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数列求和


数列求和 基础自测 1.设数列{(-1)n}的前 n 项和为 Sn,则对任意正整数 n,Sn=( n[?-1?n-1] A. 2 ?-1?n-1+1 B. 2 ?-1?n+1 C. 2 D. )

?-1?n-1 2
? ?

?Sn? 2.等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项的和为 Sn,则数列? n ?的前 10

项的和为(

)

A.120

B.70

C.75

D.100

3.数列 a1+2,?,ak+2k,?,a10+20 共有十项,且其和为 240,则 a1+?+ak +?+a10 的值为( ) A.31 B.120 C.130 D.185

4.若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an}的前 n 项和为________. 5.数列 1 1 1 1 , , ,?, ,?的前 n 项和为________. 2×4 4×6 6×8 2n?2n+2?

一、公式法 1.如果一个数列{an}是等差数列,则 Sn= 如果一个数列{an}等比数列,则 Sn= 注意:等比数列公比 q 的取值情况要分 q=1 或 q≠1. 2.一些常见数列的前 n 项和公式: (1)1+2+3+4+?+n= (3)2+4+6+8+?+2n= 二.分组求和法 [例 1] (2011· 山东高考)等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中 ;(2)1+3+5+7+?+2n-1=

的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 2n 项和 S2n. 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

1

分组转化法求和的常见类型 (1)若 an=bn± n,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前 n 项和. c ?bn,n为奇数, (2)通项公式为 an=? 的数列, ?cn,n为偶数 其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和. 练习 1.1002-992+982-972+?+22-12 的值是 A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 1 1 1 1 2 列 2 , , , ,n ? n?1 , ? 的前 n 项和 S n = 4 6 ?2 4 8 16 2 3 数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2np+nq(n∈N*,p,q 为常数),且 x1,x4,x5 成 等差数列.求: (1)p,q 的值; (2)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式.

三.乘公比错位相减法 [例 2] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=kcn-k(其中 c, 为常数), a2=4, 6=8a3. k 且 a (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.

(1)求 an;

2

用错位相减法求和的常见类型 若数列 ?an ? 通项 an ? bn ? cn , 其中 ?bn ? 是等差数列, cn ? 是公比为 q 等比数列, ?an ? 求 ? 前前 n 项和 Sn 用错位相减法 练习 1.已知 an ? n ? 2n ?1 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

2.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=3n+k. (1)求 k 的值及数列{an}的通项公式; an+1 (2)若数列{bn}满足 2 =(4+k)anbn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

3

四.裂项相消法 [例 3] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=nan-n(n-1)(n∈N*). (2)设 bn= 2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

(1)求数列{an}的通项公式;

1 变式:本例条件不变,若数列{bn}满足 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. Sn+n

利用裂项相消法求和应注意 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项, 也有可能前面剩两项, 后面也剩两项; (2)用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项方法:
1 1?1 1 ? ,特别地当 k ? 1 时, 1 1 1 ? ? ? ? ? ? n ?n ? k ? k ? n n ? k ? n ? n ? 1? n n ? 1
1 1 ? n?k ? n k

?

n?k ? n

? ,特别地当 k ? 1 时

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

针对训练 1 求数列

1 1 1 1 , , ,? , ,? 的前 n 项和 S n . 1? 2 2 ? 3 3 ? 2 n ? n ?1

2 在等比数列{an}中,a1>0,n∈N*,且 a3-a2=8,又 a1、a5 的等比中项为 16. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)设 bn=log4an, 数列{bn}的前 n 项和为 Sn, 是否存在正整数 k, 使得S +S +S +?
1 2 3

1 +S <k 对任意 n∈N*恒成立?若存在,求出正整数 k 的最小值;不存在,请说明理由.
n

4

五、倒序相加法:类似于等差数列的前 n 项和的公式的推导方法。如果一个数列 ?an ? , 与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和, 可采用正序写和与倒序写和的两个和式 相加,就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例1、 已知函数 f ? x ? ?
2x 2x ? 2
?1? (2)求 f ? ? ? ? 10 ? ? 2? f ? ? ??? ? 10 ? ? 8? f ? ?? ? 10 ? ? 9? f ? ? 的值. ? 10 ?

(1)证明: f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1 ;

12 22 32 102 ? ? ? ?? ? 2 2 针对训练:求值: S ? 2 1 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 10 ? 1

基本练习
2 2 2 1.等比数列 {an } 的前n项和 Sn=2n-1,则 a12 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n =________________.

2.设 Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (?1)n (2n ? 1) ,则 S n =_______________________. 3.
1 1 1 ? ??? ? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

.

4.

1 1 1 1 ? ? ? ... ? =__________ 2 ? 4 3?5 4 ? 6 (n ? 1)(n ? 3)

5. 数列 1,(1 ? 2),(1 ? 2 ? 22 ),?,(1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ),? 的通项公式 an ?

,前 n 项和 S n ?

5

6

1 3 5 2n ? 1 , 2 , 3 , ?, n , ?; 的前 n 项和为_________ 2 2 2 2 提高练习
? n?

?1? 1.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列?a ?的前

5 项和为(

)

15 A. 8 或 5

31 B.16或 5

31 C.16

15 D. 8 )

2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn(a、b∈R),且 S25=100,则 a12+a14 等于( A.16 B.8 C.4 D.不确定 )

1 1 1 1 1 3.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 1 A.n2+1-2n 1 1 B.2n2-n+1-2n C.n2+1- n-1 2

1 D.n2-n+1-2n

1 1 1 4.若数列{an}为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn=a a +a a +?+ 的结果可化 anan+1 1 2 2 3 1 A.1-4n 1 B.1-2n 1? 2? ? C.3?1-4n? ? 1? 2? ? D.3?1-2n? ?

? ? ? 1 ? 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的前 100 项和为 ? n n+1? ? ?

100 A.101

99 B.101

99 C.100

101 D.100

6.若 Sn=1-2+3-4+?+(-1)n-1·n,则 S17+S33+S50 等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 2 ?n ?当n为奇数时?, 7.已知函数 f(n)=? 2 且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+?+a100 ?-n ?当n为偶数时?, 等于 A.0 B.100 C.-100 D.10 200 )

8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-6n,则{|an|}的前 n 项和 Tn=( A.6n-n2
2 ?6n-n ?1≤n≤3? C.? 2 ?n -6n+18?n>3?

B.n2-6n+18
2 ?6n-n D.? 2 ?n -6n

?1≤n≤3? ?n>3?

9.若数列{an}满足 a1=2 且 an+an-1=2n+2n-1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 log2(S2 012 +2)=________. 10.在等差数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,a2+a8=18-a5,则 S9=________. 11.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差

6

数列”的通项公式为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________.
? ? ? 1 ? 12.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列?b b ?的 ? ? ? n n+1?

前 n 项和 Sn=________. 13.在等比数列{an}中,a2a3=32,a5=32. (1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 S1+2S2+?+nSn.

14.已知等差数列{an}满足:a5=9,a2+a6=14. (1)求{an}的通项公式; (2)若 bn=an+qan(q>0),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

2 15.若数列{an}满足:a1= ,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2. 3 (1)证明:数列{an+1-an}是等差数列; 1 1 1 1 5 (2)求使a +a +a +?+a >2成立的最小的正整数 n.
1 2 3 n

7

1 16 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-2n2+kn,k∈N*,且 Sn 的最大值为 8. (1)确定常数 k,求 an;
?9-2an? ? ? (2)求数列? n ?的前 n 项和 Tn. ? ? ? 2 ?

17.已知递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=anlog2an,Sn=b1+b2+?+bn,求 Sn.

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