当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

东莞市高中数学竞赛决赛试题 (20151104)


2015 年东莞市高中数学竞赛决赛试题
满分:150 分,考试时间:2015 年 11 月 22 日上午 9:30—11:30,不能使用计算器和涂改液。 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请 把正确选择支号填在答题卡的相应位置. ) 1. An ? x | 2n ? x ? 2n?1 , x ? 3m

, m ? N ,若 An 表示集合 An 中元素的个数,则 A 1 ? A 2 ? A 3 ? A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

?

?

2.已知直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 1 ? 0 互相垂直,则 a ? A.0 B.1 C. ?1 D.1 或 ?1

3. 已知角 ? 的终边经过点 P(?1, 2) ,则 tan ? ? ? A.

? ?

??

? 的值是 4?
3
D. ?3

1 3

B. ?

1 3

C.

4.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? ?1,且 an?2 ? an?1 ? an , n ? 1, 2,? .则 a2015 = A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2

5. 半径为 R 的球的内部装有 4 个有相同半径 r 的小球,则小球半径 r 可能的最大值是 A.

3 2? 3

R

B.

1 R 1? 3

C.

2 R 6 ?2

D.

5 2? 5

R

6. 已知 f ? x ? ? x2 , g ? x ? ? x ?1 ,令 f1 ? x ? ? g ? ? f ? x ?? ?,

f n?1 ? x ? ? g ? ? f n ? x ?? ? ,则方程 f2015 ? x ? ? 1 实数解的个数是

A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017 2 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.请把答案填在答题卡相应题的横线上. ) , 7.分别写有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片,从这 4 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之 , 6 8.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆,则该几何体的表面积 和为奇数的概率为 ▲ . 为 ▲ .

2 2 9.设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l : y ? x ? 1 ( x ? 0 )上,若圆 C 与圆 x ? y ? 9

相交,则圆心 C 的横坐标的取值范围为 10.设 x, y 满足约束条件 ? 值为 3,则 a 的值为__▲



.

?1 ? x ? 3, ,且目标函数 z ? ax ? y(a ? 0) 的最大 ??1 ? x ? y ? 0
.

11.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 9 x ? 对一切 x ? 0 都成立,则 a 的取值范围为 ▲
第 1 页 共 3 页


a2 ? 7 ,若 f (x) ?a ?1 x



12.圆 O 的半径为 1, P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1的正方形(实线所示 ,正方形的顶点 A 和点 P 重合)沿着圆周顺时针滚动,经过若干次滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过的 路径的长度为 ▲ .
D A A(P) B D C C

三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 13.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? . 2 2

(1)求 f ( x) 的单调递增区间;

n B? 2sin (2)设 ?ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若 si
求 a , b 的值. 14.(本小题满分 12 分) 设向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? 3 cos 2? ) , b = ( m, (1)若 ? ?

A,

?

?

?

12 ? ? ? (2)若 a ? 2b ,求 的取值范围. m
15. (本题满分 13 分)

时恒有 a ? b , 求 m 的取值范围;

?

?

m ? sin ? cos ? ) ,其中 ? , m , ? 为实数. 2

如图,在四棱锥 P — ABCD 中, AD ? CD ?

1 AB , AB ∥ DC , AD ? CD , PC ? 平面 ABCD . 2

(1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)若 M 为线段 PA 的中点,且过 C , D, M 三点的平面与 PB 交于点 N ,求 PN : PB 的值.
P

M

A D C (第 15 题图)

B

第 2 页 共 3 页

16. (本题满分 13 分) 若数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn ? 3an ?1 (n ? N* ) ,等差数列 {bn }满足 b1 ? 3a1,b3 ? S2 ? 3 . (1)求数列 {an } 、 {bn }的通项公式; (2)设 cn ?

1 n?2 ? ( n ? N ),且 {cn }的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 4 bn ? bn?1 ? a n

17. (本题满分 14 分) 如图(示意) ,公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 α 的角形耕地,其中 tan?=-2 .在该块土地中 P 处有一小型建筑,经测量,它到公路 AM,AN 的距离分别为 3km, 5km.现要过点 P 修建一条直线公路 BC(点 B, C 分别在射线 AM , AN 上) ,将三条公路围成的三角形区域 ABC 建成一个工业园.为尽量减少 耕地占用,问如何确定 B 点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.
N C
:学_科_网 Z_X

·
α
A

P

B (第 17 题图)

M

18. (本题满分 14 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? 5 x ? a ? 2a .
2

(1)若函数 f ( x) 在 [0,3] 上单调,求实数 a 的取值范围; (2)若存在实数 x1 , x2 ,满足 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) .求当 a 变化时, x1 ? x2 的取值范围.

第 3 页 共 3 页


相关文章:
东莞市高中数学竞赛决赛试题答案 (20151104)
东莞市高中数学竞赛决赛试题答案 (20151104)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年东莞市高中数学竞赛决赛试题 参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 6 小题,每...
东莞市高中数学竞赛决赛试题 (20151104)
东莞市高中数学竞赛决赛试题 (20151104)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年东莞市高中数学竞赛决赛试题满分:150 分,考试时间:2015 年 11 月 22 日上午 9:30...
广东省东莞市2015年11月高中数学竞赛决赛试题
广东省东莞市2015年11月高中数学竞赛决赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年东莞市高中数学竞赛决赛试题满分:150 分,考试时间:2015 年 11 月 22 日上午 ...
2015东莞市高中数学竞赛决赛试题答案
2015东莞市高中数学竞赛决赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年东莞市高中数学竞赛决赛试题 参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6...
广东省东莞市2015年11月高中数学竞赛决赛试题
广东省东莞市2015年11月高中数学竞赛决赛试题_数学_高中教育_教育专区。2015 年东莞市高中数学竞赛决赛试题满分:150 分,考试时间:2015 年 11 月 22 日上午 9:...
2015年高中数学竞赛决赛试题及答案
2015年高中数学竞赛决赛试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。111 2015 年高中数学竞赛 复赛试题及答案一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 ...
2009年东莞市高中数学竞赛决赛试题及答案
2009年东莞市高中数学竞赛决赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2009 年东莞市高中数学竞赛决赛试题一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 ...
2013年东莞市高中数学竞赛答案
2013 年东莞市高中数学竞赛决赛试题 注意事项:考试时间 120 分钟.不能使用计算器. 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.每小题各有四个选...
2014年深圳市高中数学竞赛决赛试题及答案
2014 年深圳市高中数学竞赛决赛试题及答案一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请 把正确选择...
更多相关标签:
33届物理竞赛决赛试题 | 32届物理竞赛决赛试题 | 高中化学竞赛决赛试题 | 31届物理竞赛决赛试题 | 高中物理竞赛决赛试题 | 物理竞赛决赛试题 | 化学竞赛决赛试题 | 30届化学竞赛决赛试题 |