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二次函数中的特殊三角形问题


二次函数中的特殊三角形问题
一、等腰三角形 1.(2011 湘潭)如图,直线 y ? 3x ? 3 交 x 轴于 A 点,交 y 轴于 B 点,过 A、B 两点的抛物 线交 x 轴于另一点 C(3,0). ⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使△ABQ 是等腰三角形?若存在,求出符合条件的 Q 点坐标;若不存在,请说明理由. B

y

A O C

x

2、 (07 福建龙岩)如图,抛物线 y ? ax2 ? 5ax ? 4 经过 △ ABC 的三个顶点, 已知 BC ∥ x 轴,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,且 AC ? BC . (1)求抛物线的对称轴; (2)写出 A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式; (3)探究:若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点, 是否存在 △PAB 是等腰三角形.若存在,求出所有符合条 件的点 P 坐标;不存在,请说明理由. A 0

y B

C
1 1

x

3、 (07 广西河池)如图,已知抛物线 y ? ?

2 2 4 x ? x ? 2 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 3 3

y 轴交于点 C,抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D. 点 M 从 O 点出发,以每秒 1 个单位长度 的速度向 B 运动,过 M 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 P,交 BC 于 Q. (1)求点 B 和点 C 的坐标; (2)设当点 M 运动了 x(秒)时,四边形 OBPC 的面积为 S, 求 S 与 x 的函数关系式,并指出自变量 x 的取值范围. (3)在线段 BC 上是否存在点 Q,使得△DBQ 成为以 BQ 为一腰的 等腰三角形?若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,说明理由.
C

y

P

Q

A O D M

B

x

4、 (07 山东泰安)如图,在 △OAB 中, ?B ? 90? , ?BOA ? 30? , OA ? 4 , 将 △OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转至 △OA?B? , C 点的坐标为(0,4) . (1)求 A? 点的坐标; (2)求过 C , A? , A 三点的抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的解析式; (3)在(2)中的抛物线上是否存在点 P ,使以 O,A,P 为顶点的三角形 是等腰直角三角形?若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由

y

B?

C

A?
B

O

A

x

5、 (2011 贺州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左 侧) ,与 y 轴交于点 C(0,4) ,顶点为(1,92 )(1)求抛物线的函数表达式; . (2)设抛 物线的对称轴与 x 轴交于点 D,试在对称轴上找出点 P,使△CDP 为等腰三角形,请直接 写出满足条件的所有点 P 的坐标; (3)若点 E 是线段 AB 上的一个动点(与 A、B 不重合) , 分别连接 AC、BC,过点 E 作 EF∥AC 交线段 BC 于点 F,连接 CE,记△CEF 的面积为 S, S 是否存在最大值?若存在,求出 S 的最大值及此时 E 点的坐标;若不存在,请说明理由.

5、 (08 重庆)已知:如图,抛物线 y ? ax ? 2ax ? c(a ? 0) 与 y 轴交于点 C(0,4) ,与 x
2

轴交于点 A、B,点 A 的坐标为(4,0) 。 (1)求该抛物线的解析式; (2)点 Q 是线段 AB 上的动点,过点 Q 作 QE∥AC,交 BC 于 点 E,连接 CQ。当△CQE 的面积最大时,求点 Q 的坐标; (3) 若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P, 与直线 AC 交于点 F,点 D 的坐标为(2,0) 。问:是否存在这样的直线 l , 使得△ODF 是等腰三角形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不 存在,请说明理由。
B ? C
Y

O

Q

D

A X

二、直角三角形
4、(2011 年西宁)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,斜 靠在两坐标轴上,点 C 为(-1,0) .如图所示,B 点在抛物线 y=12 x2+1 2 x-2 图象上,过点 B 作 BD⊥x 轴,垂足为 D,且 B 点横坐标为-3. (1)求证:△BDC≌△COA; (2)求 BC 所在直线的函数关系式; (3)抛物线的对称轴上是否存在点 P,使△ACP 是以 AC 为直角边 的直角三角形?若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

5、在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴的两个交点分别为 A(-3,0) 、B(1, 0) ,过顶点 C 作 CH⊥x 轴于点 H. (2)在 y 轴上是否存在点 D,使得△ACD 是以 AC 为斜 边的直角三角形?若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,说明理由; (3)若点 P 为 x 轴上 方的抛物线上一动点(点 P 与顶点 C 不重合) ,PQ⊥AC 于点 Q,当△PCQ 与△ACH 相似 时,求点 P 的坐标.

2、 (2011 朝阳)平面直角坐标中,对称轴平行于 y 轴的抛物线经过原点 O,其顶点坐标为 (3,-92 ) ;Rt△ABC 的直角边 BC 在 x 轴上,直角顶点 C 的坐标为(1 2 ,0) ,且 BC=5,AC=3(如 图(1). )(1)求出该抛物线的解析式; (2)将 Rt△ABC 沿 x 轴向右平移,当点 A 落在(1) 中所求抛物线上时 Rt△ABC 停止移动.D(0,4)为 y 轴上一点,设点 B 的横坐标为 m, △DAB 的面积为 s. ①分别求出点 B 位于原点左侧、右侧(含原点 O)时,s 与 m 之间的函数关系式,并写出 相应自变量 m 的取值范围(可在图(1) 、图(2)中画出探求) ; ②当点 B 位于原点左侧时,是否存在实数 m,使得△DAB 为直角三角形?若存在,直接写

出 m 的值;若不存在,请说明理由.

9、 (2011 潼南县) 如图, 在平面直角坐标系中, △ABC 是直角三角形, ∠ACB=90, AC=BC, OA=1,OC=4,抛物线 y=x2+bx+c 经过 A,B 两点,抛物线的顶点为 D. (1)求 b,c 的值; (2)点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外) ,过点 E 作 x 轴的垂线交 抛物线于点 F,当线段 EF 的长度最大时,求点 E 的坐标; (3)在(2)的条件下: ①求以点 E、B、F、D 为顶点的四边形的面积; ②在抛物线上是否存在一点 P,使△EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形?若存在,求出所 有点 P 的坐标;若不存在,说明理由.


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