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模块四 正弦交流电路


模块四 正弦交流电路
项目1 单相正弦交流电的产生与描述

项目2

电阻的复杂电路

项目3

直流量的测量

项目一 单相正弦交流电的产生与描述

任务一 了解交流电的产生
活动1 认识交流电的概念
大小和方向随时间按正弦规律

周期性变化的电流、电压和电动势称作 正弦交流电,简称交流电。 电流、电压或电动势在某一时刻的大小称作瞬时值,若用横轴作时间轴, 电流、电压或电动势的大小做纵轴,将各个时刻对应的瞬时值连接起来所得 到的曲线,称作波形图或波形曲线,简称波形。如图4-11所示。

图4-11 正弦交流电压波形图

活动2 了解交流电的产生过程
在电力系统中,交流电是由交流发电机产生的;在信号系统中,交流 电是由振荡电路产生的。交流发电机的模型如图4-3所示,它由静止部分 和转动部分组成。

在磁感应强度为B的磁场中, 转动的线圈在时刻t的感应电 动势为

e ? 2BL

? L1
2

sin ωt ? BLL1ωsinωt

图4-3 交流发电机的模型

若 Em ? BLL1ω ,将不同时刻对应的感应电动势用e表示,则
e ? Em sinωt

任务二 交流电的物理量

活动1 描述交流电特征的物理量
1. 瞬时值与最大值 交流电流、电压和电动势的瞬时值分别用符号i、u和e表示。 交流电流、交流电压和交流电动势的最大值分别用符号Im、Um和Em表示。 2. 周期、频率 交流电变化一次所用的时间称作周期,用符号T表示,周期的单位是s (秒),常用单位有ms(毫秒)、μs(微秒)和ns(纳秒)等。 交流电每秒变化的次数称作频率,用符号f表示。频率的单位是Hz(赫兹),当 频率较高时,常用单位有kHz(千赫)、MHz(兆赫)、GHz(吉赫)等。 当周期用s作单位,频率用Hz作单位时,频率和周期有互为倒数的关系,即

1 f ? T



1 T? f

3. 机械角度与电角度
物体绕某一转轴旋转一周所经历的角度定义为360°,这样的角度称作机械 角度。交流电变化一次所经历的角度定义为360°,这样的角度称作电角度。 电角度与机械角度的关系是:电角度为磁极对数p与机械角度的乘积 4. 相位与初相位 交流电在某一时刻对应的电角度称作相位角,简称相位。 t=0的时刻,即开始时刻交流电所对应的相位,称作初相位,简称初相。 初相表示交流电的初始状态,它的单位是°(度)或rad(弧度)。

5. 角频率 交流电不仅大小和方向在变化,它的相位也在随时间的变化而变化。交流电 每秒变化的相位称作角频率,用符号ω表示,单位为rad/s(弧度每秒)。 角频率ω与周期T的关系为 角频率与频率的关系为 6. 交流电的三要素 最大值、角频率和初相称交流电的三要素

??
ω=2πf

2? T

活动2 实际中使用交流电的量值
1. 交流电的有效值 在同一个电阻上,通电时间相同,若交流电产生的热量与直流电产生热量 相同,我们就把直流电的大小称作交流电的有效值。有效值是根据交流电的 热效应与直流电的热效应等效的原理确定的。 交流电最大值是有效值的 倍 2

E?

Em 2

? 0.707Em

U?

Um 2

? 0.707Um

I?

Im 2

? 0.707 I m

2. 交流电的平均值 交流电半个周期所有瞬时值的平均值称作交流电的平均值。交流电 流、交流电压和交流电动势的平均值分别用符号,Iav、Uav和Eav表示。 交流电平均值与最大值的关系是

I m ? 0.637 I m Uav ? Um ? 0.637Um ? ? 2 Eav ? Em ? 0.637 Em Iav ?

2

2

?

任务三 熟悉交流电的描述方法

活动1 用数学表达式描述交流电
用数学表达式描述交流电,要清楚交流电的三要素,即交流电的最大值、 角频率和初相位,其方法如下:

交流电流的数学表达式为:i=Imsin(ωt+

? A; 0)

交流电压的数学表达式为:u=Umsin(ωt+?0)V; 交流电动势的数学表达式为:e=Emsin(ωt+

? 0)V。

【例4-1】正弦交流电压u=220sin(314t-30°)V,此交流电压的频率 是多少?周期是多少?用电压表测量这个交流电压,读数是多少?在t=0. 005s时 电压的瞬时值是多少? 解:从该交流电压的数学表达式中可知,Um=220V,ω=314rad/s,

? 0=-30°。 根据ω=2πf
f ? 2?



?

?

314 HZ=50HZ 2 ? 3.14

根据

2? ?? 得 T

T?

2?

?

?

2 ? 3.14 s=0.02S 314

仪表测量的是交流电的有效值,根据U=0. 707Um,得电压表的读数为 U=0. 707×220V=155. 5V。 将t=0. 005s代入u=220sin(314t-30°)V得对应时刻电压的瞬时值为: u=220sin(314×0. 005-30°)V=220sin(0. 5π-30°)V=190. 5V

活动2

用波形图描述交流电

交流电随时间变化的图线称作波形图。根据交流电的数学表达式画出交流 电的波形图的方法和步骤如图4-10所示,首先选取坐标,用横轴作时间轴 或交流电的电角度轴,用纵轴作交流电电量的瞬时值轴。

图4-10 用数学表达式画出交流电路图

【例4-2】选择示波器的t/div=5ms/div,V/div=10V/div,得到的波形如图4 -11所示,从波形图中确定该交流电压三要素并写出该交流电压的数学表达 式。

解:从示波器的荧光屏上可以看 出,交流电压两个波峰之间所占 的格为4.5div,故交流电压的最大 值为

BV / div 4.5 ?10 Um ? ? V ? 22.5V 2 2
从示波器的荧光屏上可以看出,交流电压1个周期所占的格为4div,故交流 电压的周期为 T=At/div=4×5ms=20ms=0. 02s 交流电压的频率为

1 1 f ? ? Hz ? 50Hz T 0.02

【例4-2 】续 交流电压的角频率为

2? ? ? 2? f ? ? 314rad/s T



因为交流电压的初始值(t=0的瞬时值)所占格数为1. 7div,故电压初始值为 ? u=BV/div=1. 7×10V=17V 将t=0和对应的电压初始值代入交流电压的数学表达式u=22. 5sin(314t+ 0)V,

u 17 sin ?0 ? ? ? 0.707 Um 22.5

? 0=45°。故该交流电压的数学表达式为
u=22. 5sin(314t+45°)V

活动3 用相量图描述交流电
表示交流电的相量有如下的约定: (1)任意选定参考方向画交流电的相量时,应画出参考方向;如果在 直角坐标中画交流电的相量,则不必画出参考方向。 (2)相量从画出的位置开始,以角频率(也称作角速度,即每秒转过 的角度)ω按逆时针方向转动时,这个相量称作旋转矢量。旋转矢量某一 时刻在纵轴上的投影,为交流电该时刻的瞬时值。画相量图时,可以不画 出相量的旋转方向和标示ω的大小。 (3)相量的长度为交流电的有效值时,这个相量称作有效值相量,交 流电流、交流电压和电动势的有效值相量分别用符号 I 、 U 和 E 表示;相量的长度为交流电的最大值时,这个相量称作最大值相量,交 流电流、交流电压和电动势的最大值相量分别用符号 、 和 表 I m Um Em 示。 (4)相量还可以用相量式描述,相量式的表示方法是: 有效值相量=有效值∠初相位;最大值相量=最大值∠初相 位 (5)频率相同的交流电可以画在同一个图上;不同频率的交流电不能画在 同一个图上。在同一个相量图中,都用有效值相量或都用最大值相量。

【例4-3】画出u =10sin(ωt+60°)V的相量图,并写出画图步骤。

图4-13 解:u =10sin(ωt+60°)V的相量如图4-13所示。画出相量图的步骤 是: (1)选取参考方向; (2)在逆时针方向,与参考方向成60°夹角画一直线; (3)选取单位线段代表一定的电压(例中选取的单位线段代表电压 2V),用单位线段截取线段的长度等于有效值或最大值; (4)在截取线段的终点画上箭头,标注相量的符号。

【例4-4】写出如图4-14所示的交流电动势的数学表达式。

解:

Em ? 2E ? 1.414 ? 220 ? 311V

图4-14

由图中看出相量与参考方向的夹角为120°,图中未表示角频率,故交 流电动势的表达式为 e=311sin(ωt+120°)V

活动4

确定两个交流电的相位差

两个交流电量(两个交流电流、电压或电动势,一个交流电流和 一个交流电压等都是两个交流电量)相位的差值,称作相位差,用符 号Δ 表示。

?

同频率的两个交流电的相位差,就是两个交流电的初相位差,即

??=?01 ? ?02
?? ? 0 ?? ? 0 ??=0
第一个交流电超前第二个交流电。 第一个交流电滞后第二个交流电。 两交流电同相。

从波形图确定两个交流电相位差

图4-15 从波形图确定两个交流电相位差

从相量图确定两个交流电相位差

图4-16 从相量图确定两个交流电相位差

活动5
2 2 Um ? Um1 ? Um2

了解两个交流电的叠加

Um1 sin ? 1 ? Um 2 sin ? 2 tan ? ? Um1 cos ? 1 ? Um 2 cos ? 2

图4-17 平行四边形法则

项目二 交流电路的常用元件和特点

任务一 单一参数的正弦交流电路
活动1 纯电阻交流电路的特点
纯电阻交流电路中电流与电压的频率相同,初相位相同,相位相同。 瞬时值、有效值和最大值都遵循欧姆定律。即:

U I? R

图4-19 纯电阻交流电路

纯电阻电路的功率
在交流电路中,把电压瞬时值与电流瞬时值的乘积称作瞬时功 率,用符号p表示。在纯电阻电路中,瞬时功率为: p=ui=(Umsin ωt)(Imsinωt)=UmImsin2ωt 瞬时功率在一个周期内的平均值,称作平均功率,又称为有功功率, 用符号P表示。

U2 P ? UI ? ? I 2R R
U为交流电压的有效值,单位为V(伏特);I为交流电流的有效值,单 位为A(安培);有功功率P的单位为W(瓦)。

【例4-7】R=5Ω的电阻接在电压u1=100sin(314t+45°)V的电路上,求: (1)电阻中的电流i; (2)电阻的有功功率P。 解:(1)

u Um i ? ? sin(314t ? 45 ) R R 100 ? sin(314t ? 45 )A 5 ? 20sin(314t ? 45 )A
Um 2 Im 2 100 2 20 2

(2)

P ? UI ?

?

?

?

? 1000W ? 1kW

活动2 纯电感交流电路的特点
电路中只有线圈(电感元件)且线圈电阻忽略不计的交流电路称作纯 电感交流电路,又称纯电感电路。 线圈对交流电流的阻碍作用称作感抗,感抗用符号XL表示。 当交流电的角频率为ω(或频率为f或周期为T),线圈的电感为L时, 感抗为

2? L XL ? ? L ? 2? fL ? T
ω的单位用rad/s(或f的单位用Hz,T的单位用s);电感L的单位 用H(亨利);感抗XL的单位为Ω(欧姆)。

纯电感交流电路的特点 在纯电感交流电路中,电压和电流的频率相同;电压和电流的相位关 系是:电压超前电流90°(或说电流滞后电压90°);电压最大值、有效 值与电流最大值、有效值之间的关系遵循欧姆定律,但电压瞬时值与电流 瞬时值之间的关系不遵循欧姆定律。

U I? XL

图4-21 纯电感电路的波形图和相量图

【例4-8】将L=5mH的线圈接在电压为u=220sin(1 000t+60°)V的 电路中,写出线圈中电流i的数学表达式并画出电压和电流的相量图。

解:线圈的感抗为 XL=ωL=1 000×5×10-3Ω=5Ω 线圈中电流的最大值为

Um 220 Im? ? A ? 44A XL 5
电流的相位

相量图

?i=-90° +60° =-30°
I =44sin(1 000t-30°)A

线圈中电流的数学表达式为

纯电感电路的功率
在纯电感电路中,交流电整个周期内,电路不消耗电能,只存在电 能与磁场能的相互转换。为描述电能与磁场能的相互转换,把电感元件瞬 时功率的最大值称作无功功率,用符号QL表示。无功功率可用下式计算:

U2 QL ? UI ? ? I 2 XL XL
U为交流电压的有效值,以V作单位;I为交 流电流的有效值,以A作单位;无功功率QL 的单位为Var(乏尔,读“乏”即可)。工 程上常用kVar(千乏)作无功功率的单位, 1kVar=1 000Var。

电压、电流和功率的波形

【例4-9】将L=10mH的线圈接在电压为u =14. 14sin(500t+60°)V的电 路中,求:(1)线圈中电流的有效值I和电路的无功功率QL;(2)当电压变为 u=14. 14sin(1 000t+60°)V时,线圈中电流的有效值I和电路的无功率QL。 解:(1)线圈的感抗为 电压有效值为 电流的有效值为 电路的无功功率为 XL=ωL=500×10×10-3Ω=5Ω U=0. 707Um=0. 707×14. 14V=10V

U 12 I? ? A ? 2A XL 5
QL=UI=10×2Var=20Var

(2)当电压的角频率变为1000rad/s时,线圈的感抗为 XL=ωL=1000×10×10-3Ω=10 Ω 电流有效值为 电路的无功功率为

I?

U 10 ? A ? 1A XL 10

QL=UI=10×1 Var=10 Var

活动3 纯电容交流电路的特点
电容器对交流电流的阻碍作用称作容抗,用符号XC表示。交流 电路的频率越高,容抗越小;电容器的电容越大,容抗越小。

1 1 T XC ? ? ? ?C 2? fC 2? C
ω的单位用rad/s,f 的单位用Hz,T 的单位用s;电容C的单位用F(法 拉);容抗XC的单位为Ω(欧姆)。

在纯电容交流电路中,电压和电流的频率相同;电压和电流的相位关系是: 电流超前电压90°(或说电压滞后电流90°);电压最大值 、有效值与电流 最大值、有效值之间的关系遵循欧姆定律,但电压瞬时值与电流瞬时值之间 的关系不遵循欧姆定律。

U I? XC

?

【例4-10】将C=50μF的电容接在电压为u =220sin(2 000t+60°)V的电 源上,写出电路中电流i的数学表达式并画出电压和电流的相量图。 解:电路的容抗为

XC ?

1 1 ? ? ? 10? ?6 ?C 50 ?10 ? 2 000

电路中电流最大值为

Im?

Um 220 ? A ? 22A XC 10

?i=Δ ?+ u=90°+60°=150° 因为纯电容电路电流的相位超前电压90°,
电路中电流的表达式为 I =22sin(2 000t+150°)A

?

图4-25 相量图

纯电容电路的功率
为描述电能与电场能的相互转换,把电容元件瞬时功率的最大值称作无功 功率,用符号QC表示。电容的无功功率是电能与电场能相互转换过程中瞬时 功率的最大值,它的大小为电压有效值与电流有效值的乘积。无功功率可用 下式计算

U2 QC ? UI ? ? I 2 XC XC
U为交流电压的有效值,以V作单位; I为交流电流的有效值,以A作单位;无功 功率QC的单位为Var(乏尔,读“乏”即 可)。工程上常用kVar(千乏)作无功功 率的单位,1 kVar=1 000 Var。

【例4-11】将C=10μF的电容接在电压为U=200sin(1 000t+60°)V的电路 中,求:电路中电流的有效值I和电路的无功功率QC

解:(1)在U=200sin(1 000t+60°)V时,电路的容抗为

1 1 XC ? ? ? ? 100? ?6 ?C 10 ?10 ?1 000
电路电压的有效值为 电路电流的有效值为 电路的无功功率为 U=0. 707Um=0. 707×200V=141. 4V

U 141.4 I? ? A ? 1.414A XC 100
QC=UI=141. 4×141. 4Var=200Var

任务二 认识两个元件串联的交流电路

活动1 认识RL串联电路的特点
串联电路中各元件中的电流是相等的,设电阻 和电感元件中的电流为 i =Imsinωt
电阻两端电压uR为 uR=ImRsinωt 电感两端电压为 uL=ImXLsin(ωt+90°)

1. 总电压与电阻两端电压和电感两端电压的关系
总电压与电阻两端电压和电感两端电压的关系
2 2 U ? UR ? UL
2 2 Um ? Um ? U R mL

总电压与串联电路中电流相位差φ的三角函数为

UR UmR cos ? ? ? U Um

UL UmL tan ? ? ? UR UmR

?

【例4-12】R=8 kΩ的电阻与,L=6mH的线圈串联后接在交流电源上,通 过电阻和电感中的电流为i=0. 5 2sin(106t+30°)mA,求: (1)电阻两端电压的有效值UR、线圈两端电压的有效值UL和电源电压的 有效值U; (2)电源电压u的数学表达式。
解:(1)电路中电流的有效值为0. 5mA,电阻两端电压的有效值为 UR=IR=0. 5×10-3×8×103V=4V 电感两端电压的有效值为 UL=IXL=IωL=0. 5×10-3×106×6×10-3V=3V 电源电压有效值为


2 2 U ? UR ? UL ? 42 ? 33 V ? 5V

2)因为电源电压的有效值U=5V,所以电源电压的最大值为Um=5V。 UL 3 电压与电流的相位差为 tan ? ? ? ? 0.75 ? =37° UR 4
故而?0= 670
电源电压u的数学表达式为

u ? 5 2 sin(106 t ? 67 )V

?

2. RL串联电路的阻抗

电路的阻抗为

U Um 2 Z? ? ? R2 ? X L I Im

3. RL串联电路的功率
在有多个元件组成的交流电路中,把总电压有效值U和总电流有效值I的乘积称 作视在功率,用符号S表示,单位为V· A(伏安) 。

U2 S ? UI ? ? I 2Z Z
在RL串联电路中
2 2 2 S ? UI ? I UR ? UL ? (URI )2 ? (ULI )2 ? P2 ? QL

在工程上,将有功功率与视在功率的比值称作功率因数,用符号cos ?表示。

P UR R cos ? ? ? ? S U Z

活动2 认识RC串联电路的特点
设电流为i=Imsinωt,阻两端电压UR为 UR=ImRsinωt 电容两端电压uC为 uC=ImXCsin(ωt-90°) 总电压U为
2 2 U ? UR ? UC

总电压与串联电路中电流相位差

? 的正切函数为

UC UmC tan ? ? ? UR UmR

RC串联电路的功率

2 S ? P2 ? QC

活动3 认识RLC串联电路
总电压U
2 U ? UR ? (UL ? UC)2

RLC串联电路

电路的阻抗

Z ? R2 ? ( XL ? XC)2
功率关系

S ? P ? (QL ? QC)
2

2

向量图

RLC串联电路 在RLC串联电路中: 当XL>XC时,电路呈感性; 当XL<XC时,电路呈容性; 当XL=XC时,电路呈阻性;
【例4-19】在RLC的串联电路中,电压u=60sin(1 000t+60°)V, 电阻R=30 Ω,电感线圈的感抗XL=50 Ω,电容器的容抗XC=50 Ω,求:
(1) 电路中的电流I; (2) 电路中的有功功率P、感性无功功率QL、容性无功功率 QC和视在功率S和电路的功率因数cos ?

解:(1) 因为XL=XC,所以电路的阻抗Z=R=30 Ω。 电路中的电流为

U 60 I? ? A=1.41A Z 2 ? 30

(2) 电路中的有功功率为 感性无功功率为 容性无功功率为 视在功率为

P=I2R=1. 412× 30 W=60 W

QL=I2XL=1. 412×50 Var=100 Var QC=I2XC=1. 412×50 Var=100 Var

S ? P2 ? (QL ? QC)2 ? 602 ? (100 ? 100)2 V A=60V A

电路的功率因数为

cos? ?

P 60 ? ?1 S 60

项目三 熟悉单相交流电的测量

任务一 交流电流和交流电压的测量
一、测量交流电流
1、用交流电表测

图4-44 电流表测交流 电流
用交流电流表测量交流电流时,电流表不分极性,只要在测量量程范围 内将它串入被测电路即可,如图4-44(a)所示。因交流电流表线圈的线径 和游丝截面很小,不能测量较大电流,如需扩大量程,可加接电流互感器, 其接线原理如图4-44(b)所示。

2、用数字万用表测

(a)

(b)

图4-45 用万用表测交 流电流
将量程开关置于“ACA”范围的适当挡位,被测电流低于200mA时可采用 如图4-45(a)所示,被测电流大于200mA时,应选择“10A”插孔与 “20mA/ 10A”挡位,读数单位“A”。

二、测量交流电压
1、用交流电压表测 用电压表测电压时,必须将仪表与被测电路并联。用交流电压表测量交 流电压时,电压表不分极性,只需在测量量程范围内直接并联到被测电路 即可 。如需扩大交流电压表量程,可加接电压互感器。

(a)

(b )

图4-46 交流电压表测交流电压

2、用万用表测量交流电压
(a)用指针式万用表测量 (b)用数字万用表测

(a)

(b) 图4-47 用万用表测交流电压

任务二 单相交流电有功功率的测量
测量单相交流电的功率需用单相功率表来进行,注意接线。

( a )

( b)

图4-48指针式单相交流有功功率表的应用

数字式功率表举例

图4-49 TOS300型单相有功功率表

图4-50 EX2201型单相有功功率表

EX2201型单相有功功率表典型接线示意图

任务三 使用双踪示波器
一、认识XJ4328型二踪示波器

图4-52 XJ4328型二踪示波器

开关和旋钮名称及其位置列表

开关和旋钮名称

位置

开关和旋钮名称

位置

INTEN 辉度
FOCUS 聚焦 垂直方向位移 水平方向位移 PULL×10水平扩展 ⊥、AC、DC输入方式

中间
中间 中间 中间 推入 ⊥

LEVEL 电位
VERTICAL MODE显示方式 MODE触发方式:自动/常态 MODE触发方式:时基/X-Y TRIGGER触发极性:+/TRIGGER触发源:内/外

中间
CH1 AUTO 自动 TIME 时基 + INT内、CH1

示波器应用举例1
例:如图4-53所示,在示波器屏幕上观察到的波形,一个重复周期占4格, 扫描速度为每格2mS,此时,T=0.8mS。同理,因为f=1/T,所以被测波 形的频率为1250Hz。 如果使用了“PULL×10”装置,则相当于扫描速度增快了10倍,此时应将 测得的时间间隔除以10,即: T = T/div×D(div)×1/10

图4-53 用XJ4328型二踪示波器测正弦波的幅值和周期

示波器应用举例2
利用示波器观测两个正弦波的相位差的示意图,在图中, A和B的相位 差为φ=A/B×360°

图4-54 用XJ4328型二踪示波器测两个正弦 波的相位差


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