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湖南省益阳市箴言中学2015-2016学年高二上学期期中考试 数学(理)


益阳市箴言中学 2015—2016 学年高二期中考试

理科数学试题
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

第 I 卷 (选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题列出的的四个选项中,选出 符合题目要求的一项) 1. 命题

“ ? x∈Z,使 x2+2x+m≤0”的否定是( ) 2 A. ? x∈Z,使 x +2x+m>0 B.不存在 x∈Z,使 x2+2x+m>0 C. ? x∈Z,使 x2+2x+m≤0 D. ? x∈Z,使 x2+2x+m>0 2. 如图,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10m,从 D,C 两地测得 A 点的仰角分别为 30° 和 45° ,则 A 点离地面的高 AB 等于( ) A.10m A B .5 3 m C.5( 3 -1)m D.5( 3 +1)m 3. 已知△ ABC 的面积为 A.30° D
30° 45°

C

B

3 ,AC=2,∠BAC=60° ,则∠ACB=( 2
B.60° C.90°

) D.150°

4.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 y-2x 的取值范围是( ?x ? y ? 7 ? 0 ?
A.[- 1 ,4]



2

B.[- 1 ,1]

2

C.[1,4]

D.[-1,1]

5.

2 y2 10 x ? 已知椭圆 =1 的离心率 e= ,则 m=( 5 5 m



A.3 6.

B.3 或 25

3

C. 5

D. 15 或

5 15 3

已知数列 ?an ? 中,a1=1,a2=2+3,a3=4+5+6,a4=7+8+9+10,依此类推,则 a10 =( ) A.610 B.510 C.505 D.750 )

7.

已知等比数列 ?an ? 中, a1 + a2 + a3 =2, a2 + a3 + a4 =4, a5 + a6 + a7 =( A.64 B.32 下列命题中,假命题 是( ... C.16 )
2 2
2

D.8

8.

A.若 a,b∈R 且 a+b=1,则 a· b≤ 1 B.若 a,b∈R,则 a ? b ≥ ? ?a?b? ? ≥ab 恒成立

4

2

? 2 ?

C. x ? 3
2 2

x ?1

(x∈R) 的最小值是 2 2

D. ? x0,y0∈R,x02+y02+x0y0<0

9.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? ?11, a5 ? a6 ? ?4 , Sn 取最小值时 n 的值为( A.6 B. 7 C.8 D.9

)

10. 某同学在研究函数 f ( x ) = 发 , 将 f ( x) 变 形 为 f ( x) = (如图) , P A? P B

x2+ 1 + x2-6x+ 10 的性质时,受到两点间距离公式的启
( x-0) 2+(0-1) 2 + ( x-3) 2+(0+1) 2 , 则 f ( x) 表 示

① f ( x ) 的图象是中心对称图形; ② f ( x ) 的图象是轴对称图形; ③函数 f ( x ) 的值域为[ 13 ,+∞) ; ④方程 f ( f ( x)) ? 1 ? 10 有两个解.上述关于函数 f ( x ) 的描述正确的是( A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④ )

第 II 卷 (非选择题
2

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线 l, 交抛物线于 A、 B 两点, 若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 AB = 12.已知 ?an ? 中, an ?1 ? .

an , a1 ? 1, 则a2014 ? 2an ? 1

13 在△ ABC 中,若 a=2,b+c=7,cosB=- 1 ,则 b=

4

.

2 y 14 若双曲线 C 与双曲线 x - =1 有相同的渐近线,且过点 A(3, 2 ) ,则双曲线 C 的

2

12

8

方程为 15.下列结论:

.
2

①若命题 P : ?x ? R, tan x ? 1; 命题 q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0, 则命题 " p且?q" 是假命题; ②已知直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0, l 2 : x ? by ? 1 ? 0, 则 l1 ? l 2 的充要条件是

a ? ?3 ; b

2 2 ③命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ”的逆否命题为:“若 x ? 1 则 x ? 3x ? 2 ? 0. ”

其中正确结论的序号是 __________ __. (把你认为正确结论的序号都填上)

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
2 2 16.(本小题满分 12 分)设 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 , q :实数 x 满足

x?3 ?0 x?2
(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分)在△ ABC 中,已知 AC=3,三个内角 A,B,C 成等差数列. (1)若 cosC=

6 ,求 AB; 3

(2)求△ ABC 的面积的最大值.

18.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ? 1,若对任意的 x ? [?1,1] 都有

f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的范围

[。学

19.(本小题满分 13 分)某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出 12 万元,以后每年支出增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元.设 f(n)表示前 n 年的 纯利润总和(f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投资额). (1)该厂从第几年开始盈利? (2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润达到最大时,以 48 万 元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以 16 万元出售该厂,问哪种方案更合算?

20.(本小题满分 13 分)已知等比数列 ?an ? 满足 2 a1 + a3 =3 a2 ,且 a3 +2 是 a2 , a4 的等差 中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn = an + log2 1 , Sn = b1 + b2 +· · · + bn ,求 Sn .

an

21. (本小题满分 13 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0, ?1) , 焦点在 x 轴上 . 若右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 设椭圆与直线 y ? kx ? m(k ? 0) 相交于不同的两点 M、N . 当 | AM |?| AN | 时 , 求 m 的取值 范围.
y N M O A x

理科数学参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分)

1-5:DDAAB

6-10:CBDAC
x2 y2 ? ? 1 ; 15. (1)(3) 6 4

二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分)

11.8; 12.1/4027; 13.4; 14.

三、解答题: (共 75 分) 2 2 16、解由 x -4ax+3a <0,a>0 得 a<x<3a,即 p 为真命题时,a<x<3a,2 分
?x -x-6≤0, ? 由? 2 ?x +2x-8>0 ?
2

?-2≤x≤3, ? 得? ?x>2或x<-4, ?

即 2<x≤3,即 q 为真命题时 2<x≤3.……4 分
? ?1<x<3, (1)a=1 时,p:1<x<3,由 p∧q 为真知 p、q 均为真命题则? ?2<x≤3 ?

5分

得 2<x<3,所以实数 x 的取值范围为(2,3).………6 分 (2)设 A={x|a<x<3a},B={x|2<x≤3},由题意知 p 是 q 的必要不充分条件,……7 分
? ?0<a≤2, 所以 B ? ? A,……9 分? ?3a>3, ?

……11 分 ∴1<a≤2,

…………12 分

17、 (本小题满分 12 分) 解: (1)∵A,B,C 成等差数列,∴2B=A+C,又 A+B+C= ? ,∴B= ? ,

3

由 cosC=

6 3 ,求得 sinC= ,由正弦定理得: AB ? AC ,∴AB=2. 3 3 sinC sinB
2 2 2

(2)设角 A,B,C 的对边为 a,b,c,由余弦定理得: b ? a ? c ? 2ac ? cosB , ∴ a ? c ? 9 ? ac ≥2ac,∴ac≤9,∴ S ?ABC = 1 ac· sinB≤
2 2

2

9 3 , 4

∴△ABC 面积的最大值为 18、 (本小题满分 12 分) 解:法一:根据题意,得

9 3 . 4

? ?a ? ?1 ? ?1 ? ?a ? 1 ??a ? 1 解得 a ? 1或0 ? a ? 1 。 或? 或? ? ? f (?1) ? 1 ? f (?a ) ? 1 ? f (1) ? 1
? a的范围为[0, ? ?).
2 法二:若对任意的 x 有 f ( x ) ? 1 恒成立,则 2a( x ? 1) ? ? x 对任意的 x 恒成立,当 x ? ? 1

a? R, 时, 当 x ? ? 1 时 2a ?

? x2 ? x2 恒成立, 令 y ? g( x ) ? ,x ? ( ?1,1] , 令t ? x ? 1 x?1 x?1

得: y ? ?( t ? ) ? 2, t ? (0,2] ,易知 ymax ? 0 ,故 2a ? 0 ,? a的范围为[0, ? ?). 19、 (本小题满分 13 分)

1 t

21. 解析:(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,右焦点 F (c,0), c 2 ? a 2 ? 1 , a2 x2 ? y 2 ? 1 ………5 分 3

由题设

|c?2 2 | 2

? 3 ,得 c ? 2 ,故 a 2 ? c 2 ? 1 ? 3 ;故椭圆的方程为

(Ⅱ)如右图所示,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , MN 的中点为 P( x0 , y0 ) , 则由 | AM |?| AN | 可知 AP ? MN , 即

y0 ? 1 ? k ? ?1 ? k ( y1 ? y2 ? 2) ? ( x1 ? x2 ) ? 0, x1 ? x2 ? 0 , x0

可化为 (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2k (m ? 1) ? 0 ,且 x1 ? x2 ? 0 ……① …………………………8 分

? y ? kx ? m, 又由 ? 2 得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3(m2 ? 1) ? 0 2 x ? 3 y ? 3, ?
则 ? ? 36k 2 m2 ? 12(3k 2 ? 1)(m2 ? 1) ? 0 得 m 2 ? 3k 2 ? 1 ……② 且 x1 ? x2 ? ?

6km ? 0 ,得 m ? 0 ……③………………………………………………10 分 3k 2 ? 1 y
P O A N x
2

M ?6km ③式代入①式得, (k ? 1) 2 ? 2k (m ? 1) ? 0 , 3k ? 1 1 化简得 2m ? 3k 2 ? 1 ? 1 ,得 m ? ,又代入②式得, m2 ? 2m ,解得 0 ? m ? 2 , 2 1 综上可得 ? m ? 2 ,即为所求...…………………………………………………………13 分 2


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