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2.3.2平面与平面垂直的判定2


2.3.2平面与平面垂直 的判定
第二课时

问题提出

1.二面角与二面角的平面角分 别是什么含义?二面角的平面角有 哪几个基本特征?
(1)顶点在棱上;
(2)边在两个面内;

(3)边垂直于棱.

观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平 面相交,它们所成的二面角及其度数. 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面 角,就说这两个平面互相垂直。 两个平面互相垂直通常画成:直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α 与β 垂直,记 作:α ⊥β 。

面面垂直的定义:
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
β

a
A α b

(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂 直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?

问题:
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?

建筑工人砌墙时,常用一端系有铅锤的 线来检查所砌的墙面是否和地面垂直,如果 系有铅锤的线和墙面紧贴, 那么所砌的墙面与地 面垂直 大家知道其中的理论根据吗?

猜想:
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线,那么这两个平面互相垂直.
下面我们来验证这个定理

已知:直线 AB⊥平面β 于B点,AB ? 平面α , 求证:α ⊥ β 证明:设α ∩β =CD,则B∈CD, 在平面β 内过B点作BE⊥CD。
α A
D

∵AB⊥CD,AB⊥BE。


β
E

∴∠ABE=90 是二 C 面角α —CD—β 的平面角, ∴二面角α —CD —β 是直二面角,即α ⊥β 。

B

平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直. β
a
A

α 符号: a?? ?? ? ? a ? 面? 简记:线面垂直,则面面垂直
线线垂直 线面垂直 面面垂直

思考:过一点P可以作多少个平面与 平面α 垂直?过一条直线l可以作多 少个平面与平面α 垂直?
P l

l α

α

? PA ? 面? , BC ? 面? ? PA ? BC 又? AB为圆的直径 ? AC ? BC ? PA ? BC AC ? BC ? PA ? AC ? A PA ? 面PAC, AC ? 面PAC ? BC ? 面PAC ? BC ? 面PBC ?面PAC ? 面PBC

例1、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在 的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC. 证明: 设已知⊙O平面为α

探究1: 已知AB ? 面BCD, BC ? CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB ? 面BCD ? 面ABC ? 面BCD AB ? 面BCD ? 面ABD ? 面BCD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD
B D A

C

应用
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面,A为垂足。

求证:平面PAC?平面PBD。
P

证明: 正方形ABCD中,A C ? BD

A

D

O
B C

? ? PA ? 平面ABCD? ? ? PA ? BD ? BD ? 平面ABCD ? ? AC ? 平面PAC,PA? 平面PAC ? ? AC ? PA ? A ?

? BD ? 平面PAC ? ? 平面PAC ? 平面PBD。 ? BD ? 平面PBD ?

P74B B组1.题评讲:正方体ABCD-A1B1C1D1中 求证: 面AAC 1 1C ? 面A 1 BD
证明: D1 A1 B1 C1

? AA1 ? 面ABCD
? AA1 ? BD ? BD ? AC 且AC ? AA1 ? A ? BD ? 面AAC 1 1C ? BD ? 面A1BD

又? BD ? 面ABCD

D

C

A

B

?面AAC 1 1C ? 面A 1BD

练习 1、如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC, 求证VB⊥AC.
证明:取AC的中点D,连结DV、DB ∵VA=VC,AB=BC ∴△VAC与△BAC都是等腰 三角形 A ∴AC⊥DV AC⊥DB ∵DV∩DB=O ∴AC⊥平面VDB ∴AC⊥VB
V

C D

B

三角形的 四心:内心,外心,垂心,重心
重心: 三边上中线的交点; 垂心 :三条高的交点;

内心: 内接圆圆心 ,三个角角平分线交点;
外心 :外接圆圆心 ,三条边的垂直平分线交点 .

正三角形才有中心:重心,内心.外心,垂心,四心合一.

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置?
P

OA=OB=OC

O为三角形ABC的外心
A O C

B

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC 两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影 的位置?
P

O为三角形ABC的垂心
A D O C

B

已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形 ABC的三条边的距离相等,试判断点P在 底面ABC的射影的位置?
P

O为三角形ABC的内心
O
E C F A

B

小结 2、求二面角的平面角方法 一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι

α β

二、二面角的平面角
1、定义 ①点P在棱上 —定义法 ②点P在二面角内 —垂面法
ι
p
γ

ι
P

α
A

β
B

α
β
A B O

β
B

p

α
A

ι

小结
3.两个平面垂直的判定定理的内容.
1、定义法:
找二面角的平面角 说明该平面角是直角。

(一般通过计算完成证明。)
2、判定定理: 要证两个平面垂直, 只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。 (线面垂直?面面垂直)

线线垂直

? 线面垂直? 面面垂直


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