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江西省赣州市四所重点中学2013—2014学年第一学期期末联考试卷高三数学(文)试卷


赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中 )

2013~2014 学年度第一学期期末联考试卷 高三数学试题(文科)
2014 年元月 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分。) 1、复数
2 的虚部是 1? i 1 2

A.

B.

1 i 2

C.1

D.i

2、下列命题中的假命题是 A.任意 x∈R, 3 x +1>0 B.任意 x∈R, ex>0

C.存在 x∈R, lnx=0 D.存在 x∈R, tanx=-1 3、已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=3,a6=11,则 S7= A.91 B.
91 2

C.98

D.49

4、执行右图所示的程序框图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则 这样的 x 值的个数是 A.1 B .2 C .3 D.4 5、若两个非零向量 a , b 满足| a + b |=| a - b |= 与 a - b 的夹角为 A.
2 3 | a |,则向量 a + b 3

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

6、定义在 R 上的函数 f(x)在(6, +∞)上为减函数,且函数 y=f(x+6)为偶函数,则 A.f(4)>f(5) B.f(4)>f(7) C.f(5)>f(7) D.f(5)>f(8) 7、一个几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积为 2 2 A.54cm B.91cm C.75+4 10 cm2 8、设函数 f(x)=sin(wx+ 的最小正周期为π ,则 A.f(x)在(0, C.f(x)在(0, D.75+2 10 cm2
2? 2? )+sin(wx- )(w>0) 3 3

?
?
4

)上单调递增 )上单调递增
x2 a
2

B.f(x)在(0, D.f(x)在(0,

?
?
4
2

)上单调递减 )上单调递减

2

9、设点 P 是双曲线

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0) 与圆 x2+y2=a2+b2 的一个交点,F1, F2 分别是双曲线的左、右

焦点,且| PF1 |= 3 | PF2 |,则双曲线的离心率为
3 ?1 B. 3 +1 C. 3 D.2 3 2 10、已知正方形 OABC 的四个顶点 O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1),设 u=2xy, v=x2-y2,是一个由平面

A.

xOy 到平面 uOv 上的变换,则正方形 OABC 在这个变换下的图形是

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、如图是容量为 200 的样本的频率分布直方图,则样本 数据落在[10, 14]内的频数为 。 12、函数 f(x)=2+logax(a>0, a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-3=0 上,其中 mn>0,则
1 1 的最小值为 ? m 2n



13、设 a∈{1, 2, 3}, b∈{2, 4, 6},则函数 y= log b
a

1 是减函数的概率为 x



14、过椭圆 C:

x

2

a2

?

y

2

b2

? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B,且点 B 在 x

1 1 轴上的射影恰好为右焦点 F,若 <k< , 则椭圆的离心率的取值范围是 。 2 3 15、定义在 R 上的函数 f(x)及其导函数 f ' (x)的图像都是连续不断的曲线,且对于实数 a, b (a<b)有 f ' (a) >0, f ' (b)<0,现给出如下结论: ①?x0∈[a, b], f(x0)=0;②?x0∈[a, b], f(x0)>f(b); ③?x0∈[a, b], f(x0)>f(a);④?x0∈[a, b], f(a)-f(b)>f ' (x0)(a-b). 其中结论正确的有 。 三、解答题(共 75 分)

16、(12 分)在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,且 1+ (1)求角 A; (2)已知 a=2 3 , bc=10,求 b+c 的值。

tan A 2c = . tan B b

17、(12 分)某园艺师用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗,在树苗 3 个月大的时候,随机抽取甲、乙两 种方法培育的树苗各 10 株,测量其高度,得到的茎叶图如图所示(单位:cm). (1)依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗 的平均高度大? ( 2 )现从用两种方法培育的高度不低于 80cm 的树苗中随机抽取两株,求至少有一株是 甲方法培育的概率。

18、(12 分)如图所示,已知四边形 ABCD 是正方形,EA⊥平面 ABCD,PD∥EA,AD=PD=2EA=2,F, G, H 分别为 BP, BE, PC 的中点。 (1)求证:平面 FGH⊥平面 AEB; (2)在线段 PC 上是否存在一点 M,使 PB⊥平面 EFM?若存在, 求出线段 PM 的长;若不存在,请说明理由.

19、(12 分)已知函数 f(x)=x2-(a-1)x-b-1,当 x∈[b, a]时,函数 f(x)的图像关于 y 轴对称,数列{an}的 前 n 项和为 Sn,且 Sn=f(n). (1)求数列{an}的通项公式; a (2)设 bn= n , Tn=b1+b2+…+bn,若 Tn>2m,求 m 的取值范围。 2n

x2 y2 20、 (13 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数, 直线 l: x-y+ 2 a b =0 与以原点为圆心,以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M 是椭圆的上顶点,过点 M 分别作直线 MA, MB 交椭圆于 A, B 两点,设两直线的斜率分别为 k1, k2, 且 k1+k2=2,证明:直线 AB 过定点(―1, ―1).

21、(14 分)已知函数 f(x)=2ax-

1 -(2+a)lnx(a≥0). x

(1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)当 a>0 时,讨论 f(x)的单调性; (3)若对任意的 a∈(2, 3),x1, x2∈[1, 3],恒有(m-ln3)a-2ln3>|f(x1)-f(x2)|成立,求实数 m 的取值 范围。

2013~2014 学年度第一学期期末考试 高三数学(文科)试题参考答案及评分标准
2014 年元月 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分。) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 B 6 D 7 C 8 B 9 B 10 D

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 4 11、72 12、 3 15、②④ 三、解答题(共 75 分)

13、

7 8

1 2 14、( , ) 2 3

sin C cos B 2sin C tan A 2c ? = ,可得 …………….3 分 b cos B cos A sin B sin B tan B ? ? 1 由A,B ? (0, )( ? ,?) 得 cosB= ……………………………5 分 2 2 2
16、解: (1)由 1+

(0, )( ? ,?) 而 B? ,可得 B= 2 2
(2) cosB=

?

?

? 3

…………6 分 ………..10 分 ……….12 分 ………2 分 ………4 分 ………6 分

1 2 , a ? 2 3, bc ? 10 可得 12 ? (b ? c) ? 30 2

由 b+c>0,得 b ? c ? 17、解: (1) X甲 =

42

82+86+76+75+74+70+67+64+63+63 =72 10 92+81+83+86+72+74+76+78+61+67 X乙 = =77 10

X乙 >X甲 ,可知用乙种方法培育的树苗的平均高度大

(2)所有基本事件有: (81,82) (81,83) (81,86) (81,86) (81,92) (82,82) (82,86) (82,86) ( 82 , 92 )( 83 , 86 )( 83 , 86 )( 83 , 92 )( 86 , 86 )( 86 , 92 )( 86 , 92 ) 共 15 个, ………8 分

而至少有一株是甲方法培育的有: (81,82) (81,86) (82,82) (82,86) (82,86) (82,92) (83,86) (86,86) (86,92)共 9 个 故 P= ………10 分 ………12 分

9 3 = 15 5

18、证明: (1)因为 EA⊥平面 ABCD,所以 EA⊥CB. 又因为 CB⊥AB,AB∩AE=A,所以 CB⊥平面 ABE.…3 分 由已知 F,H 分别为线段 PB,PC 的中点,所以 FH∥BC,则 FH⊥平面 ABE.……5 分 而 FH?平面 FGH,所以平面 FGH⊥平面 ABE.…6 分 (2) 在线段 PC 上存在一点 M, 使 PB⊥平面 EFM. 证明如下: 在直角三角形 AEB 中, 因为 AE=1, AB=2, 所以 BE= 5 , 在直角梯形 EADP 中,因为 AE=1,AD=PD=2,所以 PE= 5 ,所以 PE=BE. 又因为 F 为 PB 的中点,所以 EF⊥PB...8 分 要使 PB⊥平面 EFM,只需使 PB⊥FM.…………..9 分 因为 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥CB,又因为 CB⊥CD,PD∩CD=D, 所以 CB⊥平面 PCD,而 PC?平面 PCD,所以 CB⊥PC. 若 PB⊥FM,则△PFM∽△PCB,可得

PM PF ? ,………………11 分 PB PC

由已知可求得 PB= 2 3 ,PF= 3 ,PC= 2 2 ,所以 PM=

3 2 …………..12 分 2

19、解: (1)x∈[b, a]时,函数 f(x)的图像关于 y 轴对称,可知 f(-x)=f(x),a+b=0,即(a-1)x=0 对任意 x 都成立,得 a=1,b=-1 由 Sn=f(n)= n2,得 n=1 时 a1=1 ......................3 分 .......................5 分 .......................6 分 …………2 分

n ? 2时,an ? sn ? sn?1 ? 2n ?1
故 an ? 2n ? 1

2n ? 1 a (2)bn= n ? n 2n 2
Tn ? 1 3 2n ? 1 ? 2 ? ??? ? n 2 2 2

1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ??? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2n ? 1 可得 Tn ? ? ? 2 ? ??? ? n ?1 ? n ?1 ……………………………….8 分 2 2 2 2 2 2 2n ? 3 Tn ? 3 ? ………………………9 分 2n 2n ? 1 1 由 Tn ?1 ? Tn ? n ?1 ? 0 ,可知 Tn ? T1 ? …………………11 分 2 2 1 m 由 Tn>2m,可得 2 ? ,解得 m ? ?1 …………………12 分 2
20、解: (1)由题意得 e ?

2 2 ,b ? ?1 2 2

………..2 分



c 2 2 2 ? , a ? c ? 1 ,解得 a ? 2 a 2
2

……………4 分

x 故椭圆 C 的方程为 ? y2 ? 1 2

……………5 分

(2)当直线 AB 的斜率不存在时,设 A ( x 0 , y0 ) ,则 B ( x 0 , ? y0 ) ,由 k1+k2=2 得

y0 ? 1 ? y0 ? 1 ? ? 2 ,得 x 0 ? ?1 x0 x0

……………….7 分

当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y=kx+b( b ? 1 ), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

?x2 ? ? y2 ? 1 ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0 ?2 ? y ? kx ? b ?
得 x1 ? x2 ?

?4kb 2b 2 ? 2 x ? x ? , ……….9 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

k1 ? k2 ? 2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 (kx2 ? b ? 1) x1 ? (kx1 ? b ? 1) x2 ? ?2? ?2 x1 x2 x2 x1

即 (2 ? 2k ) x2 x1 ? (b ?1)( x2 ? x1 ) ? (2 ? 2k )(2b2 ? 2) ? (b ?1)(?4kb) 由 b ? 1 , (1 ? k )(b ? 1) ? ?kb ? k ? b ? 1 即 y ? kx ? b ? (b ? 1) x ? b ? b( x ? 1) ? y ? x 故直线 AB 过定点(―1, ―1). ………..13 分 ………..11 分

21、解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ? 由 f ( x )=


1 1 2 1-2x ? 2 ln x ? f 、 ( x)= 2 - = 2 ( x ? 0) …… x x x x

2分

1-2x 1 ?0 ,解得 x? 2 x 2

, 可 知 f ? x ? 在 ? 0, ? 上 是 增 函 数 , 在 ?

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? 上 是 减 函 ?2 ?

数. ∴ f ? x ? 的极大值为 f ( ) ? 2 ln 2 ? 2 ,无极小值.

……………… 4 分

1 2

………………5 分

1 1 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 、 (2) f ( x) ? 2ax ? ? (2 ? a) ln x ? f ( x)=2a ? 2 ? (2 ? a) ? x x x x2
.①当 0 ? a ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 和 ?

? ?

1? 2?

?1 ? ?1 1? , ?? ? 上是增函数,在 ? , ? 上是减函数;………7 分 ?a ? ?2 a?
………… 8 分

②当 a ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数; ③当 a ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ?1 1? ? 和 ? , ?? ? 上是增函数,在 ? , ? 上是减函数 9 分 a? ?2 ? ?a 2?

(3)当 2 ? a ? 3 时,由(2)可知 f ? x ? 在 ?1,3? 上是增函数, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (3) ? f (1) ? 4a ? (2 ? a ) ln 3 ?

4 . 3

…………… 10 分

由 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 对任意的 a∈(2, 3),x1, x2∈[1, 3]恒成立, ∴ (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) max 即 (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? 4a ? (2 ? a) ln 3 ? 即m ? 4? ……… 11 分

4 对任意 2 ? a ? 3 恒成立, 3
……… 12 分

4 对任意 2 ? a ? 3 恒成立, 3a 10 4 32 32 ? 4? ? 由于当 2 ? a ? 3 时, ,∴ m ? . 3 3a 9 9

…………… 14 分


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