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黑龙江省双鸭山一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


黑龙江省双鸭山一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理 科)
一、选择题(包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是() 2 2 A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤﹣1 B. 若﹣1<x<1,则 x <1 2 2 C. 若 x>1 或 x<﹣1,则 x >1 D.若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1 2. (5 分)方程 x +y +4mx﹣2y+5m=0 表示圆的充要条件是() A. <m<1 B.m< 或 m>1 C.m< D.m>1
2 2 2

3. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,下列各 式运算结果为向量 ①( ②( ③( ④( A.①② + ﹣ ﹣ )﹣ )﹣ )﹣ ﹣ )+ ; ; ; . B.②③ C.③④

的是()

D.①④

4. (5 分)已知向量 =(1,0,﹣1) ,则下列向量中与 成 60°夹角的是() A.(﹣1,1,0) B.(1,﹣1,0) C.(0,﹣1,1) D.(﹣1,0,1)

5. (5 分)椭圆

的两顶点为 A(a,0) ,B(0,b) ,且左焦点为 F,

△ FAB 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为() A. B.
2 2

C.

D.

6. (5 分)过点(3,1)作圆(x﹣1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的 方程为() A.2x+y﹣3=0 B.2x﹣y﹣3=0 C.4x﹣y﹣3=0 D.4x+y﹣3=0 7. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为 A1D1,CC1 的中点,P 为 A1B1 上的 一动点,则 PF 与 AE 所成的角为()

A.45°
2

B.60°

C.90°

D.不确定

8. (5 分)过抛物线 y =10x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之 和等于 5,则这样的直线() A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 9. (5 分)直线 y=kx+3 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 的取值范围是() A. B.
2 2 2 2

,则 k

C.

D.

10. (5 分)与直线 x+y﹣2=0 和曲线 x +y ﹣12x﹣12y+54=0 都相切的半径最小的圆的标准方 程是() 2 2 2 2 2 A.(x﹣2) +(y﹣2) =4 B.(x﹣2) +(y﹣3) =4 C. (x﹣2) +(y 2 2 2 ﹣2) =2 D. (x﹣2) +(y﹣3) =2 11. (5 分)已知 A(0,7) 、B(0,﹣7) 、C(12,2) ,以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆, 椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是() A.y ﹣
2 2

=1(y≤﹣1)

B. y ﹣
2

2

=1

C. y ﹣

=﹣1

D.x ﹣

=1

12. (5 分)已知双曲线

的离心率

,2].双曲线的两条渐近线构成的角中,

以实轴为角平分线的角记为 θ,则 θ 的取值范围是() A. , B. , C. , D. ,π]

二、填空题(包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若向量 =(1,1,x) , =(1,2,1) , =(1,1,1) ,满足条件( ﹣ )?(2 ) =﹣2,则 x=. 14. (5 分)双曲线 4x ﹣9y =36 上一点 P,与两焦点 F1F2 构成△ PF1F2,则△ PF1F2 的内切圆 与边 F1F2 的切点 N 的坐标为. 15. (5 分)设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取 值范围是.
2 2 2 2

16. (5 分)

+

=1 上有一动点 P,圆 E: (x﹣1) +y =1,过圆心 E 任意做一条直线与圆 E
2 2

2

2

交于 A、B 两点,圆 F: (x+1) +y =1,过圆心任意做一条直线交圆 F 于 C、D 两点,则 ? + ? 的最小值为.

三、解答题(包括 6 小题,共 70 分) 2 17. (10 分)设 p:|4x﹣3|≤1;q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p 是¬q 的必要而不充分 条件,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)已知圆 C:x +y ﹣4x﹣6y+12=0,点 A(3,5) . (1)求过点 A 的圆的切线方程; (2)O 点是坐标原点,连接 OA,OC,求△ AOC 的面积 S. 19. (12 分)如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.
2 2

20. (12 分)在直角坐标平面上给定一曲线 y =2x. ( 1)设点 A 的坐标为( ,0) ,求曲线上距点 A 最近的点 P 坐标及相应的距离|PA|; (2)设点 A 的坐标为(a,0)a∈R,求曲线上的点到点 A 距离的最小值 d,并写出 d=f(a) 的函数表达式. 21. (12 分)如图:直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=2,D 为 AB 中 点. (1)求证:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D﹣CA1 ﹣A 的正切值.

2

22. (12 分)抛物线 C 的方程为 y=ax (a<0) ,过抛物线 C 上一点 P(x0,y0) (x0≠0)作斜 率为 k1,k2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不 相同) ,且满足 k2+λk1= 0(λ≠0 且 λ≠﹣1) . (Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线 AB 上一点 M,满足 =λ ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上;

2

(Ⅲ)当 λ=1 时,若点 P 的坐标为(1,﹣1) ,求∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1 的取值范 围.

黑龙江省双鸭山一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1. (5 分)命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是() 2 2 A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤﹣1 B. 若﹣1<x<1,则 x <1 2 2 C. 若 x>1 或 x<﹣1,则 x >1 D.若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1 考点: 四种命题. 分析: 根据逆否命题的定义,直接写出答案即可,要注意“且”形式的命题的否定. 2 解答: 解:原命题的条件是““若 x <1”,结论为“﹣1<x<1”, 2 则其逆否命题是:若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1. 故选 D. 点评: 解题时, 要注意原命题的结论“﹣1<x<1”, 是复合命题“且”的形式, 否定时, 要用“或” 形式的符合命题. 2. (5 分)方程 x +y +4mx﹣2y+5m=0 表示圆的充要条件是() A. <m<1 B.m< 或 m>1 C.m< D.m>1
2 2

考点: 二元二次方程表示圆的条件;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 利用圆的一般方程表示圆的充要条件,D +E ﹣4F>0 求解即可. 解答: 解:由(4m) +4﹣4×5m>0 知 m< 或 m>1. 故选 B 点评: 本题考查二元二次方程表示圆的充要条件,考查知识的应用能力,是基础题. 3. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,下列各 式运算结果为向量 ①( ②( ③( ④( A.①② + ﹣ ﹣ )﹣ )﹣ )﹣ ﹣ )+ ; ; ; . B.②③ C.③④ D.①④ 的是()
2 2 2

考点: 空间向量的加减法. 专题: 计算题;空间向量及应用. 分析: 作出正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,由空间向量的加减法法则计算即可. 解答: 解:如图: ①( ②( ③( ④( 故选 A. + ﹣ ﹣ )﹣ )﹣ )﹣ ﹣ )+ = = = ﹣ = + ﹣ ﹣ = = = ; . ; ;

点评: 本题考查了空间向量的线性运算,属于基础题.

4. (5 分)已知向量 =(1,0,﹣1) ,则下列向量中与 成 60°夹角的是() A.(﹣1,1,0) B.(1,﹣1,0) C.(0,﹣1,1) D.(﹣1,0,1)

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 空间向量及应用. 分析: 根据空间向量数量积的坐标公式,即可得到结论. 解答: 解:不妨设向量为 =(x,y,z) , A.若 =(﹣1,1,0) ,则 cosθ= = ,不满足条件.

B.若 =(1,﹣1,0) ,则 cosθ=

=

= ,满足条件.

C.若 =(0,﹣1,1) ,则 cosθ=

=

,不满足条件.

D.若 =(﹣1,0,1) ,则 cosθ=

=

,不满足条件.

故选:B 点评: 本题主要考查空间向量的数量积的计算,根据向量的坐标公式是解决本题的关键.

5. (5 分)椭圆

的两顶点为 A(a,0) ,B(0,b) ,且左焦点为 F,

△ FAB 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先求出 F 的坐标求出直线 AB 和 BF 的斜率,两直线垂直可知两斜率相乘得﹣1,进 而求得 a 和 c 的关系式,进而求得 e. 解答: 解:依题意可知点 F(﹣c,0) 直线 AB 斜率为 ∵∠FBA=90°, ∴(
2

=

,直线 BF 的斜率为

=

)? =﹣
2 2

=﹣1
2

整理得 c +ac﹣a =0,即( ) + ﹣1=0,即 e ﹣e﹣1=0 解得 e= ∵e<1 ∴e= , 或

故选 C. 点评: 本题主要考查了椭圆的性质,要注意椭圆的离心率小于 1.属基础题. 6. (5 分)过点(3,1)作圆(x﹣1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的 方程为() A.2x+y﹣3=0 B.2x﹣y﹣3=0 C.4x﹣y﹣3=0 D.4x+y﹣3=0 考点: 圆的切线方程;直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意判断出切点(1,1)代入选项排除 B、D,推出令一个切点判断切线斜率,得 到选项即可. 2 2 解答: 解:因为过点(3,1)作圆(x﹣1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,所以圆 的一条切线方程为 y=1,切点之一为(1,1) ,显然 B、D 选项不过(1,1) ,B、D 不满足题 意;另一个切点的坐标在(1,﹣1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项 C 不满足,A 满足. 故选 A. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,圆的切线方程求法,可以直接解答,本题的解答是 间接法,值得同学学习.
2 2

7. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为 A1D1,CC1 的中点,P 为 A1B1 上的 一动点,则 PF 与 AE 所成的角为() A.45° B.60° C.90° D.不确定 考点: 专题: 分析: 角. 解答: 异面直线及其所成的角. 空间位置关系与距离;空间角. 首先建立空间直角坐标系,求出向量的坐标,利用向量的数量积求出异面直线的夹 解:建立空间直角坐标系 D﹣xyz ) ,F(0,1, ) ,P(1,λ,1) (0≤λ≤1)

设正方体的边长为 1,则:A(1,0,0) ,E( 则: 由于 所以: PF 与 AE 所成的角为 90° 故选:C ,

点评: 本题考查的知识要点:空间直角坐标系的建立,向量的数量积,及相关的运算. 8. (5 分)过抛物线 y =10x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之 和等于 5,则这样的直线() A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 过抛物线 y =10x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,先看直线 AB 斜率 不存在时,求得横坐标之和等于 5,符合题意;进而设直线 AB 为 y=k(x﹣ )与抛物线方程 联立消去 y,进而根据韦达定理表示出 A、B 两点的横坐标之和,进而求得 k.得出结论. 解答: 解:过抛物线 y =10x 的焦点( ,0) ,作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点, 若直线 AB 的斜率不存在,则横坐标之和等于 5,适合.
2 2

再设直线 AB 的斜率为 k,则直线 AB 为 y=k(x﹣ ) , 代入抛物线 y =10x 得,k x ﹣(5k +10)x+ ∵A、B 两点的横坐标之和等于 5, ∴ =5,解得 k∈?,
2 2 2 2

k =0,

2

则这样的直线有且仅有一条, 故选:A. 点评: 本题主要考查了抛物线的应用.解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况, 以免遗漏. 9. (5 分)直线 y=kx+3 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 的取值范围是() A. B. C. D.
2 2

,则 k

考点: 直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式;直线和圆的方程的应用. 专题: 压轴题. 分析: 先求圆心坐标和半径,求出最大弦心距,利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距, 求出 k 的范围. 解答: 解:解法 1:圆心的坐标为(3,2) ,且圆与 x 轴相切. 当 ,弦心 距最大,

由点到直线距离公式得

解得 k∈ 故选 A.



解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可,不取+∞,排除 B,考虑区间不 对称,排除 C,利用斜率估值, 故选 A.

点评: 考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考查数形结合的运用.解法 2 是一种间接解法,选择题中常用.

10. (5 分)与直线 x+y﹣2=0 和曲线 x +y ﹣12x﹣12y+54=0 都相切的半径最小的圆的标准方 程是() A.(x﹣2) +(y﹣2) =4 2 ﹣2) =2 D.
2 2

2

2

B.(x﹣2) +(y﹣3) =4 C. (x﹣2) +(y 2 2 (x﹣2) +(y﹣3) =2

2

2

2

考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由题意可知先求圆心坐标,再求圆心到直线的距离,求出最小的圆的半径,圆心坐 标,可得圆的方程. 2 2 解答: 解:曲线化为(x﹣6) +(y﹣6) =18, 其圆心到直线 x+y﹣2=0 的距离为 d= 所求的最小圆的圆心在直线 y=x 上, 其到直线的距离为 ,圆心坐标为(2,2) . 2 2 标准方程为(x﹣2) +(y﹣2) =2. 故选:C. =5 .

点评: 本题考查直线和圆的方程的应用,考查转化的数学思想,是中档题. 11. (5 分)已知 A(0,7) 、B(0,﹣7) 、C(12,2) ,以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆, 椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是() A.y ﹣
2 2

=1(y≤﹣1)

B. y ﹣
2

2

=1

C. y ﹣

=﹣1

D.x ﹣

=1

考点: 轨迹方程;双曲线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 利用两点的距离公式求出 AC,BC,AB;利用椭圆的定义得到|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, 将等式变形得到|AF|﹣|BF|=4,利用双曲线的定义 及双曲线方程的特点求出轨迹方程. 解答: 解:由题意|AC|=13,|BC|=15, |AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴|AF|﹣|BF|=|BC|﹣|AC|=2<14. 故 F 点的轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线下支. 2 又 c=7,a=1,b =48,

所以轨迹方程为 y ﹣

2

=1(y≤﹣1) .

故选 A. 点评: 本题考查两点距离公式、椭圆的定义、双曲线的定义.

12. (5 分)已知双曲线

的离心率

,2].双曲线的两条渐近线构成的角中,

以实轴为角平分线的角记为 θ,则 θ 的取值范围是() A. , B. , C. , D. ,π]

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用离心率的范围进而求得 a 和 c 不等式关系, 进而利用 a, b 和 c 的关系求得 a 和 b 的不等式关系,进而求得渐近线斜率 k 的范围,利用 k=tan 确定 tan 的范围,进而确定 θ 的范围.

解答: 解:根据定义 e= = ∵ ∴ ,2]. b≤a≤b 所以 1≤k≤



而渐近线的斜率 k= 所以 45°≤ ≤60°

所以 90°≤θ≤120°,即





故选 C 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生对平面解析几何知识的综合运用. 二、填空题(包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若向量 =(1,1,x) , =(1,2,1) , =(1,1,1) ,满足条件( ﹣ )?(2 ) =﹣2,则 x=2. 考点: 空间向量的数量积运算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由条件( ﹣ )?(2 )=﹣2,化简可得 2(1﹣x)=﹣2,由此求得 x 的值.

解答: 解:由题意向量 =(1,1,x) , =(1,2,1) , =(1,1,1) ,满足条件( ﹣ ) ?(2 )=﹣2 所以( ﹣ )?(2 )=(0,0,1﹣x)?(2,4,2)=2(1﹣x)=﹣2, 可得 x=2, 故答案为:2. 点评: 本题主要考查两个向量数量积公式的应用,两个向量坐标形式的运算,属于基础题. 14. (5 分)双曲线 4x ﹣9y =36 上一点 P,与两焦点 F1F2 构成△ PF1F2,则△ PF1F2 的内切圆 与边 F1F2 的切点 N 的坐标为(3,0)或(﹣3,0) . 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点 N 的横坐标,由圆的切线性质|PF1﹣ PF2|=|FIM﹣F2Q|=|F1N﹣F2N|=6,由于 F1N+F2N=F1F2=2c,即可解出 ON. 2 2 解答: 解:双曲线 4x ﹣9y =36 即为 =1, 设△ PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点 N,与边 PF1 的切点为 M,与边 PF2 上的切点为 Q, 则△ PF1F2 的内切圆的圆心的横坐标与 N 的横坐标相同. 由双曲线的定义,|PF1﹣ PF2|=2a=6. 由圆的切线性质|PF1﹣PF2|=|FIM﹣F2Q|=|F1N﹣F2N|=6, ∵F1N+F2N=F1F2=2c=2 ,∴F2N=3 , 或﹣3 ,ON=3, 即 N 的横坐标为±3. 故答案为: (3,0)或(﹣3,0) . 点评: 本题考查双曲线的方程和定义及性质,巧妙地借助于圆的切线的性质,属于中档题. 15. (5 分)设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取 值范围是. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线和圆的位置关系,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:由题意画 出图形如图:点 M(x0,1) , 2 2 要使圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°, 则∠OMN 的最大值大于或等于 45°时一定存在点 N,使得∠OMN=45°, 而当 MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值, 此时 MN=1, 图中只有 M′到 M″之间的区域满足 MN=1, ∴x0 的取值范围是. 故选:A.
2 2 2 2

点评: 本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线设出角的求法,数形结合是快速解得本 题的策略之一.

16. (5 分)

+

=1 上有一动点 P,圆 E: (x﹣1) +y =1,过圆心 E 任意做一条直线与圆 E
2 2

2

2

交于 A、B 两点,圆 F: (x+1) +y =1,过圆心任意做一条直线交圆 F 于 C、D 两点,则 ? + ? 的最小值为 6.

考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先利用条件得出 的数量积的运算求出 ? 与 互为相反向量,且长为 1.再利用向量的三角形法则和向量 ? ,再与点 P 是椭圆上的点相结合即可

的表达式;同理求出

求出结论. 解答: 解:设 P(a,b) 则由已知得 又∵ ∴ 1; 同理可得 故 ? + ? = = ﹣1. + ﹣2=(a﹣1) +b +(a+1) +b ﹣2=2(a +b )
2 2 2 2 2 2 2

与 ,

互为相反向量,且长为 1. = , = + ? ( ) + = +0﹣1= ﹣

=

①.

又因为点 P(a,b)在

+

=1 上,所以有

=1?b =3(1﹣



②.

把②代入①整理得,

?

+

?

=2(3+

)≥6.

故答案为 6. 点评: 本题主要考查向量基本知识以及圆与圆锥曲线的综合问题.是对知识点的一个综合 考查,属于中档题. 三、解答题(包括 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)设 p:|4x﹣3|≤1;q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p 是¬q 的必要而不充分 条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: 根据绝对值的性质和十字相乘法分别求出命题 p 和 q,再根据¬p 是¬q 的必要而不 充分条件,可以推出 p?q,再根据子集的性质进行求解; 2 解答: 解:∵p:|4x﹣3|≤1;q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0, ∴p:﹣1≤4x﹣ 3≤1,解得{x| ≤x≤1},q:{x|a≤x≤a+1}, ∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件, ∴¬q?¬p,¬p 推不出¬q,可得 p?q,q 推不出 p, ∴ 解得 0≤a≤ ,验证 a=0 和 a= 满足题意,
2

∴实数 a 的取值范围为:a∈; 点评: 本题考查充分条件必要条件的定义及绝对值的性质,确定两个条件之间的关系,本 题求解中涉及到了一元二次方程有根的条件,及集合间的包含关系,有一定的综合性. 18. (12 分)已知圆 C:x +y ﹣4x﹣6y+12=0,点 A(3,5) . (1)求过点 A 的圆的切线方程; (2)O 点是坐标原点,连接 OA,OC,求△ AOC 的面积 S. 考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)先把圆转化为标准方程求出圆心和半径,再设切线的斜率为 k,写出切线方程, 利用圆心到直线的距离等于半径,解出 k,然后可得切线方程. (2)先求 OA 的长度,再求直线 AO 的方程,再求 C 到 OA 的距离,然后求出三角形 AOC 的面积. 2 2 2 2 解答: 解: (1)因为圆 C:x +y ﹣4x﹣6y+12=0?(x﹣2) +(y﹣3) =1. 所以圆心为(2,3) ,半径为 1. 当切线的斜率存在时, 设切线的斜率为 k,则切线方程为 kx﹣y﹣3k+5=0, 所以 =1,
2 2

所以 k= ,所以切线方程为 :3x﹣4y+11=0; 而点(3,5)在圆外,所以过点(3,5)做圆的切线应有两条, 当切线的斜率不存在时, 另一条切线方程为:x=3. (2)|AO|= = , 经过 A 点的直线 l 的方程为:5x﹣3y=0, 故 d= ,

故 S= d|AO|= 点评: 本题考查圆的切线方程,点到直线的距离公式,是基础题. 19. (12 分)如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点 . (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.

考点: 直线与平面垂直的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: (1) 利用两平行线中的一条垂直于平面另一条也垂直平面判断出 NO⊥平面 ABCD, 利用线面垂直的判定定理与性质定理得到 MN⊥CD. (2)利用等腰三角 形的中线垂直于底边得到 MN⊥PC,由(1)知,MN⊥CD,利用线面垂 直的判定定理得到 MN⊥平面 PCD. 解答: 证明: (1)连接 AC,BD,设 AC∩BD=0,连接 NO,MO,则 NO∥PA.

∵PA⊥平面 ABCD, ∴NO⊥平面 ABCD, ∴NO⊥AB, ∵MO⊥AB, ∴AB⊥面 MNO ∴MN⊥AB,而 CD∥AB,

∴MN⊥CD…(6 分) (2)∵∠PDA=45° ∴PA=AD=BC,由△ PAM≌△CMB, 得 PM=CM, 又∵N 为 PC 的中点, ∴MN⊥PC 又 MN⊥CD,PC∩CD=C ∴MN⊥平面 PCD…(12 分) 点评: 本题考查线面垂直的判定定理;考查线面垂直的性质定理,利用三角形的中位线证 明线线平行,属于中档题. 20. (12 分)在直角坐标平面上给定 一曲线 y =2x. ( 1)设点 A 的坐标为( ,0) ,求曲线上距点 A 最近的点 P 坐标及相应的距离|PA|; (2)设点 A 的坐标为(a,0)a∈R,求曲线上的点到点 A 距离的最小值 d,并写出 d=f(a) 的函数表达式. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题;函数的性质及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设 P(x,y)为抛物线上任一点,进而根据勾股定理可得|PA| =(x﹣ ) +y , 利用 x 的范围求得|PA|的最小值; (2)依题意可得)|PA| =(x﹣a) +y =分析当 a﹣1≥0 和 a﹣1<0 时|PA|的最小值,进而可求 得 d. 解答: 解: (1)设点 P(x,y)是抛物线 y =2x 上任意一点, ∴|PA| =(x﹣ ) +y =x ﹣ x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

+2x=(x

)+ ,

2

当 x=0 时,|PA|min= ,此时 P(0,0) . (2)设 P(x,y)为 y =2x 上任意一点, 2 2 2 2 2 2 ∴|PA| =(x﹣a) +y =x ﹣2ax+a +2x= +2a﹣1(x≥0) ①当 a≥1 时,x=a﹣1≥0,即 a≥1 处|PA|min= ②当 a<1 时,x=0,|PA|min=|a|. 综上所述,d= . ;
2

点评: 本题主要考查抛物线的性质, 综合了函数的定义域和值域的问题, 要注意对 a 的范围 进行分类讨论,属于中档题. 21. (12 分)如图:直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=2,D 为 AB 中 点. (1)求证:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D﹣CA1﹣A 的正切值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)连接 AC1 交 A1C 于 O 点,连接 DO,则 O 为 AC1 的中点,由 D 为 AB 中点, 知 DO∥BC1,由此能够证明 BC1∥平面 A1CD. (2)以 CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CC1 为 z 轴,建立空 间直角坐标系,利用向量法能够求出二 面角 D﹣CA1﹣A 的正切值. 解答: (1)证明:连接 AC1 交 A1C 于 O 点,连接 DO,则 O 为 AC1 的中点, ∵D 为 AB 中点,∴DO∥BC1, 又∵DO?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, ∴BC1∥平面 A1CD. (2)解:以 CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CC1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, ∵直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=2,D 为 AB 中点. ∴ =(﹣2,2,2) ,

设二面角 D﹣CA1﹣A 的大小为 θ,则 ∵平面 ACA1 的法向量是 =(0,1,0) ∴cosθ= ∴二面角 D﹣CA1﹣A 的正切值是 . = ,∴tanθ= ,

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角 D﹣CA1﹣A 的正切值,解题时要认真 审题,注意空间思维能力的培养.

22. (12 分)抛物线 C 的方程为 y=ax (a<0) ,过抛物线 C 上一点 P(x0,y0) (x0≠0)作斜 率为 k1,k2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不 相同) ,且满足 k2+λk1=0(λ≠0 且 λ≠﹣1) . (Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线 AB 上一点 M,满足 =λ ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上;

2

(Ⅲ)当 λ=1 时,若点 P 的坐标为(1,﹣1) ,求∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1 的取值范 围. 考点: 抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)数形结合,依据抛物线 C 的标准方程写焦点坐标和准线方程. (2)先依据条件求出点 M 的横坐标,利用一元二次方程根与系数的关系,证明 xM+x0=0. (3)∠PAB 为钝角时,必有 ? <0.用 k1 表示 y1,通过 k1 的范围来求 y1 的范围.
2

解答: 解: (Ⅰ)由抛物线 C 的方程 y=ax (a<0)得,焦点坐标为(0, y=﹣ .

) ,准线方程为

(Ⅱ)证明:设直线 PA 的方程为 y﹣y0=k1(x﹣x0) ,直线 PB 的方程为 y﹣y0=k2(x﹣x0) . 点 P(x0,y0)和点 A(x1,y1)的坐标是方程组
2

的解.

将②式代入①式得 ax ﹣k1x+k1x0﹣y0=0,于是 x1+x0= 又点 P(x0,y0)和点 B(x2,y2)的坐标是方程组
2

,故 x1=

﹣x0 ③. 的解.

将⑤式代入④式得 ax ﹣k2x+k2x0﹣y0=0.于是 x2+x0= 由已知得,k2=﹣λk1,则 x2=﹣ 设点 M 的坐标为(xM,yM) ,由 ﹣x0. ⑥ =λ ,可得 xM=

,故 x2=

﹣x0.



将③式和⑥式代入上式得 xM=

=﹣x0,

即 xM+x0=0.所以线段 PM 的中点在 y 轴上. 2 2 (Ⅲ)因为点 P(1,﹣1)在抛物线 y=ax 上,所以 a=﹣1,抛物线方程为 y=﹣x . 2 2 由③式知 x1=﹣k1﹣1,代入 y=﹣x 得 y1=﹣(k1+1) . 2 2 将 λ=1 代入⑥式得 x2=k1﹣1,代入 y=﹣x 得 y2=﹣(k2+1) . 2 因此,直线 PA、PB 分别与抛物线 C 的交点 A、B 的坐标为 A(﹣k1﹣1,﹣k1 ﹣2k1﹣1) ,B 2 (k1﹣1,﹣k1 +2k1﹣1) . 于是 =(k1+2,k1 +2k1) ,
2

=(2k1,4k1) ,

?

=2k1(k1+2)+4k1(k1 +2k1)=2(k1+2) (2+k11) . ? <0.

2

因∠PAB 为钝角且 P、A、B 三点互不相同,故必有 求得 k1 的取值范围是 k1<﹣2,或﹣ <k1<0.

又点 A 的纵坐标 y1 满足 y1=﹣(k1+1) ,故当 k1<﹣2 时,y1<﹣1;当﹣ <k1<0 时,﹣1 <y<﹣ . 即 y1∈(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,﹣ ) . 点评: 本题综合考查直线和圆锥曲线位置关系,训练学生的综合应用知识解决问题的能力, 属于中档题.

2


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