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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案2.1.1指数与指数幂的运算(三


2.1.1 指数与指数幂的运算(三)
(一)教学目标 1.知识与技能: 能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简,求值. 2.过程与方法: 通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质. 3.情感、态度、价值观 (1)培养学生观察、分析问题的能力; (2)培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. (二)教学重点、难点 1.重点:运用有理指数幂性质进行化简,求值. 2.难点:有理指数幂性质的灵活应用. (三)教学方法 1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质 对根式与分数指数幂进行互化. 2.引导学生在化简求值的过程中, 注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用 技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外,在运用有理指数幂的运算性质化 简变形时,应注意根据底数进行分类,以精简解题的过程. (四)教学过程 教学 教学内容 师生互动 设计意 图 环节 复习 复习 1.分数指数幂的概念. 引入 师:提出问题 生:复习回顾 师:总结完善 习 复 旧

a = n a m (a > 0, m, n ∈ N * )
a
? m n

m n

知,为 新课作

=

1 a
m n

(a > 0, m, n ∈ N )
*

铺垫.

2.分数指数幂的运算性质.

a r ? a s = a r + s (a > 0, r ∈ R, s ∈ R)

(a r ) s = a rs (a > 0, r ∈ R, s ∈ R) (a ? b) r = a r b r (a > 0, r ∈ R)
应用 例 1. 56,例 4)计算下列各式 (P (式中字母都是正数) 举例 (
2 1 1 1

学生思考,口答,教师板演、 点评.

1
1 5



例 1 (先由学生观察以上两



(2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ÷ (?3a 6 b 6 )
(2) (m n )
1 4 ? 3 8 8

个式子的特征,然后分析、提问、 过 这 二 解答) 分析: 四则运算的顺序是先算 乘方,再算乘除,最后算加减,有 括号的先算括号的. 整数幂的运 算性质及运算规律扩充到分数指 数幂后, 其运算顺序仍符合我们以 前的四则运算顺序. 我们看到(1)小题是单项式 的乘除运算; (2)小题是乘方形式 的运算,它们应让如何计算呢? 其实,第(1)小题是单项式 的乘除法, 可以用单项式的运算顺 序进行. 第(2)小题是乘方运算,可 先按积的乘方计算, 再按幂的乘方 进行计算. 解: (1)原式 = 个例题 的 解

答,巩 固所学 的分数 指数幂 与根式 的 互

化,以 及分数 指数幂 的 求

值,提 高运算 能力.

[2 × (?6) ÷ (?3)]a
= 4ab
0

2 1 1 + ? 3 2 6

b

1 1 5 + ? 2 3 6

=4 a
1 8

(2)原式= ( m 4 ) ( n 8 ) =m n
2 ?3

?

3 8

例 2. 57 例 5)计算下列各式 (P (1) ( 3 25 ? 125) ÷ 4 25 (2)

例 2 分析:在第(1)小题中, 只含有根式,且不是同类根式,比 较难计算, 但把根式先化为分数指 数幂再计算,这样就简便多了,同 样,第(2)小题也是先把根式转 化为分数指数幂后再由运算法则 计算. 解: (1)原式=

a

2

a.3 a2

(a >0)

(25 ? 125 ) ÷ 25
= (5 ? 5 ) ÷ 5 = 5
2 1 ? 3 2 1 2 3 3 2 1 2

1 3

1 2

1 4

?5

3 1 ? 2 2

= 56 ? 5 =
6

5 ?5

(2)原式 =

a2 a ?a
5

1 2

2 3

=a

1 2 2? ? 2 3

= a 6 = 6 a5 .
小结: 运算的结果不强求统一 用哪一种形式表示, 但不能同时含 课堂练习: 化简: (1)( 9) ( 10 ) ÷ 100 ;
3 2
5

有根号和分数指数, 也不能既有分 母,又含有负指数.
? 2 3 9 2 2

练习答案: 解(1)原式= 3
?
2 3

(2) 3 + 2 2 ? 3 ? 2 2 ;

×10 ×10
3

?

2 5

(3)

a a

a a .

=3 (

?

2 3

× 10 ;
2 ) 原 式

11 5

= 1 + 2 ?( ?1 + 2) =2; (3)原式= (( a ( a )) ) = (a ) = a 归纳 总结 1.熟练掌握有理指数幂的运算法 则,化简的基础. 2.含有根式的式子化简,一般要 先把根式转化为分数指数幂后再 计算.
3 1 2 a2
3 2 a2

强 化解题
1 2 1 a 1 a

技巧.

. 巩 固本节 学习成 果,形 成知识 体系.

先让学生回顾反思, 然后师生 共同总结,完善.

课后 作业

作业:2.1 第三课时 习案

学生独立完成

巩固新 知 提升能 力

备选例题
1

例 1 已知 a 2 + a

?

1 2

= 3 ,求下列各式的值.

(1)a + a ?1; (2)a 2 + a ?2 ;

(3)

a ?a a ?a
1 2

3 2

? ?

3 2 1 2

.

【分析】从已知条件中解出 a 的值,然后再代入求值,这种方法是不可取的,而应设法
1

从整体寻求结果与条件 a 2 + a
1

?

1 2

= 3 的联系,进而整体代入求值.

【解析】 (1)将 a 2 + a

?

1 2

= 3 两边平方,

得a + a 即a + a

?1

+ 2 = 9. = 7.
2 ?2

?1

(2)将上式平方,有 a + a

+ 2 = 49.

∴ a 2 + a ?2 = 47.
(3)由于 a ? a
3 2 ? 3 2

= ( a ) ? (a )

1 2 3

?

1 2 3



a ?a a ?a
1 1 2

3 2

? ?

3 2 1 2

=

(a 2 ? a 2 )(a + a ?1 + a 2 ? a 2 ) a2 ? a
1 ? 1 2

?

1

1

?

1

= a + a ?1 + 1 = 8.
【小结】对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求 值后代换”两种方法求值.
1

例 2 化简

x ?1 x + x +1
2 3 1 3

+

x +1 x +1
1 3

?

x ? x3 x ?1
1 3

.

【分析】根据本题的特点,须注意到

x ? 1 = ( x ) ? 1 = ( x ? 1) ? ( x + x + 1) ,
3

1 3 3
1

1 3

2 3

1 3

x + 1 = ( x 3 )3 + 13 = ( x 3 + 1)( x 3 ? x 3 + 1),

1

2

1

x ? x 3 = x 3 [( x 3 ) 2 ? 1] = x 3 ( x 3 ? 1)( x 3 + 1) ,
应对原式进行因式分解. 【解析】原式

1

1

1

1

1

1

=

(x ) ? 1
1 3 2 1 3

1 3 3

3

+

(x ) + 1 x +1
1 3

1 3 3

3

?

x x ?x x ?1
1 3

1 3

2 3

1 3

(x ) + x + 1

=

( x 3 ? 1)( x 3 + x 3 + 1) (x 3 ) + x3 +1
2 1

1

2

1

+

( x 3 + 1)( x 3 ? x 3 + 1) x3 +1
1

1

2

1

?

x ( x ? 1)( x + 1)
1

1 3

1 3

1 3

x3 ?1 = x3 ?1 + x 3 ? x3 +1 ? x 3 ? x3 = ?x3 .
【小结】解这类题,要注意运用下列公式:
1 1 ? 1 ?? 1 ? a 2 + b 2 ? ? a 2 ? b 2 ? = a ? b, ? ? ?? ?
1 1 1 ? 1 ? a 2 ± b 2 ? = a ± 2 a 2 b 2 + b, ? ? ? 1 2 1 1 2 ? 1 ?? 3 ? 3 3 3 3 3 ? a ± b ?? a m a b + b ? = a ± b. ? ?? ? 2

1

2

1

2

1

1


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