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高中数学(人教版)选修2-3教学设计:1.2.2组合


1.2.2 组合
教学目标: 知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与 区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数 ? m n 与组合数 之间的联系,掌握组合数公

式,能运用组合数公式进行计算。 情感、态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。 教学重点:组合的概念和组合数公式 教学难点:组合的概念和组合数公式 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素, 或排成一排或并成一组, 并求有多少 种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题, 与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定 义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系. 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度,学的 真谛在于悟,只有学生真正理解了,才能举一反三、融会贯通. 能列举出某种方法时,让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别. 学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题 时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:首先要考虑如何选出符合题意要求 的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队,即第一步仅从组合的角度考虑,第 二步则考虑元素是否需全排列,如果不需要,是组合问题;否则是排列问题. 排列、 组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景, 解题思路通常是依据具体 做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知 识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质,抽象出“按部就班”的处理问题的过程. 据笔者观察, 有些同学之所以学习中感到抽象, 不知如何思考, 并不是因为数学知识跟不上, 而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是 有悖于常理或常规的做法) .要解决这个问题, 需要师生一道在分析问题时要根据实际情况, 怎么做事就怎么分析, 若能借助适当的工具, 模拟做事的过程, 则更能说明问题.久而久之, 学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程: 一、复习引入:
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1 分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同
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的方法, 在第二类办法中有 m2 种不同的方法, ??, 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法 那
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么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法

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2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同

的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这 件事有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法
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3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不 相同)按照一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ..... ....
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4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫
m 做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示
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m 5.排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) ( m, n ? N ? , m ? n )

6 阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘 规定 0! ? 1 .
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m 7.排列数的另一个计算公式: An =

n! (n ? m)!

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8.提出问题: 示例 1:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学参加 上午的活动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 示例 2:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例 1 中不但要求选出 2 名同学,而且还要按照一定的顺序“排列” ,而示例 2 只要求选出 2 名同学,是与顺序无关的 引出课题:组合 . ..
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二、讲解新课: 1 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组,叫做从 n 个不
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同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同 例 1.判断下列问题是组合还是排列 (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有 多少种不同的飞机票价? (2)高中部 11 个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛? (3)从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不 同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法? (4)10 个人互相通信一次,共写了多少封信? (5)10 个人互通电话一次,共多少个电话? 问题: (1)1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗? (2)什么样的两个组合就叫相同的组合
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2. 组合数的概念: 从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的个数, 叫做从 n 个
m 不同元素中取出 m 个元素的组合数 .用符号 C n 表示. ...

3.组合数公式的推导: (1)从 4 个不同元素 a, b, c, d 中取出 3 个元素的组合数 C 4 是多少呢?
3

3 启发:由于排列是先组合再排列 ,而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A4 可以 .........

3 3 求得,故我们可以考察一下 C 4 和 A4 的关系,如下:

abc abd acd bcd

组 ? ? ? ?

合 abc, bac, abd, bad, acd, cad, bcd, cbd,

排列 cab, acb, dab, adb, dac, adc, dbc, bdc,

bca, bda, cda, cdb,

cba dba dca dcb

由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列,因此,求从 4 个不同元素中取出 3 个
3 元素的排列数 A4 ,可以分如下两步:① 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合,共有 3 3 个; ② 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列, 各有 A3 种方法. 由分步计数原理得: C4

A

3 4=

C ?A
3 4

3 3 ,所以,

3 A4 C ? 3. A3 3 4

m (2) 推广: 一般地, 求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An , 可以分如下两步: m ① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C n ; m m m m ② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 Am ,根据分步计数原理得: An = Cn . ? Am

(3)组合数的公式:

Cnm ?

Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ? m Am m!

或 C n?
m

n! (n, m ? N ? , 且m ? n) m!(n ? m)!

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0 规定: C n ? 1.

三、讲解范例:
7 例 2.用计算器计算 C 10 .

解:由计算器可得

7 4 例 3.计算: (1) C 7 ; (2) C10 ;

7 ? 6? 5? 4 =35; 4! 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 7 (2)解法 1: C10 ? =120. 7!
4 (1)解: C7 ?

10! 10 ? 9 ? 8 ? =120. 7!3! 3! m ? 1 m ?1 m ?C n . 例 4.求证: C n ? n?m
7 解法 2: C10 ?

证明:∵ C n ?
m

n! m!(n ? m)! m ?1 n! ? n ? m (m ? 1)!(n ? m ? 1)!

m ?1 ?C n?m


m ?1 n

?

m ?1 n! ? (m ? 1)! (n ? m)(n ? m ? 1)! n! m !(n ? m)!



m ∴ C n?

m ? 1 m ?1 ?C n n?m
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x?1 2 x?3 例 5.设 x ? N ? , 求 C2 x?3 ? C x ?1 的值

2x ? 3 ? x ? 1 解:由题意可得: ? ,解得 2 ? x ? 4 , ? x ? 1 ? 2 x ? 3 ?
∵ x ? N ? ,∴ x ? 2 或 x ? 3 或 x ? 4 , 当 x ? 2 时原式值为 7;当 x ? 3 时原式值为 7;当 x ? 4 时原式值为 11. ∴所求值为 4 或 7 或 11. 例 6.一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照 足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是 11 人.问: (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出 11 名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式 做这件事情? 分析:对于(1),根据题意,17 名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个 从 17 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题;对于( 2 ) ,守门员的位置是特殊的,其 余上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题. 解: (1) 由于上场学员没有角色差异, 所以可以形成的学员上场方案有 C } 手= 12 376 (种) . (2)教练员可以分两步完成这件事情:
11 第 1 步,从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组,共有 C 17 种选法; 1 第 2 步,从选出的 n 人中选出 1 名守门员,共有 C 11 种选法.

所以教练员做这件事情的方法数有
11 1 =136136(种). C 17 ?C 11

例 7. (1)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条? (2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条? 解:(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数,就是从 10 个不同的元素 中取出 2 个元素的组合数,即线段共有

C

2 10

?

10 ? 9 ? 45 (条). 1? 2

(2) 由于有向线段的两个端点中一个是起点、 另一个是终点, 以平面内 10 个点中每 2 个 点为端点的有向线段的条数,就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数,即有向线段 共有
2 A 10 ? 10 ? 9 ? 90 (条).

例 8.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种? 解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数,所以共有

C

3 100

?

100 ? 99 ? 98 = 161700 (种). 1? 2 ? 3

1 (2)从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 C 2 种,从 98 件合格品中抽出 2 件合格 2 品的抽法有 C 98 种,因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 1 2 =9506(种). C2 ?C 98

(3)解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品,包括有 1 件次品和有 2
1 2 件次品两种情况.在第(2)小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有 C 2 种,因此根据分 ?C 98

类加法计数原理,抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有
1 2 1 +C 2 C2 ?C 98 2 ?C 98 =9 604 (种) .

解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数,也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数,即
3 3 =161 700-152 096 = 9 604 (种). C 100 ?C 98

说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类法或间接法求解。 变式:按下列条件,从 12 人中选出 5 人,有多少种不同选法? (1)甲、乙、丙三人必须当选; (2)甲、乙、丙三人不能当选; (3)甲必须当选,乙、丙不能当选; (4)甲、乙、丙三人只有一人当选; (5)甲、乙、丙三人至多 2 人当选; (6)甲、乙、丙三人至少 1 人当选; 例 9. (1)6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学,每人各得 2 本,有多少种不同的分法?
2 2 2 解: C6 ? C4 ? C2 ? 90 .

(2)从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议,要求至少有 2 名男生和 1

名女生参加,有多少种选法? 解:问题可以分成 2 类:
2 2 第一类 2 名男生和 2 名女生参加,有 C5 C4 ? 60 中选法; 3 1 第二类 3 名男生和 1 名女生参加,有 C5 C4 ? 40 中选法

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依据分类计数原理,共有 100 种选法
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2 1 1 错解: C5 C4C6 ? 240 种选法 引导学生用直接法检验,可知重复的很多

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例 10.4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方 法共有多少种?
3 2 1 解法一: (直接法) 小组构成有三种情形: 3 男, 2 男 1 女, 1 男 2 女, 分别有 C 4 , , C4 ? C6
1 2 , C4 ? C6

2 1 1 2 所以,一共有 C 4 + C 4 + C4 =100 种方法. ? C6 ? C6

3

3 3 解法二: (间接法) C10 ? C6 ? 100 m n ?m 组合数的性质 1: Cn . ? Cn

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一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个元素后,剩下 n ? m 个元素.因为从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的每一个组合,与剩下的 n?m 个元素的每一个组合一一对应 ,所以从 n .... 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,等于从这 n 个元素中取出 n?m 个元素的组合数,即:
m n ?m .在这里,主要体现: “取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 Cn ? Cn
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n?m 证明:∵ C n ?

n! n! ? (n ? m)![n ? (n ? m)]! m! (n ? m)!
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m 又 Cn ?

m n ?m n! ,∴ Cn ? Cn m!(n ? m)!

0 说明:①规定: Cn ? 1;

②等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标; n m n?m ③此性质作用:当 m ? 时,计算 C n 可变为计算 C n ,能够使运算简化. 2
2001 2002 ? 2001 1 例如 C 2002 = C2002 = C2002 =2002; x ④ Cn ? Cny ? x ? y 或 x ? y ? n . m m m?1 2.组合数的性质 2: Cn . ?1 = C n + C n m 一般地,从 a1 , a2 ,? , an?1 这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是 Cn ?1 ,这些

组合可以分为两类:一类含有元素 a1 ,一类不含有 a1 .含有 a1 的组合是从 a2 , a3 ,? , an?1
m?1 这 n 个元素 中取出 m ?1 个元素 与 a1 组成的 ,共有 Cn 个 ;不 含有 a1 的组 合是从 m 个.根据分类计数原理,可以 a2 , a3 ,? , an?1 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的,共有 C n

得到组合数的另一个性质. 在这里, 主要体现从特殊到一般的归纳思想, “含与不含其元素” 的分类思想. n!(n ? m ? 1) ? n! m n! n! m m ?1 证明: C n ? Cn ? ? ? m! (n ? m)! (m ? 1)![n ? (m ? 1)]! m!(n ? m ? 1)!

?

(n ? m ? 1 ? m)n! (n ? 1)! m ? Cn ? ?1 m! (n ? m ? 1)! m! (n ? m ? 1)!

m m m?1 ∴ Cn . ?1 = C n + C n

说明:①公式特征:下标相同而上标差 1 的两个组合数之和,等于下标比原下标多 1 而上标 与大的相同的一个组合数; ②此性质的作用:恒等变形,简化运算 例 11.一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球, (1)从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
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3 3 2 3 2 3 解: (1) C8 , ; (2) C7 (3) C7 ? 56 ,或 C8 ? C7 ? C7 ? 21; ? 35 . 3 4 5 6 例 12. (1)计算: C7 ; ? C7 ? C8 ? C9 n n n?1 n?2 (2)求证: Cm ? 2 = C m + 2Cm + C m .
4 5 6 5 6 6 4 解: (1)原式 ? C8 ? C8 ? C9 ? C9 ? C9 ? C10 ? C10 ? 210 ; n n?1 n?1 n ?2 n n?1 n 证明: (2)右边 ? (Cm ? Cm ) ? (Cm ? Cm ) ? Cm ?1 ? Cm?1 ? Cm?2 ? 左边
x?2 x ?3 x ?1 2 x ?3 例 13.解方程: (1) C13 ; (2)解方程: C x ? 2 ? C x ? 2 ? ? C13

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1 3 Ax ?3 . 10 解: (1)由原方程得 x ? 1 ? 2 x ? 3 或 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 13 ,∴ x ? 4 或 x ? 5 ,

?1 ? x ? 1 ? 13 ? ? 又由 ?1 ? 2 x ? 3 ? 13 得 2 ? x ? 8 且 x ? N ,∴原方程的解为 x ? 4 或 x ? 5 ?x ? N ? ? 上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把 x ? 4 和 x ? 5 代入检验,这样运算量小得
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多.
x?2 (2)原方程可化为 C x ? 3 ?

( x ? 3)! ( x ? 3)! 1 3 1 3 5 Ax ?3 ,即 C x Ax ?3 ,∴ ? , ?3 ? 10 10 5!( x ? 2)! 10 ? x!



1 1 , ? 120( x ? 2)! 10 ? x( x ? 1) ? ( x ? 2)!

∴ x 2 ? x ? 12 ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? ?3 , 经检验: x ? 4 是原方程的解
n p
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例 14.证明: Cm ? Cn ? Cm ? Cm? p 。
p

n? p

证明:原式左端可看成一个班有 m 个同学,从中选出 n 个同学组成兴趣小组,在选出 的 n 个同学中, p 个同学参加数学兴趣小组,余下的 n ? p 个同学参加物理兴趣小组的选法 数。 原式右端可看成直接在 m 个同学中选出 p 个同学参加数学兴趣小组, 在余下的 m ? p 个 同学中选出 n ? p 个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然,两种选法是一致的,故左边= 右边,等式成立。
0 m 1 m?1 m 0 m n ? m) 例 15.证明: Cn 。 Cm ? Cn Cm ? … ?Cn Cm ? Cm ? n (其中

证明:设某班有 n 个男同学、 m 个女同学,从中选出 m 个同学组成兴趣小组,可分为

m ? 1 类:男同学 0 个,1 个,?, m 个,则女同学分别为 m 个, m ? 1 个,?,0 个,共
0 m 1 m?1 m 0 m 有选法数为 Cn Cm ? Cn Cm ? ? ?Cn Cm 。又由组合定义知选法数为 Cm ? n ,故等式成立。 1 2 3 n 例 16.证明: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? … ?nCn ? n2 n?1 。 1 1 1 2 1 3 1 2 3 n 1 n 证明:左边= Cn = C1 Cn ? C2 Cn ? C3 Cn ? ? ?Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ?nCn Cn , i 其中 Ci1C n 可表示先在 n 个元素里选 i 个,再从 i 个元素里选一个的组合数。设某班有 n 个同

学,选出若干人(至少 1 人)组成兴趣小组,并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数 2, i 分类( i ? 1, ? ,n ) ,则选法总数即为原式左边。现换一种选法,先选组长,有 n 种选 法,再决定剩下的 n ? 1 人是否参加,每人都有两种可能,所以组员的选法有 2 选法总数为 n 2 n ?1 种。显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立。
1 2 3 n 例 17.证明: Cn ? 2 2 Cn ? 32 Cn ? … ? n 2 Cn ? n(n ? 1)2 n?2 。 i i 证明:由于 i 2 Cn 可表示先在 n 个元素里选 i 个,再从 i 个元素里选两个(可 ? Ci1Ci1Cn
n ?1

种,所以

重复)的组合数,所以原式左端可看成在例 3 指定一人为组长基础上,再指定一人为副组长 (可兼职)的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组 长 和 副 组 长 是 同 一 个 人 , 则 有 n2
n ?1

种选法;若组长和副组长不是同一个人,则有

n(n ? 1)2 n?2 种选法。∴共有 n 2 n ?1 + n(n ? 1)2 n?2 ? n(n ? 1)2 n?2 种选法。显然,两种选法是
一致的,故左边=右边,等式成立。 例 18.第 17 届世界杯足球赛于 2002 年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有 32 支球队 有幸参加, 他们先分成 8 个小组循环赛, 决出 16 强 (每队均与本组其他队赛一场, 各组一、

二名晋级 16 强) , 这支球队按确定的程序进行淘汰赛, 最后决出冠亚军, 此外还要决出第三、 四名,问这次世界杯总共将进行多少场比赛?
2 答案是: 8C4 ? 8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 64 ,这题如果作为习题课应如何分析
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解:可分为如下几类比赛: ⑴小组循环赛:每组有 6 场,8 个小组共有 48 场; ⑵八分之一淘汰赛:8 个小组的第一、二名组成 16 强,根据抽签规则,每两个队比赛 一场,可以决出 8 强,共有 8 场; ⑶四分之一淘汰赛:根据抽签规则,8 强中每两个队比赛一场,可以决出 4 强,共有 4 场; ⑷半决赛:根据抽签规则,4 强中每两个队比赛一场,可以决出 2 强,共有 2 场; ⑸决赛:2 强比赛 1 场确定冠亚军,4 强中的另两队比赛 1 场决出第三、四名 共有 2 场.
2 综上,共有 8C4 ? 8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 64 场
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四、课堂练习: 1.判断下列问题哪个是排列问题,哪个是组合问题: (1)从 4 个风景点中选出 2 个安排游览,有多少种不同的方法? (2)从 4 个风景点中选出 2 个,并确定这 2 个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法? 2. 7 名同学进行乒乓球擂台赛,决出新的擂主,则共需进行的比赛场数为() A . 42 B . 21 C . 7 D . 6 3.如果把两条异面直线看作“一对” ,则在五棱锥的棱所在的直线中,异面直线有( ) A . 15 对 B . 25 对 C . 30 对 D . 20 对 4.设全集 U ? ?a, b, c, d? ,集合 A 、 B 是 U 的子集,若 A 有 3 个元素, B 有 2 个元素,且

A ? B ? ?a? ,求集合 A 、 B ,则本题的解的个数为 ( )
A . 42 B . 21 C . 7 D . 3 5.从 6 位候选人中选出 2 人分别担任班长和团支部书记,有种不同的选法 6.从 6 位同学中选出 2 人去参加座谈会,有种不同的选法
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7.圆上有 10 个点: (1)过每 2 个点画一条弦,一共可画条弦; (2)过每 3 个点画一个圆内接三角形,一共可画个圆内接三角形 8. (1)凸五边形有条对角线; (2)凸 n 五边形有条对角线
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3 3 9.计算: (1) C15 ; (2) C6 ? C84 .

10. A, B, C , D, E 5 个足球队进行单循环比赛, (1)共需比赛多少场?(2)若各队的得分 互不相同,则冠、亚军的可能情况共有多少种? 11.空间有 10 个点,其中任何 4 点不共面, (1)过每 3 个点作一个平面,一共可作多少个 平面?(2)以每 4 个点为顶点作一个四面体,一共可作多少个四面体? 12.壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张,一共可以组成多少种币值? 13.写出从 a, b, c, d , e 这 5 个元素中每次取出 4 个的所有不同的组合
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答案:1.(1)组合,(2)排列 2.B
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3.A 4.D 5.30

6. 15

7. (1)45 (2) 1208. (1)5(2) n(n ? 3) / 2 9.⑴455; ⑵

2 10.⑴10; 7
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⑵20

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3 11.⑴ C10 ? 120 ;

4 ⑵ C10 ? 210

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1 2 3 4 12. C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? 24 ?1 ? 15

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13. a, b, c, d ;

a, b, c, e ;

a, b, d , e ;

a, c, d , e ;

b, c, d , e

王新敞
奎屯

新疆

五、小结:组合的意义与组合数公式;解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定 是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理
王新敞
奎屯 新疆

名称内容 分类原理 分步原理

定义

相同点 不同点 学生探究过程: (完成如下表格)

名称 定义

排列

组合

种数 符号

计算 公式 关系 性质



六、课后作业:

王新敞
奎屯

新疆

七、板书设计(略)

王新敞
奎屯

新疆

八、教学反思: 排列组合问题联系实际生动有趣, 题型多样新颖且贴近生活, 解法灵活独到但不易掌握, 许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施,尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时, 可考虑换位思考将其等价转化,使问题变得简单、明朗。
m n ?m m m m?1 教科书在研究组合数的两个性质① Cn ,② Cn 时,给出了组合 ? Cn ?1 ? Cn ? Cn

数定义的解释证明, 即构造一个组合问题的模型, 把等式两边看成同一个组合问题的两种计 算方法,由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧,把枯燥的公式 还原为有趣的实例,能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。

教学反思: 1 注意区别“恰好”与“至少” 从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种 2 特殊元素(或位置)优先安排 将 5 列车停在 5 条不同的轨道上,其中 a 列车不停在第一轨道上,b 列车不停在第二轨 道上,那么不同的停放方法有种 3“相邻”用“捆绑”,“不邻”就“插空” 七人排成一排,甲、乙两人必须相邻,且甲、乙都不与丙相邻,则不同的排法有多少种 4、混合问题,先“组”后“排” 对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品,一一进行测试,至区分出所有次品为 止,若所有次品恰好在第 5 次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能? 5、分清排列、组合、等分的算法区别 (1)今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法? (2) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分给三人,其中 1 人一件 1 人二件 1 人三件, 有多 少种分法? (3) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分成三份,每份 2 件, 有多少种分法? 6、分类组合,隔板处理 从 6 个学校中选出 30 名学生参加数学竞赛,每校至少有 1 人,这样有几种选法?


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