当公比q=1时,Sn=___.
a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ②当公比q≠1时,Sn=________=_______. 1? q 1? q

2.必备结论

教材提炼

记一记

等比数列的常见性质: (1)项的性质:

①an=amqn-m;
②am-kam+k=am2(m>k,m,k∈N*). a p·a q 2 a.若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=______=a k ;

b.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λ an},{|an|}, { 1 }, {an2},{an·bn}, { n }(λ ≠0)仍然是等比数列; c.在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即
a bn an

an,an+k,an+2k,an+3k,?为等比数列,公比为qk.

(2)和的性质: ①Sm+n=Sn+qnSm; ②若等比数列{an}共2k(k∈N*)项,则
S偶 S奇 ? q.

S3n-S2n ③公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,______ S3n-S2n 不一定 仍成等比数列,其公比为qn,当公比为-1时,Sn,S2n-Sn,______ 构成等比数列.

(3)等比数列{an}的单调性: ①满足 ?
?a1 ? 0, ?a1 ? 0, 递增 数列; 时,{an}是_____ 或? ?q ? 1 ?0 ? q ? 1 ?q ? 1

a1 ? 0, ?a1 ? 0,时,{a }是_____ 递减 数列; ②满足 ? 或? n ? ?0 ? q ? 1

常 数列; ③当 ?a1 ? 0, 时,{an}为___
? ?q ? 1

④当q<0时,{an}为摆动数列.

(4)其他性质: ①{an}为等比数列,若a1·a2·?·an=Tn,则 Tn , T2n , T3n ,?成等比数列;
Tn T2n

②当数列{an}是各项都为正数的等比数列时,数列{lgan}是公差为lgq 的等差数列.

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:基本量运算中的消元法、待定系数法、整体代入法、等 比数列的四个判定方法. (2)数学思想:函数与方程、分类讨论、转化与化归. (3)记忆口诀:等差等比两数列,通项公式n项和.数列问题多变幻,方程 化归整体算.归纳思想非常好,编个程序好思考.一算二看三联想,猜测 证明不可少.

【小题快练】

1.思考辨析

静心思考

判一判

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个

数列是等比数列.

(

)
( )

(2)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.

(3)G为a,b的等比中项?G2=ab. (

)

(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列. ( (5)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列. (6)数列{an}的通项公式是an =an,则其前n项和为S ( ) ) )

n a(1 ? a ) ( = . n 1? a

【解析】(1)错误.根据等比数列的定义可知,把“常数”改为“同一 非零常数”后结论正确. (2)错误.q=0时{an}不是等比数列. (3)错误.G为a,b的等比中项?G2=ab; 反之不真,如a=0,b=0,G=0. (4)错误,如数列{an}为1,-1,1,-1,?, 则数列{bn}为0,0,0,0,?不是等比数列.

(5)错误.等比数列{an}中可能有小于零的项,而当an<0时lnan无意义. (6)错误.当a=1时结论不成立. 答案:(1)〓 (2)〓 (3)〓 (4)〓 (5)〓 (6)〓

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(必修五P30习题1-3A组T3改编)在等比数列{an}中,若a1<0,a2=18, a4=8,则公比q等于
A. 3 2 B. 2 3

(
C. ? 2 3

)
2 2 D. 或 ? 3 3

?a1 ? 27, ?a1 ? ?27, ?a1q ? 18, ? ? 【解析】选C.方法一:由 ? 3 解得 ? 2 或 ? 2 q ? , q ? ? . ? ? ?a1q ? 8, 3 3 ? ? 2 又a1<0,因此 q ? ? . 3 4 a 4 a1q 3 8 4 2 2 方法二:由已知得 即 q ? , ? ?q ? ? , 9 a 2 a1q 18 9 a 又因为a1<0,a2=18>0,所以 q ? 2 ? 0, 所以 q ? ? 2 . a1 3

(2)(必修5P31习题1-3B组T3改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn,
S 若 S6 ? 1 , 则 9 =
S3 2

S3

.

【解析】S3,S6-S3,S9-S6成等比数列, 则(S6-S3)2=S3·(S9-S6),
2 =S ·(S -S ), 由 S6 ? 1 知S6 ? 1 S3,则 1 S3 3 9 6

4 所以 S9 ? 3 S3,所以 S9 ? 3 . S3 4 4 答案: 3 4

S3

2

2

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·北京高考)设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是

“{an}为递增数列”的
A.充分不必要条件

(

)

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选D.当a1<0,q>1时,{an}是递减数列;

当{an}为递增数列时,a1<0,0<q<1或a1>0,q>1.
因此,“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.

(2)(2014·天津高考)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为
其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=
A.2 B. ? 2 C. 1 2 D. ? 1 2

(

)

【解析】选D.因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1·S4, 即(a1+a1-1)2= a1 (4a1- ? 4 ? 3), 解得 a1 ? - 1 .
2 1 2

(3)(2015·江南十校模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满 足:3a1-a82+3a15=0,且a8=b10,则b3b17= ( A.9 B.12 C.16 ) D.36

【解析】选D.由3a1-a82+3a15=0得:a82=3a1+3a15=3(a1+a15)=3〓2a8, 即a82-6a8=0,因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,b3b17=b102=36.

(4)(2014·广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12
=2e5,则lna1+lna2+?+lna20= .

【解析】方法一:各项均为正数的等比数列{an}中
a10a11=a9a12=?=a1a20,

则a1a20=e5,
lna1+lna2+?+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.

方法二:各项均为正数的等比数列{an}中a10a11=a9a12=?=a1a20,则

a1a20=e5,
设lna1+lna2+?+lna20=S,

则lna20+lna19+?+lna1=S,
2S=20ln(a1a20)=100,S=50.

答案:50

考点1

等比数列的基本运算

【典例1】(1)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9, 则a 1=
A. 1 3

(
B. ?

)
1 3 C. 1 9 D. ? 1 9

(2)(2014·福建高考)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. ①求an. ②设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.

【解题提示】(1)利用S3=a1+a2+a3,求出q2,再解方程求得a1.
(2)①利用等比数列通项公式求出首项和公比.②由an求出bn的通项公

式,得出{bn}为等差数列,利用等差数列前n项和公式求前n项和.

【规范解答】(1)选C.由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1, 即a1q2=9a1,解得q2=9,又因为a5=9,所以a1q4=9,解得 a1 ? 1 . (2)①设{an}的公比为q,依题意得 ? 解得 ?
?a1 ? 1, ?q ? 3.

?a1q ? 3,
4 ?a1q ? 81,

9

因此,an=3n-1. ②因为bn=log3an=n-1,
n(b1 ? b n ) n 2 ? n 所以数列{bn}为等差数列,其前n项和 Sn ? ? . 2 2

【互动探究】若本例题(1)已知条件不变,求其前n项和Sn.
【解析】由本例(1)知 a1 ? 1 , q=〒3,所以
1 (1 ? 3n ) 1 n 当q=3时,Sn ? 9 ? (3 ? 1); 1? 3 18 1 [1 ? (?3) n ] 1 当q=-3时,Sn ? 9 ? [1 ? (?3) n ] , 1 ? (?3) 36 因此 Sn ? 1 (3n ? 1)或Sn ? 1[1 ? ? ?3?n ] . 18 36
9

【规律方法】解决等比数列有关问题的常见思想方法 (1)方程的思想.等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三 求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解. (2)数形结合的思想.通项an=a1qn-1可化为 a n ? ( a1 )q n , 因此an是关于n 的函数,点(n,an)是曲线 y ? ( a1 )q x 上一群孤立的点.
q q

(3)分类讨论的思想.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨
论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和
a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q Sn ? ? . 1? q 1? q

(4)整体思想.应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 进行求解. (5)等比数列设项技巧

a1 当成整体 1? q

对称设元法:一般地,连续奇数个项成等比数列,可设为?, x , x, xq,?;连续偶数个项成等比数列,可设为?, x3 , x , xq,xq3,?(注意:
q q

q

此时公比q2>0,并不适合所有情况)这样即可减少未知量的个数,也使 得解方程较为方便.

【变式训练】1.(2015·新余模拟)等比数列{an}中,已知a1+a2= 1 ,
2

a3+a4=1,则a7+a8的值为

.

【解析】因为数列{an}是等比数列,所以数列{an+an+1}也是等比数列, 且公比为 2 ,故a7+a8= 1 〓( 2 )6=4.
2

答案:4

2.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列. (1)求{an}的公比q. (2)若a1-a3=3,求Sn. 【解析】(1)因为S1,S3,S2成等差数列, 所以a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). 由于a1≠0,故2q2+q=0,又q≠0,从而q=- 1 .
2

(2)由已知可得 a1 ? a1 (? ) 2 ? 3, 故a1=4,
1 4[1 ? (? ) n ] 8 1 n 2 从而 S ? ? [1 ? ( ? ) ]. n 1 3 2 1 ? (? ) 2

1 2

【加固训练】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,且数列{Sn}是以2

为公比的等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式.(2)求a1+a3+?+a2n+1.

【解析】(1)因为S1=a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列, 所以Sn=2n-1. 又当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =2n-2(2-1)=2n-2,故
,n ? 1 , ?1 a n ? ? n ?2 ?2 ,n ? 2.

(2)因为a3,a5,?,a2n+1是以2为首项、4为公比的等比数列,
n n 2(1 ? 4 ) 2(4 ? 1) 所以a3+a5+?+a2n+1= ? . 1? 4 3 n 2n ?1 2(4 ? 1) 2 ?1 所以a1+a3+?+a2n+1= 1 ? ? . 3 3

考点2

等比数列的判定与证明

【典例2】(1)(2013·福建高考)已知等比数列{an}的公比为q,记

bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+?+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·?·am(n-1)+m
(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是 ( )

A.数列{bn}为等差数列,公差为qm
B.数列{bn}为等比数列,公比为q2m

C.数列{cn}为等比数列,公比为 q m
D.数列{cn}为等比数列,公比为 q m

2

m

(2)(2015·镇海模拟)已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ ,an+1= 2 a n ? n ? 4,
3

bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ 为实数,n为正整数. ①对任意实数λ ,证明:数列{an}不是等比数列; ②试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.

【解题提示】(1)判定一个数列是等差或等比数列 ,可利用作差法或作 商法,看看结果是不是常数. (2)①只要证明这个数列中有连续的三项不是等比数列即可 ; ②若判断{bn}为等比数列,则必须证明对任意的正整数n,这个数列都 符合等比数列的定义.

【规范解答】(1)选C.因为bn=am(n-1)(q+q2+?+qm),
b n ?1 a mn (q ? q 2 ? … ? q m ) ? 所以 bn a m(n ?1) (q ? q 2 ? … ? q m ) = a mn ? q m (常数). a m(n ?1)

bn+1-bn不是常数.
又因为cn=(am(n-1)
cn a m(n ?1)

)mq1+2+?+m=

(a m(n ?1) q
2

m ?1 m 2

) ,

所以 c n ?1 ? ( a mn ) m ? (q m ) m ? q m (常数).
cn+1-cn不是常数,故选C.

(2)①假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,
则有a22=a1a3,即 ( ? ? 3) 2 ? ?( ? ? 4),
2 3 4 9

故 4 ? 2 ? 4? ? 9 ? 4 ? 2 ? 4?,
9 9

即9=0,矛盾,所以{an}不是等比数列.

②因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=
2 2 (?1) n ?1 ( a n ? 2n ? 14) ? ? (?1) n (a n ? 3n ? 21) 3 3 2 ? ? bn . 3

又b1=-(λ+18),所以当λ=-18时,

bn=0(n∈N*),此时{bn}不是等比数列;
当λ≠-18时,b1=-(λ+18)≠0,由 b n ?1 ? ? 2 b n .
3

可知bn≠0,所以 bn ?1 ? ? 2 (n∈N*).故当λ≠-18时,
数列{bn}是以-(λ+18)为首项, ? 2 为公比的等比数列.
3

bn

3

【易错警示】解答本例第(2)题容易出现忽略对等比数列各项均不为 零的讨论而致误.

【规律方法】等比数列的判定方法
(1)定义法:若
a n ?1 =q(q为非零常数,n∈N*)或 a n =q(q为非零常数且 an a n ?1

n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)中项公式法:若数列{an}中,an≠0且an+12=an·an+2(n∈N*),则数列 {an}是等比数列.

(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常 数,n∈N*),则{an}是等比数列. (4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且 k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.

提醒:(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明,而后两 种方法常用于选择题、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等 比数列即可.

【变式训练】已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-

an-1(n≥2),且an+Sn=n,设cn=an-1.
(1)求证:{cn}是等比数列. (2)求数列{bn}的通项公式.

【解析】(1)因为an+Sn=n,① 所以an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得an+1-an+an+1=1, 所以2an+1=an+1,所以2(an+1-1)=an-1, 所以 a n ?1 ? 1 ? 1 , 所以{an-1}是等比数列.
a n ?1 2

1 2 因为首项c1=a1-1= ? 1 , 从而cn≠0, 2 1 q ? . 所以公比 2 所以{cn}是以 ? 1 为首项,以 1 为公比的等比数列. 2 2

又a1+a1=1,所以 a1 ? ,

(2)由(1)可知 cn ? (? 1 ) ( 1 ) n ?1 ? ?( 1 ) n,

所以 a n ? cn ? 1 ? 1 ? ( ) n .
所以当n≥2时,bn=an-an-1= 1 ? ( 1 ) n
1 1 1 1 ?[1 ? ( ) n ?1 ] ? ( ) n ?1 ? ( ) n ? ( ) n , 2 2 2 2 又 b1 ? a1 ? 1 代入上式也符合. 2 所以 b n ? ( 1 ) n . 2 2

1 2

2

2

2

【加固训练】已知单调递增的正项等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6, (1)求an,Sn. (2)求证:S7,S14-S7,S21-S14成等比数列. (3)若数列{bn}满足bn=2an,在直角坐标系中作出bn=f(n)的图像. (4)若数列{cn}满足 cn ? 1 , 其前n项和为Tn,试比较Tn与2的大小.
an

【解析】(1)设递增的正项等比数列{an}的公比为q,依题设有

a5-a1=a1

(q4-1)=15,a

4-a2=a1

q(q2-1)=6,两式相除,得
1 2

q2 ? 1 5 ? , q 2

即2q2-5q+2=0,解得q=2或 q ? . 因为{an}是递增的正项等比数列,故q=2,代入a1(q4-1)=15,得a1=1. 所以an=a1 qn-1=2n-1,
a1 (1 ? q n ) Sn ? ? 2n ? 1 , 1? q

所以an=2n-1,Sn=2n-1.

(2)由(1)知S7=27-1,S14=214-1,S21=221-1, 所以S14-S7=27(27-1),S21-S14=214(27-1), 这样有(S14-S7)2=214(27-1)2=S7(S21-S14), 故S7,S14-S7,S21-S14成等比数列.

(3)f(n)=2n,则bn=f(n)的图像是函数f(x)=2x的图像上的一列孤立的

点.如图所示.
(4)cn=
1 1 1 1 1 ? n ?1 , 则Tn=c1+c2+?+cn= 1 ? ? 2 ? … ? n ?1 an 2 2 2 2

1 1 ? ( )n 1 2 ? ? 2(1 ? n ) ? 2. 1 2 1? 2

考点3

等比数列性质的应用

知·考情
等比数列的性质是高考重点考查的内容之一,题型有选择题、填 空题,近几年也与方程、不等式、三角函数等内容交汇考查,主要考查 通项公式的变式、等比中项的变形、前n项和公式的变形等求值运算 或判断证明等问题.

明·角度

命题角度1:根据等比数列的性质求基本量
【典例3】(1)(2015·济南模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中,
a 3 ? 2 ? 1,a 5 ? 2 ? 1,则a32+2a2a6+a3a7=

(

) D. 8 ? 4 2

A.4

B.6

C.8

(2)(2015·南京模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,

若Sn=2,S3n=14,则S4n等于 (
A.80 B.30

)
C.26 D.16

【解题提示】(1)利用等比数列的性质,将所求式中的a2a6替换为 a3a5,a3a7替换为a52,然后将所求式配方转化为(a3+a5)2求值. (2)利用等比数列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n仍成等比数列的性质解 方程求值.

【规范解答】(1)选C.在等比数列中,a3a7=a52,a2a6=a3a5,所以
a32+2a2a6+a3a7=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2= ( 2 ?1 ? 2 ? 1)2 ? (2 2)2 ? 8. (2)选B.由等比数列性质得, Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列, 则(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n), 所以(S2n-2)2=2〓(14-S2n).又S2n>0,得S2n=6, 又(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)(S4n-S3n), 所以(14-6)2=(6-2)(S4n-14).解得S4n=30.

命题角度2:根据等比数列的性质判断单调性、求最大(小)项

【典例4】(2013·天津高考)已知首项为 3 的等比数列{an}不是递减
2

数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 Tn ? Sn- 1 (n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
Sn

【解题提示】(1)由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列求等比数列{an}的公

比,然后写出其通项公式.
(2)写出等比数列{an}的前n项和Sn,表示 Tn ? Sn ? 数讨论其最值.
1 , 分n为奇数或偶 Sn

【规范解答】(1)设等比数列{an}的公比为q,由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等

差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是 q 2 ? a 5 ? 1 .
又{an}不是递减数列且 a1 ? 3 , 所以 q ? - . 2
2 1

a3

4

故等比数列{an}的通项公式为 a n ? ? (- ) n-1
? (- 1) n-1 3 . n 2

3 2

1 2

1 ? 1 ? , n为奇数, n 1 n ? 2 (2)由(1)得 Sn ? 1-(- ) ? ? ? 1 2 ?1 - n , n为偶数. ? ? 2

当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以 1 ? S ? S ? 3 , n 1
2

故 0 ? Sn- 1 ? S1- 1 ? 3 - 2 ? 5 .
Sn S1 2 3 6

当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,所以

3 ? S2 ? Sn ? 1, 4

故 0 ? Sn- 1 ? S2- 1 ? 3- 4 ? - 7 .
综上,对于n∈N*,总有 - 7 ? Sn- 1 ? 5 .
Sn S2 4 3 12 12 Sn 6 所以数列{Tn}最大项的值为 5 , 最小项的值为 - 7 . 6 12

悟·技法
应用等比数列性质解题的类型及思路 (1)求基本量的值 灵活运用等比数列的定义、通项公式、前n项和公式与性质,以及函数 与方程的思想、整体思想、分类讨论思想等思想方法求解.

(2)判断单调性,求最大(小)项

根据题目条件,认真分析,确定首项与公比,发现具体的变化特征,利用
数列相邻两项的大小关系,从而判断单调性或利用不等式组求解最大 (小)项问题.

通·一类 1.(2015·鹰潭模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S4=8,S8=12, 则a13+a14+a15+a16的值为 ( A.1 B.2 ) C.3 D.4

【解析】选A.因为数列{an}是等比数列,所以a1+a2+a3+a4,a5+a6+a7+a8, a9+a10+a11+a12,a13+a14+a15+a16也成等比,由题设知a1+a2+a3+a4=S4=8,

a5+a6+a7+a8=S8-S4=12-8=4,所以,a13+a14+a15+a16=8〓( )3=1.

1 2

2.(2015·杭州模拟)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),

且a2+a4+a6=9,则 log 1 (a 5 ? a 7 ? a 9 ) 的值是(
1 A. ? 5
3

)

B. ? 5

C.5

D.

1 5

【解析】选B.由log3an+1=log3an+1(n∈N*),得log3an+1-log3an=1, 即 log3 a n ?1 ? 1, 解得 a n ?1 ? 3, 所以数列{an}是公比为3的等比数列,
an an

因为a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3,所以a5+a7+a9=9〓33=35.所以
log 1 ? a 5 ? a 7 ? a 9 ? ? log 1 35 ? ?log3 35 ? ?5.
3 3

3.(2015·南昌模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中,

(a1+a3)(a5+a7)=4 a 4 2 ,则下列结论中正确的是
A.数列{an}是递增数列 B.数列{an}是递减数列 C.数列{an}是常数列

(

)

D.数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列

【解析】选C.各项均为正数的等比数列{an}中,因为(a1+a3)(a5+a7)

=4a42成立,即a1a5+a1a7+a3a5+a3a7=4a42成立.
利用等比数列的定义和性质化简可得a32+a42+a42+a52=4a42,进一步化简 得a32+a52=2a42. 设公比为q,则得a12q4+a12q8=2a12q6,化简可得1+q4=2q2,即(q2-1)2=0, 所以q2=1,故q=1(由于各项均为正数的等比数列,故q=-1舍去).故此等 比数列是常数列.

4.(2015·武汉模拟)若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且

S1,S2,S4成等比数列.
(1)求等比数列S1,S2,S4的公比. (2)若S2=4,求数列{an}的通项公式. (3)在(2)的条件下,设bn=
3 , Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn< a n a n ?1

m 对所有n∈N*都成立的最小正整数m. 20

【解析】(1)因为{an}为等差数列,设{an}的公差为d(d≠0),所以 S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d.因为S1,S2,S4成等比数列且设其公比为q, 所以S1·S4= S22.所以a1(4a1+6d)=(2a1+d)2.所以2a1d=d2.因为公差 d≠0,所以d=2a1.所以q= S2 ? 4a1 =4.
S1 a1

(2)因为S2=4,所以2a1+d=4.又d=2a1,所以a1=1,d=2.所以an=2n-1.

(3)因为 bn ?

3 1 1 ? ( ? ), ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 2n ? 1 2n ? 1
3 3 5 1 3 1 3 )] ? (1 ? )< . 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2 ? 20 2

3

所以 T ? 3 [(1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ??? ( 1 n
2

要使 T < m 对所有n∈N*都成立,则有 m ? 3 , 即m≥30. n
20

因为m∈N*,所以m的最小值为30.

创新体验6 以等比数列为背景的新定义问题 【创新点拨】

1.高考考情:先定义一个(一类)新数列,然后要求根据新定义推断这个
新数列的一些性质或判断一个数列是否属于这类新数列的问题是近年

来高考中逐渐兴起的一个命题方向,考查频次较高.

2.命题形式:常见的有新定义、新法则、新运算等,形式新颖,常给人 耳目一新的感觉.

【新题快递】 1.(2015·武汉模拟)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对 于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保 等比数列函数”.现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数: ①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= |x| ;④f(x)=ln|x|.则其中是“保等 比数列函数”的f(x)的序号为 ( )

A.①②

B.③④

C.①③

D.②④

【解析】选C.设{an}的公比为q.

①f(an)=an2,
a n ?12 因为 2 ? ( a n ?1 ) 2 ? q 2 , an an

所以{f(an)}是等比数列,排除B,D. ③f(an)= |a n|, 因为 |a n ?1| ? | a n ?1 | ? q ,
|a n| an

所以{f(an)}是等比数列.

【一题多解】解答本题,你知道几种解法?

解答本题,还可用以下解法:
不妨令an=2n.①因为f(x)=x2,所以f(an)=4n,显然{f(2n)}是首项为4, 公比为4的等比数列. ②因为f(x)=2x, 所以f(a1)=f(2)=22,f(a2)=f(4)=24, f(a3)=f(8)=28,

所以

f ?a2 ? f ? a1 ?

f ? a 3 ? 28 24 ? 2 ?4? ? 4 ? 16, 2 f ?a 2 ? 2

所以{f(an)}不是等比数列.
③因为f(x)= |x| , 所以f(an)= 2n ?

? 2? .
n

显然{f(an)}是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列. ④因为f(x)=ln|x|, 所以f(an)=ln2n=nln2. 显然{f(an)}是首项为ln2,公差为ln2的等差数列.

2.(2015·杭州模拟)设Sn为数列{an}的前n项和,若

S2n (n∈N*)是非零 Sn

常数,则称该数列为“和等比数列”,若数列{cn}是首项为2,公差为 d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,则d= .

n c ?c 【解析】由题意可知,数列{cn}的前n项和为 Sn ? ? 1 n ? ,

前2n项和为 S2n ? 2n ? c1 ? c2n ? ,
2
2n ? c1 ? c2n ? 2nd 2 2 所以 S2n ? ? 2? ? 2? , 4?d n ? c1 ? cn ? Sn 4 ? nd ? d 1? nd 2

2

因为数列{cn}是“和等比数列”,即 答案:4

S2n 为非零常数,所以d=4. Sn

3.(2015·常州模拟)如果有穷数列a1,a2,a3,?,am(m为正整数)满足条

件a1=am,a2=am-1,?,am=a1,即ai=am-i+1(i=1,2,?,m),我们称其为“对
称数列”.例如,数列1,2,3,4,3,2,1与数列a,b,c,c,b,a都是“对称 数列”. (1)设{bn}是8项的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且 b1=1,b5=13.依次写出{bn}的每一项. (2)设{cn}是2m+1项的“对称数列”,其中cm+1,cm+2,?,c2m+1是首项为a, 公比为q的等比数列,求{cn}的各项和Sn.

【解析】(1)设数列{bn}的前4项公差为d,b4=b1+3d=1+3d. 又因为b4=b5=13,解得d=4. 所以数列{bn}为1,5,9,13,13,9,5,1. (2)Sn=c1+c2+?+c2m+1=2(cm+1+cm+2+?+c2m+1)-cm+1
1? q =2a(1+q+q2+?+qm)-a=2a·
m ?1

1? q

-a(q≠1).

而当q=1时,Sn=(2m+1)a.
?(2m ? 1)a,q ? 1, 所以Sn= ? ? 1 ? q m?1 ?2a 1 ? q ? a,q ? 1. ?

【备考指导】

1.准确转化:解决数列新定义问题,首先要弄清新定义的本质含义,紧
扣题目所给定义进行等价转化. 2.方法选取:对于数列新定义问题,可结合等差数列、等比数列的性质 以及解决数列问题时常用的方法求解.

规范解答 函数在研究数列问题中的应用 【典例】(12分)(2015·桂林模拟)已知:函数f(x)在(-1,1)上有定义,
x?y 1 且对任意x,y∈( -1,1) 有 f(x)+f(y)= f ( ). f ( ) ? ?1, 1 ? xy 2

(1)试判断函数f(x)的奇偶性. (2)对于数列{xn},有 x1 ? 1 , x n ?1 ? x n ? x n ?1 , 试证明数列{f(xn)}成等比
2 1 ? x n x n ?1

数列.
(3)求证:
4 f ? x i ? ? f ( ). ? 5 i ?1
n

解题导思

研读信息

快速破题

规范解答 阅卷标准

体会规范
1 ? xy

(1)在f(x)+f(y)= f ( x ? y ) 中,

令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0),??????????????1分
再令x=y=0得f(0)+f(0)=f(0),

所以f(0)=0①
????????????????????2分 所以f(-x)=-f(x),又函数f(x)的定义域为(-1,1), 则函数f(x)为奇函数. ??????????????????????????3分

x n ? x n ?1 2x n ?1 (2)由xn+1= 得 xn ? , 2 1 ? x n x n ?1 1 ? x n ?1 |x n ?| 1 因为 | 2x n ?1 2 |? 2 ?1 , 等号当且仅当|xn+1|=1时成立,当xn+1=1 2 1 ? x n ?1 1 ? x n ?1 时,根据 x n ? 2x n ?1 得xn=1,进而xn-1=xn-2=?=x1=1,与已知 x1 ? 1 2 1 ? x n ?12 2x n ?1 矛盾,故xn+1≠1,同理xn+1≠-1,故 | |? 1 , 2 1 ? x n ?1 2x n ?1 ② 所以 ?1 ? x n ? ? 1 . 2 1 ? x n ?1

??????????????????5分 所以f(xn+1)= f ( x n ? x n ?1 )
1 ? x n x n ?1

=f(xn)+f(-xn+1),因为函数f(x)为奇函数,

所以f(xn+1)=f(xn)-f(xn+1),2f(xn+1)=f(xn).
2x n ?1 x n ?1 ? x n ?1 (或f (x n ) ? f ( ) ? f ( ) 2 1 ? x n ?1 1 ? x n ?1 x n ?1

=f(xn+1)+f(xn+1)=2f(xn+1)).

因为xn≠0,否则与 x1 ? 1 矛盾,
所以f(xn)≠f(0)=0,所以 f (x n ?1 ) ? 1 , ??????????7分 因为 f ? x1 ? ? f ( 1 ) ? ?1,
2 2

f (x n )

2

所以{f(xn)}是以-1为首项, 1 为公比的等比数列.????9分
2

(3)根据(2)可得f(xn)= ?
n i ?1

1 . n ?1 2

因为 ? f (x i ) =f(x1)+f(x2)+?+f(xn)
? ?(1 ? 1 1 1 ? 2 ? … ? n ?1 ) 2 2 2 ③ 1 ? ?2 ? n ?1 , 2

??????????????10分
1 1 ? 4 1 1 f ( ) ? f ( 2 2 ) ? f ( ) ? f ( ) ? ?2③ , 1 1 5 2 2 1? ? 2 2

??????????????11分

又因为n∈N*,所以 ?2 ? 1 ? ?2, n ?1
2

所以

4 ????????????????12分 f x > f ( ). ? i? ? 5 i ?1

n

高考状元 满分心得 把握规则

争取满分

1.解决数列与函数的两类综合问题的一般思路
(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般是利用函数的性质、 图像研究数列问题. (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列 的范围、公式、求和,对式子化简变形.

2.解决数列与函数综合问题的注意点

(1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,而不是某个区间上
的连续实数,所以它的图像是一群孤立的点. (2)转化以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定 义域,这往往是非常容易忽视的问题. (3)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构造函数,注意数 列中相关限制条件的转化.


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