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江苏省张家港高级中学6学高二数学下学期期中试题文-精


2015—2016 学年第二学期期中考试三校联考 高二文科数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.设全集 U 是实数集 R,M={x|x >4},N={x| 1 ? x ? 3 },则如图中阴影
2

部分所表示的集合是



.

r />2.“α =

π 1 +2kπ (k∈Z)”是“cos 2α = ”的 6 2



条件.(填充分不必

要 ,必要不充分,充要条件或既不充分也不必要)

3.若复数

2 ? bi (b ? R ) 为纯虚数,则 b ? 1? i



.

4. 已 知 函 数 f ( x) ? lg x ? x ? 3 在 区 间 (k , k ? 1)(k ? Z ) 上 有 零 点 , 则 k ? ▲ . ▲ .

5.函数 f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 1 ,若 f ( 3) ? 2 ,则 f (? 3) 的值为 π 6.函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0, |φ |< )图象的一 2 部分如图所示,其解析式为 ▲ .

7.函数 y ? x 2 ? 4 ln x 的单调递减区间是



.

3 8.若直线 y ? kx ? 2 与曲线 y ? x ? mx ? n 相切于点 (1,4) ,则 n ? ▲ . 5 9.已知 tan α =- ,且 α 为第二象限角,则 sin α 的值等于 ▲ . 12 π 2 2π 10.已知 cos( -α )= ,则 sin(α - )= ▲ . 6 3 3

11. 命题 “ ?x ? R, ax 2 ? 2ax ? 3 ? 0 恒成 立” 是假命 题, 则实 数 a 的 取值范围 是 ▲ . 12.函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? ,若 f (?a) ? f (a) ? 2 f (3) ,则实数 a 的取值范围 2 x ? 2 x , x ? 0 ? ?
-1-





.

13. f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, xf / ( x) ? f ( x) ? 0 ,且 f (?3) ? 0 ,则

f ( x) ▲ . ? 0 的解集 x 14.已知函数 y=tan ω x (ω >0)与直线 y=a 相交于 A、B 两点,且|AB|最小值为 π , 则函数 f(x)= 3sin ω x-cos ω x 的单调增区间是 ▲ .
不等式

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (14 分)设命题 P :函数 f ( x) ? x2 ? 2ax 在 (1, ??) 上递增;命题 Q :函数

y ? lg(ax2 ? x ? a) 的定义域为 R.若 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,求 a 的取值范围.

1 16.(14 分)已知集合 A={x|0<ax+1≤5} ,集合 B={x|- <x≤2}.若 B? A,求 2 实数 a 的取值范围.

-2-

17. (15 分)设函数 f(x)=1+cos 2x+ 3sin 2x ? π π? (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈?- , ?,求 x; ? 3 3? (2)求函数 y=f(x)的单调增区间,并在给出的坐标系中画出 y=f(x)在区间[0,π ] 上的图象.

18. (15 分)现有一张长 80 厘米、宽 60 厘米的长方形 ABCD 铁皮,准备用它做成 一只无盖长方体铁皮盒, 要求材料利用率为 l0 0%,不考虑焊接处损失. 方案一:如图(1),从右侧两个角上剪下两个小正方形,焊接到左侧中间,沿虚线 折起,求此时铁皮盒的体积; 方案二:如图 (2),若从长方形 ABCD 的一个角上剪 下一块正方形铁皮,作为铁 皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,求该铁皮盒体积的最大值.

-3-

19.(16 分) 设 f ( x) ? log 1

1 ? ax ( a 为常数)的图像关于原点对称 x ?1 2

(1)求 a 的值; (2)判断函数 f ( x) 在区间 (1,??) 的单调性并证明; (3) 若对于区间 [3,4] 上的每一个 x 的值, f ( x) ? ( ) ? m 恒成立, 求实数 m 的 取
x

1 2

值范围.

20.(16 分)已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ?x 2 ? ax ? 3 . (1) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2) 对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x)≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex
-4-

2015—2016 学年第二学期期中考试三校联考 高二文科数学试卷评分标准 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.设全集 U 是实数集 R,M={x|x >4},N={x| 1 ? x ? 3 },则如图中
2

阴影部分所表示的集合是 答案 {x|1≤x≤2} 2.“α =



.

π 1 +2kπ (k∈Z)”是“cos 2α = ”的 6 2



条件.(填充分不必

要 ,必要不充分,充要条件或既不充分也不必要) 答案 充分不必要 3.若复数

2 ? bi (b ? R ) 为纯虚数,则 b ? 1? i



. 答案 2

4. 已 知 函 数 f ( x) ? lg x ? x ? 3 在 区 间 (k , k ? 1)(k ? Z ) 上 有 零 点 , 则 k ? ▲ .2 ▲ .0

5.函数 f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 1 ,若 f ( 3) ? 2 ,则 f (? 3) 的值为

π 6.函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0 ,|φ |< )图象的一部分如图所示,其解析式 2 为 ▲ . π y=sin(2x+ ) 3

7.函数 y ? x 2 ? 4 ln x 的单调递减区间是



. (0, 2)

8.若直线 y ? kx ? 2 与曲线 y ? x3 ? mx ? n 相切于点 (1,4) ,则 n ? ▲ .4 5 5 9.已知 tan α =- ,且 α 为第二象限角,则 sin α 的值等于 ▲ . 12 13 π 2 2π 2 10.已知 cos( -α )= ,则 sin(α - )= ▲ . - 6 3 3 3 11. 命题 “ ?x ? R, ax 2 ? 2ax ? 3 ? 0 恒成 立” 是假命 题, 则实 数 a 的 取值范围 是 ▲ .

[0,3)

-5-

2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 12.函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f (?a) ? f (a) ? 2 f (3) ,则实数 a 的取值范围 ? ? x ? 2 x, x ? 0

是 ▲ .

[?3,3]
13. f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, xf / ( x) ? f ( x) ? 0 ,且 f (?3) ? 0 ,则 不等

f ( x) ▲ . (??, ?3) ? (0,3) ? 0 的解集 x 14.已知函数 y=tan ω x (ω >0)与直线 y=a 相交于 A、B 两点,且|AB|最小值为 π , 则函数 f(x)= 3sin ω x-cos ω x 的单调增区间 是 ▲ .


?2kπ -π ,2kπ +2π ? (k∈Z) ? 3 3 ? ? ?
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (14 分)设命题 P :函数 f ( x) ? x ? 2ax 在 (1, ??) 上递增;命题 Q :函数
2

y ? lg(ax2 ? x ? a) 的定义域为 R.若 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,求 a 的取值范围.
15.解:P 真 ? a ? 1
2

??????????????4 分

Q 真 ? ax ? x ? a ? 0 恒成立

1 ?a ? 0 ? a ? ??????????????8 分 ? 2 2 ? ? ? 1 ? 4a ? 0 若 P 或 Q 为真, P 且 Q 为假 则 P , Q 一真一假 9分
1 , ????????????? 11 分 2 若 Q 真而 P 假,则 a ? 1 ????????????? 13 分 1 综上 a ? 或 a ?1 ????????????? 14 分 2
∴若 P 真而 Q 假,则 a ? 1 16.(14 分)已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B={x|- <x≤2}.若 B? A,求实 2 数 a 的取值范围. 解 当 a=0 时,显然 B? A;(2 分)

当 a<0 时,
-6-

若 B? A,如图, 4 1 ≤- , ? ?a 2 则? 1 - >2, ? ? a

(6 分)

a≥-8, ? ? ∴? 1 a>- . ? 2 ?

1 ∴- <a<0;(8 分) 2

当 a>0 时,如图,若 B? A,

1 1 ? ?-a≤-2, 则? 4 ?a≥2, ?

(11 分)

∴?

? ?a≤2, ?a≤2. ?

∴0<a≤2.(13 分)

1 综上知,当 B? A 时,- <a≤2.(14 分) 2 17. (15 分)设函数 f(x)=1+cos 2x+ 3sin 2x ? π π? (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈?- , ?,求 x; ? 3 3? ( 2)求函数 y=f(x)的单调增区间, 并在给出的坐标系中画出 y=f(x)在区间[0, π] 上的图象.

17.解 分)

π? ? (1)依题设得 f(x)=1+cos 2x+ 3sin 2x=2sin?2x+ ?+1. ?(2 6? ?

π? π? 3 ? ? 由 2sin?2x+ ?+1=1- 3,得 sin?2x+ ?=- .????????(3 分) 6 6 2 ? ? ? ?

-7-

π π π π 5π ∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ . 3 3 2 6 6 π π π ∴2x+ =- ,即 x=- .????????????(6 分) 6 3 4 π π π (2)- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z), 2 6 2 π π 即- +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z), 3 6 π ? π ? 得函数单调增区间为?- +kπ , +kπ ? (k∈Z).????(10 分) 6 ? 3 ? 列表: π π π 2π 5π x 0 π 6 3 2 3 6 y 2 3 2 0 -1 0 2 描点连线,得函数图象如图所示:

???????????(14 分)

18. (15 分)现有一张长 80 厘米、宽 60 厘米的长方形 ABCD 铁皮,准备用它做成 一只无盖长方体铁皮盒, 要求材料利用率为 l0 0%,不考虑焊接处损失. 方案一:如图(1),从右侧两个角上剪下两个小正方形,焊接到左侧中间,沿虚线 折起,求此时铁皮盒的体积; 方案二:如图 (2),若从长方形 ABCD 的一个角上剪 下一块正方形铁皮,作为铁 皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,求该铁皮盒体积的最大值.

-8-

18.解:方案一:设小正方形的边长为 x ,由题意得 4 x ? 60 , x ? 15 , 所以铁皮盒的体积为 65 ? 30 ?15 ? 29250(cm3 ) . ????4 分 方案二:设底面正方形的边长为 x(0 ? x ? 60) ,长方体的高为 y ,

4800 ? x2 , 4x 4800 ? x2 1 所以铁皮盒体积 V ( x) ? x2 y ? x2 ? ? x3 ? 1200x , ????9 分 4x 4 3 2 / / ,?? 11 分 V ( x) ? ? x ? 1200 ,令 V ( x) ? 0 ,解得 x ? 40 或 x ? ?40 (舍) 4 当 x ? (0, 40) 时, V ?( x) ? 0 ;当 x ? (40,60) 时, V ?( x) ? 0 ,???? 13 分 或立表求解
由题意得 x2 ? 4 xy ? 4800 ,即 y ? 所以函数 V ( x) 在 x ? 40 时取得最大值 32000cm3 .
3

????14 分

答:方案一铁皮盒体积为 29250cm ;方案二铁皮盒体积最大值为 32000cm3 ?15 分

19.(16 分) 设 f ( x) ? log 1

1 ? ax ( a 为常数)的图像关于原点对称 x ? 1 2

(1)求 a 的值; (2)判断函数 f ( x) 在区间 (1,??) 的单调性并证明; (3)若对于区间 [3,4] 上的每一个 x 的值, f ( x) ? ( ) ? m 恒成立,求实数 m 的
x

1 2

取值范围. 19.解: (1)由 f ( x ) 为奇函数得 f (? x) ? ? f ( x)

1 ? ax 1 ? ax ? x ?1 ? ? log 1 ? log 1 2 x ?1 2 ? x ?1 2 1 ? ax 1 ? ax ? x ? 1 ? ? 1 ? a2 x2 ? 1 ? x2 ? a2 ? 1 x ? 1 1 ? ax
即 log 1

?????? 3 分
-9-

经检验,当 a ? 1 时不合条件故 a ? ?1 (2) f ( x) ? log 1
2

?? 4 分

x ?1 x ?1

证明 g ( x ) ?

x ?1 在区间(1,+∞)内单调递减???9 分 x ?1
x

∴ f ( x) 在在区间(1,+∞)内单调递增.?????10 分(仅判断正确给 1 分)

?1? (3)即: m ? f ( x) ? ? ? ?2?
x

?1? 令 g ( x) ? f ( x) ? ? ? ,则由(2)得 g ( x) 在 [3, 4] 上单调递增????12 分 ?2? 9 g ( x) min ? g (3) ? ? ?????14 分 8 9 ?m ? ? ?????16 分 8
20.(16 分)已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ?x 2 ? ax ? 3 . (1) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2) 对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x)≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

20.解析: (1) f '( x) ? ln x ? 1 ,当 x ? (0, ) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 当 x ? ( , ??) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. ① 0?t ?

1 e

1 e

?????2 分

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ; ?????3 分 e e e e 1 1 ② ? t ? t ? 2 , 即 t ? 时 , f ( x) 在 [t , t ? 2] 上 单 调 递 增 , e e f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ;
?????4 分 所以 f (x)min 分

?-e =? ?tlnt
1

1 0<t<

e

1 t≥



?????6

e

- 10 -

(2) 分

2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 , 则a?2 n l x ?x ?

3 , x

?????

8

设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h '( x) ?

3 x

( x ? 3)(x ? 1) , x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , x2

h( x) 单调递减, x ? (1, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增,所以 h( x)min ? h(1) ? 4 .?????
10 分 因为对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x)min ? 4 .???? 11 分 (3)问题等价于证明 x ln x ? 12 分 由 ⑴ 可 知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的 最 小 值 是 ? 到. 设 m( x) ?

x 2 ? ( x ? (0, ??)) , ex e

?????

1 1 ,当且仅当 x ? 时取 e e
?13 分

当且仅当 x ? 1 时取到,

x 2 1 1? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '( x) ? x ,易得 m( x)max ? m(1) ? ? , x e e e e
??15 分 ??16 分

1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立. e ex

- 11 -


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