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2016黄浦区二模数学试题及答案解析(文理合卷)


上海市黄浦区 2016 届高三二模数学试卷
2016.04 一. 填空题 1. 已知集合 A ? {?1,3, 2m ? 1} ,集合 B ? {3, m2 } ,若 B ? A ,则实数 m ? 2. 计算: lim

3n ? 1 ? n ?? 3n ?1 ? 2 n
3

3. 函数 f ( x) ?
<

br />x ?1的反函数 f ?1 ( x) ?

4. 函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 的最小正周期为 5.(文)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 y ? 1 的夹角为 (结果用反三角函数值表示)

(理)在极坐标系中,直线 ? (cos ? ? 2sin ? ) ? 1 与直线 ? sin ? ? 1 的夹角大小为 (结果用反三角函数值表示) 6. 已知菱形 ABCD ,若 | AB | ? 1 , A ?

??? ?

?
3

,则向量 AC 在 AB 上的投影为

????

??? ?

7. 已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边 形和六个正方形构成,如图所示,若该凸多面体 所有棱长均为 1,则其体积 V ? 8. 已知函数 f ( x) ? x3 ? lg( x 2 ? 1 ? x) ,若 f ( x) 的定义域中的 a 、 b 满足 f (?a) ? f (?b) ? 3 ?

f (a) ? f (b) ? 3 ,则 f (a) ? f (b) ?
9.(文)数列 {an } 中,若 a1 ? 3 , an ?1 ? an (n ? N ) ,则 {an } 的通项公式 an ?
*

1 5 ) 的展开式中,常数等于 x2 1 5 2 10.(文)在代数式 (4 x ? 2 x ? 5)(1 ? 2 ) 的展开式中,常数等于 x
(理)在代数式 (4 x ? 2 x ? 5)(1 ?
2

(理)若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 5,最大值为 15,则椭圆短轴长为 11.(文)若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 5,最大值为 15,则椭圆短轴长为 (理)有红、黄、蓝三种颜色,大小相同的小球各三个,在每种颜色的 3 个小球上分别标上号码 1、 2、3,现任取出 3 个,它们的颜色与号码均不相同的概率是 12.(文)满足约束条件 | x | ?2 | y | ? 2 的目标函数 z ? y ? x 的最大值是 (理)设离散型随机变量 ? 可能取到值为 1、2、3, P(? ) ? ak ? b (k ? 1, 2,3) ,若 ? 的数 学期望 E? ?

7 ,则 a ? b ? 3

13.(文)有红、黄、蓝三种颜色,大小相同的小球各三个,在每种颜色的 3 个小球上分别 标上号码 1、2、3,现任取出 3 个,它们的颜色与号码均不相同的概率是

1

(理)正整数 a 、 b 满足 1 ? a ? b ,若关于 x 、 y 的方程组 ? 有且只有一组解,则 a 的最大值为

? y ? ?2 x ? 4033 ? y ? | x ? 1| ? | x ? a | ? | x ? b |

14.(文)正整数 a 、 b 满足 1 ? a ? b ,若关于 x 、 y 的方程组 ? 有且只有一组解,则 a 的最大值为

? y ? ?2 x ? 4033 ? y ? | x ? 1| ? | x ? a | ? | x ? b |

(理)已知数列 {an } 中,若 a1 ? 0 , ai ? k 2 (i ? N * , 2k ? i ? 2k ?1, k ? 1, 2,3,?) ,则满足

ai ? a2i ? 100 的 i 的最小值为
二. 选择题 15. 已知直角坐标平面上两条直线方程分别为 l1 , a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 , l2 , a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 , 那么“

a1

b1

a2 b2

? 0 ”是“两直线 l1 、 l2 平行”的(



A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2

16.(文)若 1 ? 2i ( i 为虚数单位)是实系数方程 x ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则( A. b ? 2 , c ? ?3 C. b ? ?2 , c ? ?3 (理)若 z ? B. b ? 2 , c ? 5 D. b ? ?2 , c ? 5 )



m?i ( m ? R, i 为虚数单位)在复平面上的点不可能是位于( 1? i
B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

A. 第一象限

17. 若 ?ABC 的三条边 a 、 b 、 c 满足 (a ? b) : (b ? c) : (c ? a) ? 7 : 9 :10 ,则 ?ABC ( A. 一定是锐角三角形 C. 一定是钝角三角形 B. 一定是直角三角形 D. 可能是锐角三角形也可能是钝角三角形



18.(文)全集 U ={( x, y) | x ? R, y ? R} ,集合 S ? U ,若 S 中的点在直角坐标平面内形成 的图形关于原点、坐标轴、直线 y ? x 均对称,且 (2,3) ? S ,则 S 中元素个数至少有( A. 4 个 B. 6 个 C. 8 个 D. 10 个 )

(理)若函数 f ( x) ? lg[sin(? x) ? sin(2? x) ? sin(3? x) ? sin(4? x)] 的定义域与区间 [0,1] 的交 集由 n 个开区间组成,则 n 的值为( A. 2 B. 3 C. 4 ) D. 5

三. 解答题 19. 如图,小凳的凳面为圆形,凳脚为三根细钢管,考虑到钢管的受力等因素,设计的小凳应满足: 三根细钢管相交处的节点 P 与凳面圆形的圆心 O 的连线垂直于凳面和地面,且 P 分两钢管上下两段

2

的比值为 0.618, 三只凳脚与地面所成的角均为 60°, 若 A 、B 、C 是凳面圆周的三等分点,AB ? 18 厘米,求凳面的高度 h 及三根细钢管的总长度(精确到 0.01) ;

20. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,其中 a 、 b 为非零实常数; (1)若 f ( ) ?

?

4

2 , f ( x) 的最大值为 10 ,求 a 、 b 的值;

(2)若 a ? 1 , x ?

?
6

是 f ( x) 图像的一条对称轴,求 x0 的值,使其满足 f ( x0 ) ? 3 ,且

x0 ?[0, 2? ] ;

x?2 ,其中 a ? 1 ; x ?1 (1)证明:函数 f ( x) 在 (?1, ?) 上为增函数;
21. 已知函数 f ( x ) ? a ?
x

(2)证明:不存在负实数 x0 使得 f ( x 0 ) ? 0 ;

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ,则 ? ? 1 ( a , b ? 0) ,若点 满足 P ( x , y ) 0 0 a 2 b2 a 2 b2 x2 y2 称 P 在的 C( a ,b ) 外部;若点 P( x0 , y0 ) 满足 02 ? 02 ? 1,则称 P 在 C( a ,b ) 的内部; a b (1)证明:直线 3x ? y ? 1 ? 0 上的点都在 C(1,1) 的外部; ???? ? (2)若点 M 的坐标为 (0, ?1) ,点 N 在 C(1,1) 的内部或 C(1,1) 上,求 | MN | 的最小值;
22.(文)对于双曲线 C( a ,b ) :
2 2 2 (3)若 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,圆 x ? y ? r (r ? 0) 在 C( a ,b ) 内部及 C( a ,b ) 上的点构成的圆弧长

等于该圆周长的一半,求 b 、 r 满足的关系式及 r 的取值范围;

3

(理)已知数列 {an } 的通项公式为 an ? (n ? k1 )(n ? k2 ) ,其中 k1 , k2 ? Z ; (1)试写出一组 k1 , k2 ? Z 的值,使得数列 {an } 中的各项均为正数; (2)若 k1 ? 1 、 k2 ? N * ,数列 {bn } 满足 bn ? 写出所有满足条件的 k 2 的值; (3)若 0 ? k1 ? k2 ,数列 {cn } 满足 cn ? an ? | an | ,其前 n 项和为 Sn ,且使 ci ? c j ? 0

an * ,且对任意 m ? N (m ? 3) ,均有 b3 ? bm , n

(i, j ? N * , i ? j ) 的 i 和 j 有且仅有 4 组, S1 、 S2 、?、 Sn 中至少 3 个连续项的值相等,其
它项的值均不相等,求 k1 , k2 的最小值;

23.(文)已知数列 {an } 的通项公式为 an ? (n ? k1 )(n ? k2 ) ,其中 k1 , k2 ? Z ; (1)试写出一组 k1 , k2 ? Z 的值,使得数列 {an } 中的各项均为正数; (2)若 k1 ? 1 、 k2 ? N * ,数列 {bn } 满足 bn ? 写出所有满足条件的 k 2 的值; (3)若 0 ? k1 ? k2 ,数列 {cn } 满足 cn ? an ? | an | ,其前 n 项和为 Sn ,且使 ci ? c j ? 0

an * ,且对任意 m ? N (m ? 3) ,均有 b3 ? bm , n

(i, j ? N * , i ? j ) 的 i 和 j 有且仅有 4 组, S1 、 S2 、?、 Sn 中至少 3 个连续项的值相等,其
它项的值均不相等,求 k1 , k2 的最小值;

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ,则称 P ? ? 1 ( a , b ? 0) ,若点 满足 P ( x , y ) 0 0 a 2 b2 a 2 b2 x0 2 y0 2 在的 C( a ,b ) 外部;若点 P( x0 , y0 ) 满足 2 ? 2 ? 1,则称 P 在 C( a ,b ) 的内部; a b
(理)对于双曲线 C( a ,b ) : (1)若直线 y ? kx ? 1 上的点都在 C(1,1) 的外部,求 k 的取值范围;
2 2 2 (2)若 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,圆 x ? y ? r (r ? 0) 在 C( a ,b ) 内部及 C( a ,b ) 上的点构成的圆弧长

等于该圆周长的一半,求 b 、 r 满足的关系式及 r 的取值范围; (3)若曲线 | xy | ? mx2 ? 1 (m ? 0) 上的点都在 C( a ,b ) 的外部,求 m 的取值范围;

4

参考答案
一. 填空题 1. 1 6.

3 2

1 3 3 3 7. 2
2.

3. ( x ? 1)3 8. ?3

4.

?
n?1

5.(文) arctan

1 1 (理) arctan 2 2

9.(文) 32 (理)15 12.(文)2(理)

10.(文)15(理) 10 3 13.(文)

11.(文) 10 3 (理)

1 14

1 6

1 (理)2016 14

14.(文)2016(理)128

二. 选择题 15. B 16.(文)D(理)D 17. C 18.(文)C(理)C

三. 解答题 19. h ? 29.13 cm,三根细管总长度 100.90 cm; 20.(1) a ? ?1 , b ? 3 或 a ? 3 , b ? ?1 ; (2) f ( x) ? 2sin( x ? 21. 证明略; 22.(文) (1)略; (2)

?
3

) , x0 ? 0 或

? 或 2? ; 3

8b 2 6 2 ; (3) r ? 2 ,r ? 2 2; b ?3 2

(理) (1) k1 ? k2 ? 0 ; (2)7、8、9、10、11; (3) k1 ? 5 , k2 ? 6 ; 23.(文) (1) k1 ? k2 ? 0 ; (2)7、8、9、10、11; (3) k1 ? 5 , k2 ? 6 ; (理) (1) (??, ? 2) ? ( 2, ??) ; (2) r ?
2

b 8b 2 ,r ? 2 2; (3) m ? ; 2 a b ?3

5


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