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高中不等式恒成立问题解题策略


高中不等式恒成立问题解题策略
重庆市江津中学校 402260 杨万机 恒成立问题是高中数学的常见问题,也是历年来高考中的一个热点问题,经 久不衰。不等式恒成立问题常常在知识网络交汇处设置,它可以与函数、导数、 数列、三角函数、解析几何等整合在一起,里面又涉及到不等式的证明问题和取 值范围问题, 学生往往由于方法不到位而出现错解或复杂的解法。下面我根据不 等式恒成立问题不同的特征采取不同的解题策略,为学生开辟一条成功的道路。 一、 函数最值法 有些不等式恒成立问题可以转换成求函数的最值问题:①若 f(X)>A 在 区间 D 上恒成立,则在区间 D 上 f ( x)min ? A 成立。②若 f(X)<A 在区间 D 恒上成立,则在区间 D 上 (1)利用判别式 例 1.已知不等式 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。 分析: x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ? R 恒成立,则函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 2 在 R 上最 小值大于 0,故函数的图像与 x 轴无交点,?? ? 4a2 ? 8 ? 0, 所以? 2 ? a ? 2 (2)分类讨论 变式 1. 已知不等式 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ? ? ? ?1, 2 ? 恒成立,求 a 的取值范围。 分析:此题与例 1 相比较只是把 R 换成了区间 ?? ? 1, 2 ? ,但解法却差之甚远。不 能用判别式来求解了,可用用分类讨论的方法得出 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 2 在区间
?? ? 1, 2? 上的单调性,从而求出其最小值。

f ( x)max ? A 成立。

解:令 f ? x ? ? x 2 ? 2ax ? 2 ? ? x ? a ? ? 2 ? a 2
2

①当a ? ?1时,f ? x ? 在 ? ? f ? x ?min ? f ? ?1? ? 2a ? 3 ? 0 ? a ? ? ? ?1, 2? 上单调递增, ?? 3 ? a ? ?1 2

3 2

②当-1 ? a ? 2时,f ? x ?min ? f ? a ? ? 2 ? a 2 ? 0 ?? 2 ? a ? 2 ? -1 ? a ? 2
3 ③当a ? 2时,f ? x ? 在 ? ? f ? x ?min ? f ? 2 ? ? 6 ? 4a ? 0 ? a ? ? a ? ? ? ?1, 2? 上单调递减, 2 3 综上可得 ? ? a ? 2 2 二、 分离参数法 在解决不等式恒成立问题时,如果变量与参数能够分离,则可利用分离参数
1

来确定不等式恒成立时参数的取值范围。分离参数后不等式则可转化为 G (a)>f(x)( G(a)<f(x))在区间 D 上恒成立,求 f(x)在区间 D 上最大(最小) 值问题。此种方法的关键在于①变量与参数能够分离②函数 f(x)的最值容易求 出。 变式 2. 已知不等式 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ? ? ?1, 2 ? 恒成立,求 a 的取值范围。 分析: 变式 2 可采用变式 1 的方法求解,但变式 2 的特点在于变量 x 的取值 均为正, 能够把变量 x 与参数 a 分离开来, 故用分离参数法求解更为快捷、 简单。
x2 ? 2 x 1 x 1 x 1 ? ? 解:由题可得 a ? 令g ? x ? ? ? ? 2 ? ? 2 2x 2 x 2 x 2 x
x 1 当且仅当 ? 即x ? 2时g ? x ?min ? 2 ? a ? 2 2 x 三、 主参换位法 在给出的含有两个变量的不等式中,大家习惯把变量 x 看作是主元(未知 数) ,而把另一个 a 看作是参数,在有些问题中这样的解题过程非常繁琐,不 妨把主元与参数换位一下,可以达到意想不到的效果。

例 2.已知 2x2 ?1 ? m( x2 ?1)对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,求实数 x 的取值范 围。 分析:本题是已知参数 m 的取值范围,求自变量 x 的取值范围,可以转换主 元 x 与参数 m 的位置,构造以 m 为自变量,x 为参数的一次函数 g(m),此题则 转换为对任意的 m ???2,2? g(m)<0 恒成立问题求解。 解:由不等式可得 ? x 2 ? 1? m ? 1 ? 2 x 2 ? 0对m ? ? ?2, 2? 恒成立. 令 g ? m ? ? ? x 2 ? 1? m ? 1 ? 2 x 2 ①当 x ? ?1 时 g ? m? ? ?1 ? 0恒成立
? 3 3 ? g ? ?2 ? ? 0 解之可得x ? ? 或x ? 且x ? ?1 ②当 x ? ?1 时,则 ? 2 2 g 2 ? 0 ? ? ? ?

综上可得 x ? ?

3 3 或x ? 2 2

四、数形结合法 有的不等式恒成立问题, 若把不等式进行合理变形后,能非常容易画出不等 式两边的图象,则可通过画图象来进行求解。 例 3. 当x ? ?1, 2 ? 时,不等式 ? x ? 1? ? log a x恒成立,求a的取值范围。
2

分析: 若将不等号两边分别设成两个函数, 则左边为二次函数, 右边为对数函数, 故可以采用数形结合借助图象位置关系求解 a 的取值范围。 y y1 ? ( x ? 1) 2 解:设 T1 : f ( x) ? ( x ? 1) 2 , T2 : g ( x) ? loga x , y2 ? loga x
2

1 2

x

则 T1 的图象为图中所示的抛物线, T2 的图象为 图中所示的对数函数的图象,要使对一切 x ? (1, 2) , f ( x) ? g ( x) 恒成立,则 T1 的 图象一定要在 T2 的图象所的下方∴ a ? 1 且必须也只需 g (2) ? f (2) ∴ loga 2 ? 1 解 得a ? 2 故 a 的范围是 1 ? a ? 2 。

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