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3.2向量法求空间角学案


§ 3.2
编写人 张彦东 教研主任签字

立体几何中的向量方法 (二) —— 利用向量方法求角
日期 小组 备课组长签字 姓名 成绩

编号 班级

学习目标:
1、学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法;2、 能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题;

学习重点:求解二面角的向量方法 学习难点:二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系

向量的有关知识: (1)两向量数量积的定义: (2)两向量夹角公式: (3)平面的法向量:

知识点一

求异面直线所成的角 )

知识点 1、异面直线所成的角(范围: (2)用向量法求异面直线所成角 所以,异面直线 a、b 所成的角的余弦值为

cos? ? cos m, n ?

m?n m?n

?
知识点二 求线面角

x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2
2 2 2 x12 ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2

1.直线与平面所成的角(范围:



2.直线与平面所成的角,即线面角,是直线 AB 与直线在平面α 内的 射影 OB 所成角∠ABO 3.计算时,先求平面α 的法向量,再计算直线 AB 与法向量的夹角
? AB, n ? ,

然后利用 ? AB, n ? 与所求线面角θ 互余,进行转化 据图分析出直线与平面所成的角的正弦值为 sin ? = 知识点三 求二面角 )

cos AB, n

二面角(范围:

??? ? → AB 与CD的夹角(如图①所示).(2)设 n1、

n2 是二面角 α—l—β 的两个面 α、β 的法 向量,则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角) 就是二面角的平面角的大小(如图②所示).

例一:已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的所有棱长都是 1 ,且∠A1AB = ∠A1AD=∠BAD=60° ,E、F 分别为 A1B1 与 BB1 的中点,求异面直线 BE 与 CF 所成角的余弦值.

变式训练: 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E、 F 分别是 A1D1、 A1C1 的中点.求:异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值.

例二:正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 2a, 求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角.

变式训练:如图所示,已知直角梯形 ABCD,其中 AB=BC=2AD,AS⊥平面 ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且 AS=AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 θ 的余弦.

3 例三:如图,四棱锥 P-ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD⊥PD,底面 ABCD 为 直角梯形, AD∥BC, AB⊥BC, AB=AD=PB=3.点 E 在棱 PA 上, 且 PE=2EA. 求二面角 A-BE-D 的余弦值.

变式训练:若 PA⊥平面 ABC , AC⊥BC , PA = AC = 1 , BC = 2 ,求二面角 A—PB—C 的余弦值. 解

1.若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150° ,则 l1 与 l2 这两条异面直 线所成的角等于( ) A.30° B.150° C.30° 或 150° D.以上均错 2.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 150° ,则直线 l 与平面 α 所成的角等于 A.30° B.60° C.150° D.以上均错 3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) 1 2 3 2 A.2 B.3 C. 3 D. 2 4.若两个平面 α,β 的法向量分别是 n=(1,0,1),ν=(-1,1,0).则这两个平面所 成的锐二面角的度数是________. 5.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=4,AD=3,AA1=2, E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB=FB=1, (1)求二面角 C—DE—C1 的正切值; (2)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值.


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