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直线的倾斜角与斜率经典例题(学生版


直线的倾斜角与斜率 讲义
一引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角 .特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. ... 问: 倾斜角α 的取值范围是什么? 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度 , 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用 倾斜角α 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

Y a b c

O

X

如图, 直线 a∥b∥c, 那么它们 的倾斜角α 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α 不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 和一个倾斜角 α ...P . ...... .. (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, α =45°时, k = tan45°= 1; α =135°时, k = tan135°= tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略)

斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1) 当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α = 90°, 直线与 x 轴垂直;
1

(2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不 能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α =0°,直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. (四)例题: 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角 还是锐角.(用计算机作直线, 图略)

. 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l.

二、题型归纳:
【训练 1】已知直线的倾斜角,求直线的斜率: (1) ? ? 30? (2) ? ? 45 ? (3) ? ?

5? 6

(4) ? ?

2? 3

(5) ? ? 135 ?

【训练 2】根据斜率求倾斜角: (1)当 k ? 1,? ? ____,(2) k ? ? 3, ? ? _____ 【训练 3】已知直线 l 的倾斜角是直线 l 1 的 2 倍,且 tan? 1 ? 3 ,求直线 l 的斜率。

【训练 4】 (1)若直线 l 的倾斜角取值范围为 [

? 2?
3 , 3

], 则斜率的取值范围是______ ______;
___。

(2)若直线 l 的斜率的取值范围是 [?1, 3] ,则其倾斜角的取值范围是__ _ 【训练 5】已知直线 l 过 A(1,2), B( m,3) 两点,求直线 l 的斜率和倾斜角。

2

【训练 6】设点 P(? 3 ,1) ,点 Q 在 y 轴上,若直线 PQ 的倾斜角为 120 ,求点 Q 的坐标。
?

【训练 7】若三点 A(0,8)B(?4,0)C (m,?4) 共线,求实数 m 的值。

【训练 8】已知点A(-2,3) ,B(3,2) ,过 P(0,-2)的直线与线段AB总有公共点,求直线 l 的斜率的范围。

【变式】已知 A(-1,3) ,B(2,2) ,直线 l: (2m+1)x+(m-1)y-3m=0 与线段 AB 总有公共点,求 m 取值范 围 y

l3 l2

三、强化训练: 1、若图中的直线 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,则 k1 , k2 , k3 的大小关系是___________。
2、已知直线的斜率的绝对值为 3 ,则直线的倾斜角为 3、已知直线 l 的倾斜角为 ? ,且 cos ? ? 。

x

l1

4、若过点 P (1 ? a,1 ? a ), Q(3,2a ) 的直线的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是 5、已知直线 l 的倾斜角为 ? ,且 0? ? ? ? 135 ? ,则直线 l 斜率的取值范围是( ) A. [0,? ?) B. (? ?,? ?) C. [?1,??) D. (??,?1] ? [0,??) 6、若直线 AB 的斜率为 2,将直线绕点 A 按逆时针方向旋转 45? 后,所得直线的斜率是 (

12 ,则此直线的斜率为 13

。 。



1 1 C.3 D. 3 3 2 7、直线 l 的斜率为 k ? 1 ? m ( m ? R ) ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( ) ? ? 3? ? ? ,? ) A. [0, ] B. [0, ] ? [ C. [0, ] ? ( , ? ) D. [0, ? ) 4 4 4 4 2 8、已知两点 M ( ?1,2), N ( 3,2) ,若直线 PM和PN 的斜率分别为 2,?2 ,求 P 的坐标。
A. ? 3 B. ?

类型一:倾斜角与斜率的关系

3

1.已知直线 的倾斜角的变化范围为

,求该直线斜率的变化范围;

【变式】直线

的倾斜角的范围是(

)

A.

B.

C.

D.

类型二:斜率定义
2.已知△ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠BAC 的平分线在 x 轴上,求边 AB 与 AC 所在直线的斜率.

【变式 1】如图,直线 A. B. C. D.

的斜率分别为

,则(

)

类型三:斜率公式的应用
3.求经过点 , 直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角.
4

【变式 1】过两点



的直线 的倾斜角为

,求 的值.

【变式 2】

为何值时,经过两点

(-

,6),

(1,

)的直线的斜率是 12.

4.已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值.

【变式 1】已知





三点,这三点是否在同一条直线上,为什么?

【变式 2】已知直线的斜率 值.







是这条直线上的三个点,求 和



两条直线的位置关系
5

●考试目标 主词填空 1.两直线平行的充要条件. 已知两直线分别为:l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2,则 l1∥l2 ? k1=k2 且 b1≠b2. 2.两直线垂直的充要条件. 已知两直线分别为:l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2,则 l1⊥l2 ? k1·k2=-1. 3.两条直线的夹角. 设直线 l1 的斜率为 k1,l2 的斜率为 k2,l1 到 l2 的角为α ,l1 与 l2 的夹角为β ,则 tan ? ?
k 2 ?k 1 , 1 ? k 2 k1

tan ? ?

k 2 ? k1 . 1 ? k 2 k1

4.点到直线的距离. 点 P0(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= 5.两平行线间的距离. 两平行线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离 d= 6.对称问题. (1)P(x,y)关于 Q(a,b)的对称点为 (2a-x,2b-y). (2)P(x0,y0)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点是
? ( B 2 ? A 2 ) x 0 ? 2 ABy0 ? 2 AC ( A 2 ? B 2 ) y 0 ? 2 ABx0 ? 2 BC ? , ? A2 ? B 2 A2 ? B 2 ? ? ? . ? ?
C1 ? C 2 A2 ? B 2 Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

.

●题型示例 点津归纳 【例 1】 已知两直线 l1:x+m2y+6=0, l2:(m-2)x+3my+2m=0,当 m 为何值时,l1 与 l2:(1)相交;(2) 平行;(3)重合.

6

【例 2】

求经过点 P(2,3)且被两条平行线 3x+4y-7=0 及 3x+4y+3=0 截得的线段长为 5 的直线方程.

. 【例 3】 一条光线经过点 P(2,3),射在直线 l:x+y+1=0 上,反射后穿过点 Q(1,1). (1)求光线 (2)求这条光线从 P 到 Q 的长度.

【例 4】 已知三条直线 l1:2x-y+a=0(a>0),直线 l2:-4x+2y+1=0 和直线 l3:x+y-1=0,且 l1 与 l2 的距 离是
7 5. 10

(1)求 a (2)求 l3 到 l1 的角θ (3)能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列三个条件:①P 是第一象限的点;②P 点到 l1 的距离是 P 点 l2 的距离的 理由.
1 ;③P 点到 l1 的距离与 P 到 l3 的距离之比是 2 ∶ 5 ;若能,求 P 点坐标;若不能,说明 2

7

●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,那么系数 a= ( A.-3 B. –6 C.3 2

)

D. )

3 2

2.点(0,5)到直线 y=2x 的距离是 ( A.
5 2

B. 5

C.

3 2

D.

5 2

3.已知直线 2x+y-2=0 和 mx-y+1=0 的夹角为
1 A.- 或-3 3 2 ,+∞) 3 1 B. 或 3 3

? ,那么 m 值为( 4

)

1 C. 或 3 3 2 ,2) 3

1 D. 或-3 3

4.若直线 l1:y=kx+k+2 与 l2:y=-2x+4 交点在第一象限内,则实数 k 的取值范围是( A. (B.(-∞,2) C.(D.(-∞,)

)

2 )∪(2,+∞) 3

5.两条直线 A1x+B1y+C1=0,及 A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是( A. A1A2+B1B2=0 B.A1A2=B1B2 C.
A1 A2 =-1 B1 B 2

D.

A1 A2 =1 B1 B 2

6.如果直线 ax-y+2=0 与直线 3x-y-b=0 关于直线 x-y=0 对称,那么,a、b 值为(
1 A.a=, b=6 3 1 B. a= ,b=-6 3

)

C. a=3,b=-2

D. a=3,b=6 )

1 10 7.过两直线 y=- x+ 和 y=3x 的交点,并与原点相距为 1 的直线有( 3 3

A. 0 条 8.对 0<|θ |<

B. 2 条

C. 1 条

D. 3 条

? 的角θ ,两直线 l1:x-y·sinθ =cosθ 与 l2:x·cosθ +y=1 的交点为( ) 4 A.在单位圆上 B. C 在单位圆内,但不是圆心 D.是单位圆的圆心 9.已知 A(-3,8)和 B(2,2),在 x 轴上有一点 M,使得|AM|+|BM|最短,那么点 M 的坐标是(
A.(-1,0) B.(1,0) C.(
22 ,0) 5

)

D.(0,

22 ) 5
?3 ?2 ? ?

10.设直线 l1:x·sinα +y· 1 ? cos? +6=0, l2:x+y· 1 ? cos? =0,α ∈ ? ? ,2? ? ,则直线 l1 与 l2 的位置 关系是( ) A.平行 B.垂直 C.平行或重合 D. 二、思维激活 11.直线 l1: 2x-5y+20=0, l2: mx-2y-10=0 与两坐标轴围成的四边形有外接圆, 则实数 m 的值等于

.

12.直线 ax+4y-2=0 与直线 2x-5y+c=0 垂直相交于点(1,m),则 a= c= m= . 13.两条平行直线分别过点 A(6,2)和 B(-3,-1), ,各自绕 A,B 旋转,若这两条平行线距离最大时,两直线 方程分别是 . 14.p,q 满足 2p-q+1=0,则直线 px+2y+q=0 必过定点 . 三、能力提高 15.已知直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等,且过两直线 l1:3x-y-1=0 和 l2:x+y-3=0 的交点,求直线 l 的方程.
8

16.直线 l 过点(1,0),且被两平行线 3x+y-6=0 和 3x+y+3=0 所截得的线段长为 9,求直线 l 的方程.

17.求函数 y= x 2 ? 1 ? x 2 ? 4x ? 8 的最小值.

18.已知点 A(4,1),B(0,4),试在直线 l:3x-y-1=0 上找一点 P,使|PA|-|PB|的绝对值最大,并求出这个最 大值.

例1

已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证明你的结论.

例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形 ABCD 的形 状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形 ABCD 是平行四边形,再通过计算加以验证) 解同上.

9

例3

已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系.

例 4 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形 ABC 是直角三角形, 其中 AB⊥BC, 再通过计算加以 验证.

二、典例剖析
题型一 直线平行问题 ) 例 1:下列说法中正确的有(

①若两条直线斜率相等,则两直线平行. ②若 l1∥l2,则 k1=k2. ③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交. ④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行. 规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等. 一般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题. 变式训练 1:已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与斜率为-2 的直线平行,则 m 的值为( A.-8 题型二 B.0 直线垂直问题 C.2 D.10 )

2 例 2:已知直线 l1 的斜率 k1= 3 ,直线 l2 经过点 A(3a,-2),B(0,a +1),且 l1⊥l2,求实数 a 的值. 4

变式训练 2:已知四点 A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求证:AB⊥CD. 题型三 平行与垂直的综合应用

例 3:已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点 D 的坐 标. .
10

易错探究
例 4:已知直线 l1 经过点 A(3,a),B(a-2,3),直线 l2 经过点 C(2,3),D(-1,a-2),若 l1⊥l2,求 a 的值.

类型四:两直线平行与垂直
5. 四边形 的形状. 的顶点为 , , , , 试判断四边形

【变式 1】 已知四边形 为矩形.

的顶点为







, 求证: 四边形

【变式 2】已知





三点,求点

,使直线

,且



【变式 3】若直线

与直线

互相垂直,则实数

=__________.

11

1.已知直线 l 过点(m,1),(m+1,tanα+1),则 A.α 一定是直线 l 的倾斜角 C.α 不一定是直线 l 的倾斜角

(

)

B.α 一定不是直线 l 的倾斜角 D.180° -α 一定是直线 l 的倾斜角

2.如图,直线 l 经过二、三、四象限,l 的倾斜角为 α,斜率为 k,则 ( A.ksinα>0 B.kcosα>0 C.ksinα≤0 D.kcosα≤0

)

题组二

直线的斜率及应用

3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为 k1,k2,k3,且 k1<k2<k3,则下列说法中一定正确 的是( ) B.k2k3=-1 C.k1<0 D.k2≥0

A.k1k2=-1

4.已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则 a=________.

5. 已知两点 A(-1, -5), B(3, -2), 若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半, 则 l 的斜率是________.

题组三

两条直线的平行与垂直 )

6 已知两条直线 l1:ax+by+c=0,直线 l2:mx+ny+p=0,则 an=bm 是直线 l1∥l2 的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知直线 a2x+y+2=0 与直线 bx-(a2+1)y-1=0 互相垂直,则|ab|的最小值为 ( A.5 B.4 C.2 D.1

)

a 8.已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 为 ( b 2 A. 3 B.- 2 3 1 C. 3 1 D.- 3

)

12

9.设直线 l1 的方程为 x+2y-2=0,将直线 l1 绕原点按逆时针方向旋转 90° 得到直线 l2,则 l2 的方程 是________________.

题组四

直线的倾斜角和斜率的综合问题

10.若关于 x 的方程|x-1|-kx=0 有且只有一个正实数根,则实数 k 的取值范围是________.

11.已知点 A(2,3),B(-5,2),若直线 l 过点 P(-1,6),且与线段 AB 相交,则该直线倾斜角的取值范 围是________.

12.已知点 M(2,2),N(5,-2),点 P 在 x 轴上,分别求满足下列条件的 P 点坐标. (1)∠MOP=∠OPN(O 是坐标原点).(2)∠MPN 是直角.

13


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