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高一数学竞赛选拔考试


临川二中高一数学竞赛选拔试题
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? ? x log 1 x ?

? ? ? ?

2

1? ? ? ,则 CR A ? ( 2? ?
B. (

>)

A. ? ??, 0? ? (

2 , ??) 2

2 , ??) 2

C.

? ??, 0? ? ?

? 2 ? , ?? ? ? ? 2 ?

D. ?

? 2 ? , ?? ? ? ? 2 ?

2.已知非空集合 S ? ?1, 2,3, 4,5? ,且若 a ? S ,必有 6 ? a ? S ,则所有满足上述条件的集 合 S 共有( A. 9 个 3. 函数 y ? ) B. 8 个 C. 7 个 ) D. 6 个

x3 的图象大致是( 3x ? 1

4.已知 0 ? x ? y ? 1 , a ? log x ( x ? 1), b ? log y ( y ? 1) ,则 a , b 的大小关系为( A. a ? b B. a ? b C. a ? b D.不确定



5. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 在 ? ??,2? 上是增函数,且 f ( x ? 2) 的图像关于 y 轴对称,则 ( ) B. f (0) ? f (3) C. f (?1) ? f (3) D. f (0) ? f (3)

A. f (?1) ? f (3)

? x 2 ? x, x ? 0 ? 6.设 f ( x) ? ? 2 ,若 f ( f (a)) ? 2 ,则实数 a 的取值范围为( ? ?? x , x ? 0
A.



? ??,1?

B.

? ??,

2? ?

C.

??2, ???

D.

?0, ???


7.已知函数 f ( x) ? A. 0

x3 ? 2 x 2 ? x ? 2 的最大值为 M ,最小值为 N ,则 M ? N ? ( x2 ? 1
B. 1 C. 2 D. 4

2 8. 设函数 f ( x) ? x ? x ? a( a ? 0) ,若存在某个实数 m ,使 f (m) ? 0 ,则 f (m ? 1) 的值

( ) A.小于 0

B.大于 0

C.等于 0

D.不大于 0

? lg x , 0 ? x ? 10 ? 9.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 abc ? x ? 6, x ? 10 ? ? 2
的取值范围是( A. (1,10) ) B. (5, 6) C. (10,12) D. (20, 24)

10. 已 知 函 数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 , g ( x) ? ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a 2 ? 8 , 设

H1 ( x) ? max ? f ( x), g ( x)? , H2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x)? .( max ? p, q? 表示 p, q 中的较大
值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值).记 H1 ( x) 的最小值为 A , H 2 ( x) 的最大值为 B ,则

A ? B =(
A. a ? 2a ? 16
2

) B.

a 2 ? 2a ? 16

C. -16

D. 16

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知集合 ?a, b, c? ? ?0,1,2? ,且下列三个关系:① a ? 2 ;② b ? 2 ③ c ? 0 有且只有一 个正确,则 100a ? 10b ? c 等于 . .

12.已知函数 f ( x) ? lg(2x ? b) 的值域为 R ,则实数 b 的取值范围为 13.设函数 f ( x) ? lg 的取值范围为 14.关于 x 的不等式

1 ? 2x ? a ? 4x ,其中 a ? R ,如果当 x ? (??,1) 时, f ( x ) 有意义,则 a 3
.

8 10 ? ? x3 ? 5 x ? 0 的解集为 3 ( x ? 1) x ? 1

.

2 2 2 2 15. 已知正整数集合 A ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ? , B ? a1 , a2 , a3 , a4 ,其中 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ,

?

?

A ? B ? ?a1, a4 ? ,且 a1 ? a4 ? 10. A ? B 中所有元素之和为 124,则集合 A ?

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明 、证明过程或演算步 骤 16.(本小题满分 12 分)计算: (1) ? lg 2 ? ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 ;
2

(2) 3 1 ?

2 7 3 2 7 ? 1? . 3 3 3 3

17. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x2 , g ( x) ? x ?1 . (1)若存在 x ? R ,使 f ( x) ? bg ( x) ,求实数 b 的取值范围; (2)设 F ( x) ? f ( x) ? mg ( x) ? 1 ? m ? m2 ,且 F ( x) 在 ?0,1? 上单调递增,求实数 m 的取 值范围.

18.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)确定函数 f ( x ) 的定义域; (2)判断函数 f ( x ) 的奇偶性并证明; (3)证明函数 f ( x ) 在其定义域上为单调增函数.

?

x2 ? 1 .

?

19. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) 满足 f (log a x ) ?

a ( x ? x?1 ) ,其中 a ? 0 且 a ?1
2

a ? 1.
(1)对于函数 f ( x ) ,当 x ? (?1,1) 时, f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 ,求实数 m 的取值范围; (2)当 x ? (??, 2) 时, f ( x) ? 4 恒为负数,求 a 的取值范围.

20.(本小题满分 18 分)对于函数 f ( x ) ,若 f ( x) ? x ,则称 x 为 f ( x ) 的“不动点” ,若 ,函数 f ( x ) 的“不动点”与“稳定点”的集合 f ? f ( x)? ? x ,则称 x 为 f ( x) 的“稳定点” 分别记为 A 和 B ,即 A ? x f ( x ) ? x , A ? x f ? f ( x)? ? x . (1)求证: A ? B ;
2 (2)若 f ( x) ? ax ?1(a, x ? R) ,且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围;

?

?

?

?

(3)若 f ( x ) 是 R 上的单调递增函数, xo 是函数的“稳定点” ,问 xo 是函数的“不动点” 吗?若是,请证明你的结论;若不是,请说明理由.


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