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二次函数预测题及答案


二次函数
一、选择题: 1. 抛物线 y
? ( x ? 2)
? ?3
2

? 3

的对称轴是( B. 直线 x
?3

) C. 直线 x
(b , c a )
? ?2

A. 直线 x 2.

D.

直线 x
y

? 2

二次函数 y

? ax

2

? bx ? c

的图象如右图,则点 M

在( ) A. 第一象限 C. 第三象限 3. 已知二次函数 y 则一定有( A. 4.
b
2

B. 第二象限 D. 第四象限
? ax
2

O
?0

x

? bx ? c

,且 a

? 0

,a ? b ? c



) B.
? bx ? c
b
2

? 4 ac ? 0

? 4 ac ? 0

C.

b

2

? 4 ac ? 0

D.

b

2

? 4 ac

≤0

把抛物线 y
y ? x
2

? x

2

向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得图象的解析式是 ) B. D.
b ? ?9 b ?

? 3x ? 5

,则有(

A. C. 5.

b ? 3 ,c ? 7 b ? 3,c ? 3

, c ? ? 15 ? 9 , c ? 21
O

y

已知反比例函数
y ? 2 kx
2

y ?

k x

的图象如右图所示,则二次函数 )
y y

x

? x ? k
y

2

的图象大致为(
y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C
2

D

6.

下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数
y ? ax ? c

y ? ax

? (a ? c) x ? c

与一次函数

的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是(



y

y

y

y

O x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

7.

抛物线 y A.

? x

2

? 2x ? 3

的对称轴是直线( B.
x ? 2

) C. ) C.
?1
y
x ? ?1

x ? ?2

D.

x ?1

8.

二次函数 y A.
?2

? ( x ? 1)

2

? 2

的最小值是(

B. 2
y ? ax
2

D. 1

9.

二次函数

? bx ? c

的图象如图所示,若 ,
P ? 4a ? b

M ? 4 a ? 2b ? c

N ? a ?b ? c

,则

( ) A. M ? 0 , N B. M ? 0 , N C. M ? 0 , N D. M ? 0 , N 二、填空题: 10. 将二次函数 y
y ? (x ? h) ? k
2

,P ? 0,P ? 0,P ? 0,P
? 0

? 0 ? 0 ? 0 ? 0

-1

O

1

2

x

? x

2

? 2x ? 3

配方成

的形式,则 y=______________________.
? ax
2

11. 已知抛物线 y

? bx ? c

与 x 轴有两个交点,那么一元二次方程 ax 2

? bx ? c ? 0

的根的

情况是______________________. 12. 已知抛物线 y
? ax
2

? x ? c

与 x 轴交点的横坐标为 ? 1 ,则 a ? c =_________.
? x
2

13. 请你写出函数 y

? ( x ? 1)

2

与y

? 1 具有的一个共同性质:_______________.

14. 有一个二次函数的图象,三位同学分别说出它的一些特点: 甲:对称轴是直线 x ? 4 ; 乙:与 x 轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与 y 轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:

15. 已知二次函数的图象开口向上, 且与 y 轴的正半轴相交, 请你写出一个满足条件的二次函 数的解析式:_____________________. 16. 如图,抛物线的对称轴是 x
? 1 ,与

x 轴交于 A、B 两点,若 B 点坐标是 (

3 ,0 )

,则 A 点

的坐标是________________.
y

1

A O 1

B x

16 题 图

三、解答题: 1. 已知函数 y
? x
2

? bx ? 1 的图象经过点(3,2).

(1)求这个函数的解析式; (2)当 x ? 0 时,求使 y≥2 的 x 的取值范围.

2.

如右图,抛物线 y

? ?x

2

? 5x ? n

经过点 A (1,

0)

,与 y 轴交于点 B.

(1)求抛物线的解析式; (2)P 是 y 轴正半轴上一点,且△PAB 是以 AB 为腰的等腰三角形,试求点 P 的坐标.

y

O -1 B

A 1 x

3.

某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程, 下面的二次函数图象 (部分) 刻画了该公司年初以来累积利润 s (万元) 与销售时间 t 月) ( 之间的关系(即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系). (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润 s(万元)与销 售时间 t(月)之间的函数关系式; (2)求截止到几月累积利润可达到 30 万元; (3)求第 8 个月公司所获利润是多少万元?

提高题

1.

如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面 AB 的宽为 20m,如果水位上升 3m 时, 水面 CD 的宽是 10m. (1)求此抛物线的解析式; (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥 280km (桥长忽略不计) 货车正以每小时 40km 的速度开往乙地, . 当行驶 1 小时时, 忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时 0.25m 的速度持续上涨(货 车接到通知时水位在 CD 处,当水位达到桥拱最高点 O 时,禁止车辆通行). 试问: 如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使 货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?

2.

某机械租赁公司有同一型号的机械设备 40 套. 经过一段时间的经营发现:当每套机械设 备的月租金为 270 元时,恰好全部租出. 在此基础上,当每套设备的月租金提高 10 元时, 这种设备就少租出一套,且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20 元,设每套设备的月租金为 x(元) ,租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入 -支出费用)为 y(元). (1)用含 x 的代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出设备(套)的支出费用; (2)求 y 与 x 之间的二次函数关系式; (3) 当月租金分别为 4300 元和 350 元时, 租赁公司的月收益分别是多少元?此时应该租 出多少套机械设备?请你简要说明理由; (4)请把(2)中所求的二次函数配方成 y
? (x ? b 2a )
2

?

4 ac ? b 4a

2

的形式,并据此说明:

当 x 为何值时,租赁公司出租该型号设备的月收益最大?最大月收益是多少?

参考答案 一、选择题: 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 A 5 D 6 D 7 D 8 B 9 D

二、填空题: 1. y ? ( x ? 1)
2

? 2

2. 有两个不相等的实数根

3. 1

4. (1)图象都是抛物线; (2)开口向上; (3)都有最低点(或最小值) 5. y ?
1 5 x
2

?

8 5

x ? 3或y ? ?

1 5

x

2

?

8 5

x ? 3或y ?

1 7

x

2

?

8 7

x ?1或y ? ?

1 7

x

2

?

8 7

x ?1

6. y ? ? x 7. ( 2 ?

2

? 2 x ? 1 等(只须 a ? 0 , c ? 0 )

3 , 0)

8. x ? 3 , 1 ? x ? 5 ,1,4

三、解答题: 1. 解: (1)∵函数 y ? x
2

? bx ? 1 的图象经过点(3,2) ,∴ 9 ? 3 b ? 1 ? 2 . 解得 b ? ? 2 .

∴函数解析式为 y ? x (2)当 x ? 3 时, y ? 2 .

2

? 2x ? 1 .

根据图象知当 x≥3 时,y≥2. ∴当 x ? 0 时,使 y≥2 的 x 的取值范围是 x≥3. 2. 解: (1)由题意得 ? 1 ? 5 ? n ? 0 . ∴ n ? ? 4 . ∴抛物线的解析式为 y ? ? x (2)∵点 A 的坐标为(1,0) ,点 B 的坐标为 ( 0 , ? 4 ) . ∴OA=1,OB=4.
2

? 5x ? 4 .

在 Rt△OAB 中, AB ? ①当 PB=PA 时, PB ? 此时点 P 的坐标为 ( 0 ,

OA

2

? OB

2

?

17 ,且点 P 在 y 轴正半轴上.

17 . ∴ OP ? PB ? OB ?
17 ? 4 ) .

17 ? 4 .

②当 PA=AB 时,OP=OB=4

此时点 P 的坐标为(0,4).

3. 解: (1)设 s 与 t 的函数关系式为 s ? at

2

? bt ? c ,

1 ? ?a ? , ? a ? b ? c ? ? 1 .5 , ? a ? b ? c ? ? 1 .5 , 2 ? 1 2 ? ? 由题意得 ? 4 a ? 2 b ? c ? ? 2 , 或 ? 4 a ? 2 b ? c ? ? 2 , 解得 ? b ? ? 2 , ∴ s ? t ? 2 t . 2 ? 25 a ? 5 b ? c ? 2 . 5; ? c ? 0 . ?c ? 0. ? ? ? ?

(2)把 s=30 代入 s ?

1 2

t

2

? 2 t ,得 30 ?

1 2

t

2

? 2 t . 解得 t 1 ? 10 , t 2 ? ? 6 (舍去)

答:截止到 10 月末公司累积利润可达到 30 万元.

(3)把 t ? 7 代入,得 s ? 把 t ? 8 代入,得 s ?
16 ? 10 . 5 ? 5 . 5 .

1 2 1 2

?7

2

? 2 ? 7 ? 10 . 5 .

?8

2

? 2 ? 8 ? 16 .

答:第 8 个月获利润 5.5 万元.
2

4. 解: (1)由于顶点在 y 轴上,所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为 y ? ax 因为点 A ( ?
5 2 , 0) 或 B ( 5 2 , 0 ) 在抛物线上,所以 0 ? a · ? ( 5 2
2

?

9 10

.
18 125

)

?

9 10

,得 a ? ?

.

因此所求函数解析式为 y ? ? (2)因为点 D、E 的纵坐标为 所以点 D 的坐标为 ( ? 所以 DE ?
5 4 2 ? (? 5 4 5 4 9 20 2,

18 125

x

2

?
9 20

9 10

(?
18 125

5 2

≤x≤
? 9 10 5 4

5 2

).
5 4

,所以
9 20

? ?

,得 x ? ?
9 20

2 .

) ,点 E 的坐标为 ( 5 2

2,

).

2) ? 5 2

2 .

因此卢浦大桥拱内实际桥长为

2 ? 1100 ? 0 . 01 ? 275

2 ? 385 (米).

5. 解: (1)∵AB=3, x 1 ? x 2 ,∴ x 2 ? x 1 ? 3 . 由根与系数的关系有 x 1 ? x 2 ? 1 . ∴ x1 ? ? 1 , x 2 ? 2 . ∴OA=1,OB=2, x 1 · 2 ? x
m a OC OA ? OC OB ?1. ? ?2 .

∵ tan ? BAC ? tan ? ABC ? 1 ,∴ ∴OC=2. ∴ m ? ? 2 , a ? 1 . ∴此二次函数的解析式为 y ? x
2

? x ? 2.

(2)在第一象限,抛物线上存在一点 P,使 S△PAC=6. 解法一:过点 P 作直线 MN∥AC,交 x 轴于点 M,交 y 轴于 N,连结 PA、PC、MC、NA.

y N

P

A

O

B

M

x

C

∵MN∥AC,∴S△MAC=S△NAC= S△PAC=6. 由(1)有 OA=1,OC=2. ∴
1 2 ? AM ? 2 ? 1 2 ? CN ? 1 ? 6 . ∴AM=6,CN=12.

∴M(5,0) ,N(0,10). ∴直线 MN 的解析式为 y ? ? 2 x ? 10 .
? y ? ? 2 x ? 10 , ?y ? x
2

由?

? x ? 2,

得?

? x1 ? 3

? x 2 ? ?4, (舍去) ? ? y 1 ? 4;? y 2 ? 18

∴在 第一象限,抛物线上存在点 P ( 3 , 4 ) ,使 S△PAC=6. 解法二:设 AP 与 y 轴交于点 D ( 0 , m ) (m>0) ∴直线 AP 的解析式为 y ? mx ? m .
? y ? x 2 ? x ? 2, ? ? y ? mx ? m.

∴x

2

? ( m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 .

∴ x A ? x P ? m ? 1 ,∴ x P ? m ? 2 . 又 S△PAC= S△ADC+ S△PDC= ∴
1 2 1 2
2

CD · AO ?

1 2

CD · P = x

1 2

CD ( AO ? x P ) .

( m ? 2 )(1 ? m ? 2 ) ? 6 , m

? 5m ? 6 ? 0

∴ m ? 6 (舍去)或 m ? 1 . ∴在 第一象限,抛物线上存在点 P ( 3 , 4 ) ,使 S△PAC=6. 提高题 1. 解: (1)∵抛物线 y ? x
2

? bx ? c 与 x 轴只有一个交点,

∴方程 x

2

? bx ? c ? 0 有两个相等的实数根,即 b

2

? 4c ? 0 . ①

又点 A 的坐标为(2,0) ,∴ 4 ? 2 b ? c ? 0 . ② 由①②得 b ? ? 4 , a ? 4 . (2)由(1)得抛物线的解析式为 y ? x
2

? 4x ? 4 .

当 x ? 0 时, y ? 4 . ∴点 B 的坐标为(0,4). 在 Rt△OAB 中,OA=2,OB=4,得 AB ?
OA
2

? OB

2

? 2 5 .

∴△OAB 的周长为 1 ? 4 ? 2 5 ? 6 ? 2 5 . 2. 解: (1) S ? 10 ? ( ?
x
2

?

7 10

x ?

7 10

) ? (4 ? 3) ? x ? ? x

2

? 6x ? 7 .
2

10

当x ? ?

6 2 ? ( ? 1)

? 3 时, S 最大 ?

4 ? ( ? 1) ? 7 ? 6 4 ? ( ? 1)

? 16 .

∴当广告费是 3 万元时,公司获得的最大年利润是 16 万元. (2)用于投资的资金是 16 ? 3 ? 13 万元. 经分析,有两种投资方式符合要求,一种是取 A、B、E 各一股,投入资金为 5 ? 2 ? 6 ? 13 (万 元) ,收益为 0.55+0.4+0.9=1.85(万元)>1.6(万元) ; 另一种是取 B、D、E 各一股,投入资金为 2+4+6=12(万元)<13(万元) ,收益为 0.4+0.5+0.9=1.8 (万元)>1.6(万元).
2 3. 解:1) ( 设抛物线的解析式为 y ? ax , 桥拱最高点到水面 CD 的距离为 h 米, D ( 5 , ? h ) , (10 , ? h ? 3 ) . 则 B

1 ? , ? 25 a ? ? h , ?a ? ? ∴? 解得 ? 25 ?100 a ? ? h ? 3 . ?h ? 1. ?

∴抛物线的解析式为 y ? ?

1 25

x .

2

(2)水位由 CD 处涨到点 O 的时间为 1÷0.25=4(小时) , 货车按原来速度行驶的路程为 40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到 x 千米/时, 当 4 x ? 40 ? 1 ? 280 时, x ? 60 . ∴要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过 60 千米/时. 4. 解: (1)未出租的设备为
x ? 270 10

套,所有未出租设备的支出为 ( 2 x ? 540 ) 元.

(2) y ? ( 40 ? ∴y ? ?
1 10

x ? 270 10 x
2

) x ? ( 2 x ? 540 ) ? ?

1 10

x

2

? 65 x ? 540 .

? 65 x ? 540 .(说明:此处不要写出 x 的取值范围)

(3)当月租金为 300 元时,租赁公司的月收益为 11040 元,此时出租的设备为 37 套;当月租金为 350 元时,租赁公司的月收益为 11040 元,此时出租的设备为 32 套. 因为出租 37 套和 32 套设备获得同样的收益,如果考虑减少设备的磨损,应选择出租 32 套; 如果考虑市场占有率,应选择出租 37 套. (4) y ? ?
1 10 x
2

? 65 x ? 540 ? ?

1 10

( x ? 325 )

2

? 11102 . 5 .

∴当 x ? 325 时,y 有最大值 11102.5. 但是,当月租金为 325 元时,租出设备套数为 34.5,而 34.5 不是整数,故租出设备应为 34 套或 35 套. 即当月租金为为 330 元(租出 34 套)或月租 金为 320 元(租出 35 套)时,租赁公司的月收益最大,最大月收益均为 11100 元.


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