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湖南省郴州市湘南中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年湖南省郴州市湘南中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分, 1. (5 分)以下元素的全体不能够构成集合的是() A.中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程 x ﹣1=0 的实数解
2

D.周长为 10cm 的三角形

2. (5 分)设集合 A={1,2,3},集合 B={﹣2,2},则 A∩B=() A.? B.{2} C.{﹣2,2} D.{﹣2,1,2,3} 3. (5 分)下列各个对应中,构成映射的是()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)下列四个图象中,不是函数图象的是()

A.

B.

C.

D.

5. (5 分)下列表述正确的是() A.?={0} B.??{0} 6. (5 分)已知函数 f(x)=﹣x ,则() A.f(x)在(﹣∞,0)上是减函数 C. f(x)是增函数 7. (5 分)下列函数中,是偶函数的是() A.y=2x B.y=(x﹣1)
0 2

C.??{0}

D.?∈{0}

B. f(x)是减函数 D.f(x)在(﹣∞,0)上是增函数

C.y=

D.y=

8. (5 分)下列四组函数中 f(x)与 g(x)是同一函数的是() A.f(x)=x,g(x)= B. f(x)= ,g(x)=

C. f(x)=2lgx,g(x)=lgx

2

D.f(x)=|x|,g(x)=

9. (5 分)幂函数 y=x 必过定点() A.(0,0) B.(1,1)

?

C.(0,1)

D.(1,0)

10. (5 分)f(x)=lnx+2﹣x 的零点所在区间() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

D.(3,4)

二、填空题(本题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)若集合 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则 A∪B=. 12. (5 分)函数 f(x)=
2

的定义域是.

13. (5 分)当 x=

时,x ﹣3x+3

的值是.

14. (5 分)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且 f(﹣1)+g(1)=4,f(1)+g(﹣1)=2, 则 g(1)=. 15. (5 分)函数 y=x +2x+3(x≥0)的值域为.
2

三、解答题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知集合 A={x|﹣1<x≤3}, B={x|1≤x<6},求?R(A∪B) 、?R(A∩B) 、 (?RA) ∩B、A∪(?RB) .

17. (12 分) (1)计算: (2 ) (2)解方程:log3(6 ﹣9)=3.
x

+(lg5) +(

0





18. (12 分)集合 A={x|﹣2<x<6},B={x|1﹣2m≤x≤m+7},若 A∪B=A,求实数 m 的取值范 围. 19. (13 分)若对于一切实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y) : (1)求 f(0) ,并证明 f(x)为奇函数; (2)若 f(1)=3,求 f(﹣5) . 20. (13 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时, (1)画出函数 f(x)的图象; (2)根据图象写出 f(x)的单调区间,并写出函数的值域.

21. (13 分)已知函数 f(x)=

(a,b 为常数,且 a≠0) ,满足 f(2)=1,方程 f(x)=x

有唯一实数解, (1)求函数 f(x)的解析式 (2)判断 f(x)在(1,3)上的单调性,并证明. (3)若 f(x)﹣3a+1>0 在(1,3)上恒成立,求 a 的取值范围.

2014-2015 学年湖南省郴州市湘南中学高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分, 1. (5 分)以下元素的全体不能够构成集合的是() A.中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 2 C. 方程 x ﹣1=0 的实数解 D.周长为 10cm 的三角形 考点: 集合的含义. 专题: 阅读型. 分析: 本题考查的是集合的含义问题.在解答过程中,要充分考虑几何元素的特性:互异 性、确定性、无序性、丰富性.在分析师根据选项逐一排查即可. 解答: 解:由题意可知: 对 A:中国古代四大发明,满足构成集合的元素的特征; 2 对 C:方程 x ﹣1=0 的实数解,即﹣1、1 满足结合元素的特征; 对 D:周长为 10cm 的三角形所对应的元素,满足几何元素的特性. 而对 B:地球上的小河流,则不具备确定性的特点,因为小到什么时候才算小是不确定的. 故选 B. 点评: 本题考查的是集合的含义问题.在解答的过程当中充分体现了对集合种元素特征的 考查.尤其是集合种元素的确定性和互异性值得同学们在分析问题时体会反思. 2. (5 分)设集合 A={1,2,3},集合 B={﹣2,2},则 A∩B=() A.? B.{2} C.{﹣2,2} D.{﹣2,1,2,3} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 找出 A 与 B 的公共元素即可求出交集. 解答: 解:∵集合 A={1,2,3},集合 B={﹣2,2}, ∴A∩B={2}. 故选 B 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

3. (5 分)下列各个对应中,构成映射的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 映射. 专题: 探究型. 分析: 利用映射概念,逐一核对四个选项中的对应即可得到答案. 解答: 解:映射概念是:给出 A、B 两个非空集合,给出一个对应关系 f,在对应关系 f 的 对应下, 集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有唯一确定的元素与之相对应, 把对应 f: A→B 叫做从集合 A 到集合 B 的映射. 选项 A 中,集合 M 中的元素 2 在集合 N 中没有对应元素,由映射概念可知,该对应不构成映 射; 选项 C 中,集合 M 中的元素 1 在集合 N 中对应元素不唯一,由映射概念可知,该对应不构成 映射; 选项 D 中,集合 M 中的元素 2 在集合 N 中对应元素不唯一,由映射概念可知,该对应不构成 映射; 选项 B 符合映射概念,该对应构成映射. 故选:B. 点评: 本题考查了映射的概念,解答的关键是对映射概念的理解与记忆,是基础题. 4. (5 分)下列四个图象中,不是函数图象的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 规律型;函数的性质及应用. 分析: 根据函数的定义,在 y 是 x 的函数中,x 确定一个值,y 就随之确定唯一一个值,体 现在函数的图象上的特征是, 图象与平行于 y 轴的直线最多只能有一个交点, 从而对照选项即 可得出答案. 解答: 解:根据函数的定义知:y 是 x 的函数中,x 确定一个值,y 就随之确定一个值, 体现在图象上,图象与平行于 y 轴的直线最多只能有一个交点, 对照选项,可知只有 B 不符合此条件. 故选 B. 点评: 本题考查函数的图象,正确理解函数的定义是关键. 5. (5 分)下列表述正确的是() A.?={0} B.??{0}

C.??{0}

D.?∈{0}

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 直接利用空集与非空集合的关系判断选项即可. 解答: 解:因为空集是非空集合的子集,所以 B 正确. 故选 B. 点评: 本题考查集合之间的关系,空集的定义,是基本知识题目. 6. (5 分)已知函数 f(x)=﹣x ,则() A.f(x)在(﹣∞,0)上是减函数 C. f(x)是增函数
2

B. f(x)是减函数 D.f(x)在(﹣∞,0)上是增函数

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过函数的解析式读出函数的开口方向,和对称轴,从而得出答案. 2 解答: 解:∵f(x)=﹣x , 开口向下,对称轴 x=0, ∴f(x)在(﹣∞,0)递增,在(0,+∞)递减, 故选:D. 点评: 本题考查了二次函数的性质问题,是一道基础题. 7. (5 分)下列函数中,是偶函数的是() A.y=2x B.y=(x﹣1)
0

C.y=

D.y=

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 解答: 解:A.函数 y=2x 为奇函数. B.函数的定义域为{x|x≠1},定义域关于原点不对称,则函数为非奇非偶函数. C.函数的定义域为 R,则 f(﹣x)= D.函数 y= =x,则函数为奇函数. =f(x) ,则函数 f(x)为偶函数,满足条件.

故选:C 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义以及常见函数的奇偶性是 解决本题的关键. 8. (5 分)下列四组函数中 f(x)与 g(x)是同一函数的是() A.f(x)=x,g(x)= B. f(x)= ,g(x)=

C. f(x)=2lgx,g(x)=lgx

2

D.f(x)=|x|,g(x)=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 若两函数是同一函数,则它们的对应法则及定义域都相同,所以通过观察函数解析 式或对解析式变形以及求 f(x) ,g(x)的定义域找出 f(x) ,g(x)对应法则及定义域都相 同的选项即可. 解答: 解:A.不是同一函数,定义域不同,f(x)定义域是 R,g(x)定义域是{x|x≠0}; B.不是同一函数,对应法则不同,f(x)是指数函数,g(x)是幂函数; C.不是同一函数,对应法则不同,f(x)=2lgx,g(x)=2lg|x|; D.是同一函数,f(x)=|x|,g(x)=|x|. 故选 D. 点评: 考查由函数的对应法则,和定义域即可确定一个函数,以及函数的对应法则及定义 域的概念. 9. (5 分)幂函数 y=x 必过定点() A.(0,0) B.(1,1) 考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用幂函数的性质即可得出. 解答: 解:∵1 =1, ? ∴幂函数 y=x 必过定点(1,1) , 故选:B. 点评: 本题考查了幂函数的性质,属于基础题. 10. (5 分)f(x)=lnx+2﹣x 的零点所在区间() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)
α ?

C.(0,1)

D.(1,0)

D.(3,4)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 代入 1,2,3,4;判断函数值的正负,利用函数零点的判定定理即可. 解答: 解:f(1)=ln1+2﹣1>0, f(2)=ln2+2﹣2=ln2>0, f(3)=ln3+2﹣3=ln3﹣1>0, f(4)=ln4+2﹣4=ln4﹣2<0, 故选 D. 点评: 本题考查了函数零点的判定定理,属于基础题. 二、填空题(本题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)若集合 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则 A∪B={3,4,5,6,7,8}. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用并集的性质求解.

解答: 解:∵集合 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}, ∴A∪B={3,4,5,6,7,8}. 故答案为:{3,4,5,6,7,8}. 点评: 本题考查并集的求法,解题时要认真审题,是基础题.

12. (5 分)函数 f(x)=

的定义域是[﹣1,1)∪(1,+∞) .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 根据二次根式的性质以及分母不为 0,从而求出答案. 解:由题意得: ,解得:x≥﹣1 且 x≠1,

故答案为:[﹣1,1)∪(1,+∞) . 点评: 本题考查了二次根式的性质,考查了函数的定义域问题,是一道基础题. 13. (5 分)当 x= 时,x ﹣3x+3
2

的值是 2.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知条件直接代入求解即可. 解答: 解:当 x= 时, 2 x ﹣3x+3 =2﹣3 =2. 故答案为:2. 点评: 本题考查代数式的值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意代入法的合理运 用. 14. (5 分)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且 f(﹣1)+g(1)=4,f(1)+g(﹣1)=2, 则 g(1)=3. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的奇偶性即可得出. 解答: 解:∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1) ,g(﹣1)=g(1) . 又 f(﹣1)+g(1)=4,f(1)+g(﹣1)=2, ∴﹣f(1)+g(1)=4,f(1)+g(1)=2, ∴2g(1)=6,∴g(1)=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了函数奇偶性,属于基础题. 15. (5 分)函数 y=x +2x+3(x≥0)的值域为[3,+∞) .
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过求该函数的对称轴即可判断出,x≥0 时,该函数的单调性,根据单调性即可求出 该函数的值域. 2 解答: 解:y=x +2x+3 的对称轴为 x=﹣1; ∴该函数在[0,+∞)上为增函数; 若设 y=f(x) ,则 f(x)≥f(0)=3; ∴该函数的值域为[3,+∞) . 点评: 考查二次函数在某区间上的单调性的判断,以及根据函数单调性求函数的值域. 三、解答题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知集合 A={x|﹣1<x≤3},B={x|1≤x<6},求?R(A∪B) 、?R(A∩B) 、 (?RA) ∩B、A∪(?RB) . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由已知中集合 A={x|﹣1<x≤3},B={x|1≤x<6},进而结合集合交集,并集,补集的 定义,可得答案. 解答: 解:∵集合 A={x|﹣1<x≤3},B={x|1≤x<6}, ∴A∪B={x|﹣1<x<6},?R(A∪B)={x|x≤﹣1,或 x≥6}, A∩B={x|1≤x≤3},?R(A∩B)={x|x<1,或 x>3}, ?RA={x|x≤﹣1,或 x>3}, (?RA)∩B={x|3<x<6}, ?RB={x|x<1,或 x≥6},A∪(?RB)={x|x≤3,或 x≥6}. 点评: 本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题.

17. (12 分) (1)计算: (2 ) (2)解方程:log3(6 ﹣9)=3.
x

+(lg5) +(

0





考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)化带分数为假分数后直接进行有理指数幂的化简运算; (2)化对数式为指数式,然后求解指数方程,得到 x 的值后进行验根. 解答: 解: (1)

=(



+(lg5) +[( ) ]

0

3

= +1+ =4. (2)由方程 log3(6 ﹣9)=3 得 x 3 6 ﹣9=3 =27,
x

∴6 =36=6 ,∴x=2. 经检验,x=2 是原方程的解. ∴原方程的解为 x=2. 点评: 本题考查了有理指数幂的化简与求值,考查了对数方程的解法,解答对数方程时不 要忘记验根,此题是基础题. 18. (12 分)集合 A={x|﹣2<x<6},B={x|1﹣2m≤x≤m+7},若 A∪B=A,求实数 m 的取值范 围. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用并集的性质求解. 解答: 解:由 A∪B=A,得 B?A, 当 B=?时,1﹣2m>m+7,解得 m<﹣2,

x

2

当 B≠?时,有



解得﹣2≤m<﹣1, 综上,实数 m 的取值范围为 m<﹣1. 点评: 本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集性质的 合理运用. 19. (13 分)若对于一切实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y) : (1)求 f(0) ,并证明 f(x)为奇函数; (2)若 f(1)=3,求 f(﹣5) . 考点: 抽象函数及其应用;函数奇偶性的判断;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用已知条件直接反证法,求 f(0) ,然后通过反证法结合函数的奇偶性的定 义,证明 f(x)为奇函数; (2)通过已知条件化简 f(﹣5=5f(﹣1) ,利用 f(1)=3,即可求 f(﹣5) . 解答: 解: (1)由于对一切实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y) , 故在上式中可令 x=y=0,则有:f(0+0)=f(0)+f(0) ,所以 f(0)=0.…(2 分) 再令 y=﹣x,则有:f[x+(﹣x)]=f(x)+f(﹣x) , 所以:f(x)+f(﹣x)=f(0)=0,即 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x)为奇函数.…(5 分) (2)由于 f(x)为奇函数,且 f(x+y)=f(x)+f(y) , f(﹣5)=f[(﹣1)+(﹣1)+(﹣1)+(﹣1)+(﹣1)]=f(﹣1)+f(﹣1)+f(﹣1)+f(﹣ 1)+f(﹣1) =5f(﹣1)=﹣f(1)=﹣5×3=﹣15…(8 分) 点评: 本题考查抽象函数的应用,函数的奇偶性的证明,考查计算能力.

20. (13 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,

(1)画出函数 f(x)的图象; (2)根据图象写出 f(x)的单调区间,并写出函数的值域. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 数形结合. 分析: (1)由偶函数的图象关于 y 轴对称可知,要画出函数 f(x)的图象,只须作出 f(x) 当 x≥0 时的图象,然后关于 y 轴对称即可; (2)观察图象,结合函数单调性和值域的定义,写出 f(x)的单调区间及值域. 解答: 解: (1)函数 f(x)的图象如图所示

(2)由图象得,f(x)的单调区间为: (﹣∞,0)上是增函数, (0,+∞)上是减函数,值域 为(0,1]. 点评: 本题考查了偶函数的性质:图象关于 y 轴对称和数形结合思想,函数的图象可直观 反映其性质,利用函数的图象可以解答函数的值域(最值) ,单调性,奇偶性等问题,也可用 来解答不等式的有关题目.

21. (13 分)已知函数 f(x)=

(a,b 为常数,且 a≠0) ,满足 f(2)=1,方程 f(x)=x

有唯一实数解, (1)求函数 f(x)的解析式 (2)判断 f(x)在(1,3)上的单调性,并证明. (3)若 f(x)﹣3a+1>0 在(1,3)上恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据条件求出 a,b 的值即可求函数 f(x)的解析式 (2)根据函数单调性的定义即可证明 f(x)在(1,3)上的单调性. (3)根据 f(x)﹣3a+1>0 在(1,3)上恒成立,进行转化即可求 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵f(x)= 且 f(2)=1,

∴2=2a+b. 又∵方程 f(x)=x 有唯一实数解. 2 ∴ax +(b﹣1)x=0(a≠0)有唯一实数解. 故(b﹣1) ﹣4a×0=0,即 b=1,又上式 2a+b=2,可得:a= , 从而 f(x)= = ,
2

(2)f(x)在(1,3)上单调递增,下面进行证明: 设任意 1<x1<x2<3 则

, ∵1<x1<x2<3, ∴x1﹣x2<0, (x1+2)>0, (x2+2)>0 即 f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在(1,3)上单调递增. (3)由题(2)f(1)<f(x)<f(3) 又 f(x)﹣3a+1>0 在(1,3)上恒成立, ∴ 解得 .

点评: 本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的证明,综合考查函数的性质.


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