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2006年北京市中学生数学竞赛(高一)


2007年第10期

2006年北京市中学生数学竞赛(高一)
一、选择题(每小题5分,共25分) 1.点尸从O出发,按逆时钊方向沿周长 为1的图形运动一周,点0、P的距离(y)与 点P走过的路程(x) 的函数关系如图1所 示.那么,点P所走过 的图形是图2中的
( ).


方程①的整数解的组数为(

>
).

(A)0(B)1(c)2(D)2 006

二、填空题(每小题7分,共35分) 1.若l口I=1,l bl=2,c=口+b,且c上 a,则向量口与6的夹角为


度.

2.设f(*)是定义在R上的奇函数,且

Y=“x)的图像关于直线z=音对称.则


。△。囫尸o⑦9∥
(A) (B) (c) fD)
凰2

,(1)+,(2)+…+,(2

006)=——,

3.在△ABC中,已知 !坐鱼一

塑墨
C=1一cos 2C

a—sin B—sin A’

且cos(A—B)+COS

2.已知函数,(z)=n

sin羞.如果存在实

Na_。+c=——.
4.设递增数列{o。}满足。。=6,n∈N+,

数z.、*:,使得对任意的实数x,都有

以z。)≤,(z)≤,(z:),
则j z,一z:l的最小值是( (A)8;r

).
(C)2;r

且当n≥2时^饥r i毛+8则
(D)Ⅱ

(B)“
1 2

Ⅱ70=——?
5.已知△ABC的三条边AB=v厂虱,BC

3.已知数列


:5以b.CA:2/磊.则△ABC的面积等于


o】2虿,02 2了+了,…,
on

2雨+而+’’’+厕,‘一。
l 2

三、(10分)在△ABC中,,为内切圆半 径,与边BC、AC、AB分别相切的旁切圆的半

设只=去+去+.t++志.则
s:。最接近的整数为(
(A)2 ). (c)4 (D)5

径记为k、h、‘.证明:{+吉+i1=÷.
注:与三角形的一边相切同时与另两边 的延长线相切的圆,称为该三角形的一个旁 切圆.每个三角形都有三个旁切圆. 四、(15分)已知n。,。2,…,。.都是正数, 对实数b,,b:,…,b。和c。,c:,…,c。总满足

(B)3

4.n是正整数,规定:nI-1×2×…×
n.则1 1



1+2 1×2+…+59 1×59除以

006的余数是(

).
005

(A)1(B)5(C)401(D)2

5.若两个整数x、Y满足方程
(2x+9y)2晰+(4z—y)2蛳=7 777TM,①

毗吼>b:(i=1,2,…,n).求证:
(ol+Ct2+…+a。)(c1+c2+‘‘‘+c。) ≥(b1+b2+…+b。)2.

就称数组(x,Y)为方程①的一组整数解.则 万方数据  

32

中等数学

五、(】5分)在△ABC内部取n个点,将 △ABC剖分为若干个小三角形(每两个小三 角形或者有一个公共顶点.或者有一条公共 边,或者完全没有公共点,如图3所示).现将 点A染红色,点曰染蓝色,点C染黑色,其 余n个点的每个点也任意染E红、蓝、黑三 色之一.我们称三个顶 点的颜色恰为红、蓝、 黑的4"--角形为“特征 三角形”.证明:至少有 一个小三角形是特征
三角形.
曰蓝 图3 C黑

=1

1×(2一1)+2 1×(3—1)+?一十59 1×(60—1)

=(2 1—1 1)+(3 1—2 1)+?-?+(60 1—59 1)
=60 1—1.

所以,所求余数是2
5.A.

005.

假设存在整数x、Y满足方程① 若7l(2x+9y),由方程①知7I(4x—y),此时, 方程①左边能被72瞄整除,但方程①右边只能被了丌7 整除. 所以,外(2x十9y),讣(4x—y). 对v o∈z, 7l[(Ⅱ一3)(Ⅱ一2)(。一1)a(a+1)(n+2)(n+3)] {7l(07一口)=。(06—1). 所必,7f[(2x+9y)6一1],7 J[(4x—y)6—1].

参考答案
一、1.L. 易知,选项(A)、(B)的图像是若干条线段组成

从而,7I{(2*+9z)2[(2x+9y)““一1]},

7l}(4x—y)2[(4x—y)6一一1m
由式①知 7l[(2x+9y)2+(4x—y)2];7I(≈2+2广). 易知,任意完全平方数被7除余数为0,1,2,4.
经检验,只有当7jx,7|Y时,7I(x2+2y2)但此 时,7i(2x+9y),7l(4x—Y).矛盾. 所以,不存在整数x、y满足方程①.

的折线;选项(D)中当点P走过的路程为*=要时,
0P不是最大值(过点P作OP的垂线交椭圆于点

P,显然,oP>oP);选项(c)中Y=告8ln芋,其图
像如图1.
2.B

=、1.1缈
由c上njc?n=Oj(a+矗)?a=0 jl口I 2+Ia卜l西l c【ls口=0jcos口=一—睾,

显然,,(z。)√Ix。)分别是“x)的最小值、最大

值,即血等=一1.血寻=l故
“l=8k1Ⅱ一2”,。2=8k2Ⅱ+2Ⅱ.

所以,向量口与b的夹角a=1舯.
2.0

所以,lq一』2I≥知.
3.C.

由y=,(z)的图像关于直线z={对称,知
“*)=“l一*). 叉“w)是定义在R上的奇函数,故 ,(1一*)=一,(z一1). 从而,“x)+“*一1)=0 所以,“1)+以2)十…+,(2 006)=0

由于‰=高+南+”一南2号'故 由于“=南+熹+”一南=号'故

只=去+去+“‘+志 2丽+五再+…+而可






=。[(,一{)+(÷一了1)一?+(}一点)】

,.等+√等.
由cos(A—B)+eos
G=1一c05 2C

=a(,一南)
所以?sz“=4(1一j南)最接近的整数为4?
4.D.

={-ces(A—B)一cos(A+B)=2sin2C j2sin

由掣=i尚。扎2

A?sin

8=2矗Gj面=2.
06

注意到2 006=2X17×59,故2
叉if×1+21×2+…+59f


0061601.

59

。拈一1 4百2T‘

万方数据  

2007年第10期 所以,p=‘(P—o). 同理,rp=n(P一6),rp=o(P—c)

33

所以,詈=√妲手.
4.29.

由‰十‰一、:—上+8
%一‘“I

故上一三+上:止』+卫尘+型
ru



fc





『p

一上.12=盐一上
一7

jd{一五一、=8(‰一m,)+9.
取☆=2,3,…,,}.累加得



一7

四、构造n个『.-次函数 ^(^)=啦x2+2b;x+q(i=1,2,…,n).

n:一D:=8(‰一。.)}9(n一1) 故矗一62=8(n。一6)+9x69,即

由于对每个i,都有。。>0,n。c.>磷,即△。=
(26。)2—4a,e.≤o,所以,鼻(x)>10,也就是 工(j)=嚷,2+2b。#+o≥0(i=1,2,-,n)

商一8‰鲫=0,
故n。=29(负值舍去).
5.10

相加得“z)=一(x)+五(z)+…+^(x)≥o,



如图4,以BC为斜边,向

△ABC一侧作Rt△BCD,使

,(z)=(nI+口2+…+‰)z2+
2(6】+62+…+6。)z+
(c1十C2+…+c。)≥0

么BOC=咿.肋=5.CD=15
再作矩形DEA’F,使DE=2, DIE=5.则BE=3,cF=10.此时,
——
f1

因为n.+o,2+…+n。>0,抛物线的开口向E, 且有“z)≥O,所以,△≤O则有

A’C=/104=AC. A,B;/虱;AB. 所以,点^与∥重台.D
E B

△=[2(6I+62+…+6。)]2—4(锄+D2+…+
o。)(C1+c2+…+c。)≤O.

故sⅢ=sⅢ一sm一
S出盯一S《廊HF

图4

故(口I+。z十-+‰)(c1+c2+…+c.) ≥(bl+62+??-+6。)2.

=丢×5×15一丢×3×5一专x2×10—2
=10.

五、设在△ABC内部的红蓝边(即-端点为红




点,一端点为蓝点的边)有女条,又设三个顶点颜色 不同(红、蓝、黑各一个)的特征三角形共有P个,三 顶点分别为红、红、蓝或蓝、蓝、红的小三角形共有日 个,其余的小三角形(如顶点颜色为红、红、黑;红、 红、红;蓝、蓝、黑;蓝、蓝、蓝;黑、黑、黑;黑、黑、红; 黑、黑、蓝等)共r个. 我们统计每个小三角形红蓝边的条数,再把它 们加起来,总和数为P+2q

三、为简单起见,本题解答用△ABC同时表示
它的面积. 如图5.联结 A仉、BO.、CO。,则 △^仉B

2wkc,
△AO。C
1 =—彳k0,


从另一角度看,由于每一条在火三角形的内部 的红蓝边都为两个小三角形的公共边,即被统汁两 次,而大△ABC的一条红蓝边AB只属于一个小三

角形,只计数一次,所以,总和数为2^+1因此,
D+2q=2k+l

△BO。C
图5

5iLB

从而,P=2(I—g)+1是个奇数. 因此,三个顶点的颜色全不相同的特征三角形

而△衄e:了1



r(Ⅱ+6+c),

个数P是奇数,口最少是i.也就是说至少有一个小
三角形是特征三角形 (说明:选择题及填奎题答案由本刊编辑部宋强 老师提供.)

由△ABC=△aO,B+△A仉c一△BOoC,可得
,(d+6+c)=L(6+c—n), 即r×2p=L(2p一2a)

(李延林提供)

万方数据  

2006年北京市中学生数学竞赛(高一)
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 李延林

中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2007(10)

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