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4.利用向量解决平行与垂直问题


4.利用向量讨论垂直与平行

xxz

l

m

? a ? b
? ? ? ? l // m ? a // b ? a ? ?b

? a

? u

l

?
? ? ? ? l // ? ?

a ? u ? a ? u ? 0

? u
?
?

? v

? ? ? ? ? // ? ? u // v ? u ? ?v

一、平行与垂直关系的向量表示

? ? 设直线l,m的方向向量分别为 ,b , ?a ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v
? ? ? ? 线线平行 l // m ? a // b ? a ? ?b ? ? ? ? 线面平行 l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ? ? ? ? 面面平行 ? // ? ? u // v ? u ? ?v
(1)平行关系

l

? a ? b

m

? ? ? ? l ? m ? a ? b ? a?b ? 0

l

? a
?

? u

? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ?u

? u
?

? v
?

? ? ? ? ? ? ? ? u ? v ? u? v ? 0

? ? 设直线l,m的方向向量分别为 , , a b ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v
? ? ? ? 线线垂直 l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ? ? 线面垂直 l ? ? ? a // u ? a ? ?u ? ? ? ? 面面垂直 ? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0
(2)垂直关系

总结
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (化为 向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (回到图形 (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 问题)

二、新课
(一)用向量处理平行问题

(二)用向量处理垂直问题

例1 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方 形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的

中点,DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE//FG. 证 :如图所示, 建立 Z E(3,3,3), 空间直角坐标系. A(6,0,0), P

F(2,2,0), G(0,4,2), ?? ? ?? ? AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2) ?? ? 3 ?? ? ?? ? ?? ? AE = FG AE // FG 2 AE与FG不共线
AE//FG
A X

几何法呢?

E
D

G
C Y

F

B

例2 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正 方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点, (1)求证:PA//平面EDB.
Z

解1 立体几何法

P E

D A X
G

C B

Y

解2:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1

1 1 1,0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明: 2 2 ??? ? ???? ?? ? 1 1 PA ? (1, 0, ?1), DE ? (0, , ) Z DB =(1, 1, 0) 2 2
设平面EDB的法向量为 n ? ( x, y, z )

? ???? ? ??? ? 则n ? DE , n ? DB

P E

1 ?1 y ? ?0 ? ? 于是 ? 2 ? n ? ?1, ? 1, 1? 2 ? ?x ? y ? 0

??? ?? ??? ? ? ? PA?n ? 0 ? PA ? n

而PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB

D A X B

C

Y

总结:如何求平面的法向量 ?

⑴设平面的法向量为 n ? ( x , y , z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程 ? ? ? ?n ? a ? 0 组 ?? ? ? ?n ? b ? 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

(二)用向量处理垂直问题 例3 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证:A ' F ? 平面BDE.
证明:如图 ??? ? ???? ????? 取 DA, DC , DD '分别为x轴,y轴,z轴 X 建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2.

Z

E

F

Y

A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)

例3 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点.

Z

求证:A ' F ? 平面BDE. ????? A ' F ? (?1,1, ?2), ???? ???? F DB ? (2, 2,0), DE ? (0, 2,1) ????? ???? ? A ' F ? DB ? (?1,1, ?2) ? (2, 2,0) ? 0,X ????? ???? A ' F ? DE ? (?1,1, ?2) ? (0, 2,1) ? 0 ????? ???? ????? ???? ? A ' F ? DB, A ' F ? DE , 又DB ? DE ? D.? A ' F ? 平面BDE

E

Y

例3 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证:A ' F ? 平面BDE.
评注: 本题若用一般法证明, 容易证A’F垂直于BD, 而证A’F垂直于DE, 或证A’F垂直于EF则较难, X 用建立空间坐标系的方法 能使问题化难为易。
E
Z

Y

F

练习: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中, A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB '
C' A'

B'

底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC,

证明:设底面边长为1, 设a ? AA', b ? AB, c ? AC a ? b ? 0, a ? c ? 0, b ? c ? 1 / 2. A' C ? A' A ? AC ? c ? a
C

B A

向量法

AB' ? AB ? BB ' ? b ? a BC ' ? BA ? AC ? CC ' ? c ? a ? b

练习: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中,

C' A'

B'

底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC, A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB ' ???? ? ???? ? ? ? ? ? 0 ? A ' C ? AB ' ? (c ? a) ? (b ? a) ? ? ? ? ? ? ?2 ? c ?b ? c ?a ? a ?b ? a ?2 ? ? 1 a ? c ?b ? 2

C

B A

BC ' ? AB' ? (c ? a) ? ? ?? a ?? b) ? ? (b ? ? ? ? ? ? (c ? a ? 2a ? b) ? (b ? a) ? (2a ? b) ? (b ? a) ?2 ? ? ?2 ?2 ?2 ? 2 a ? a ? b ? b ? 2a ? b ? 1 ? 1 ? 0

练习: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中, 底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC, A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB '
设底面边长为2, 高为h, 如图建立空间直角坐标系. A( 3 ,0,0), B(0,1,0), C (0,?1,0).
坐标法
C

C' A'

B'

B A

A' ( 3 ,0, h), B' (0,1, h), C ' (0,?1, h). ???? ? ???? ? ???? ? AB ' ? (? 3,1, h), A ' C ? (? 3, ?1, ?h), BC ' ? (0, ?2, h) ???? ? ???? ? 0 ? AB ' ? A ' C ? 3 ? 1 ? h 2 , h 2 ? 2. ???? ? ???? ? 2 AB ' ? BC ' ? 0 ? 2 ? h ? 0.? BC ' ? AB '

三、小结
利用向量解决平行与垂直问题 ? 向量法:利用向量的概念技巧运算解决问 题。 ? 坐标法:利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。

四 、 作 业
解:

1.

如图, 直三棱柱ABC ? A1 B1C1中, ?ACB ? 900 , AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1 B1 B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为 M. Z 求证CD ? 平面BDM
A

A1
D
C

如图,以C为原点建立空间直角坐标系.

B( 2 ,0,0), B1 ( 2,1,0), A1 (0,1,1),

C1
M Y

B1

2 1 1 2 B D( , , ), M ( ,1,0), 2 2 2 2 X ???? ????? 2 1 1 ???? 1 1 CD ? ( , , ), A1B ? ( 2, ?1, ?1), DM ? (0, , ? ), 2 2 2 2 2

作业:1. 如图, 直三棱柱ABC ? A1 B1C1中, ?ACB ? 90 ,
0

AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1 B1 B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD ? 平面BDM
A Z

A1
D

???? ???? 则CD ? A1 B ? 0, ???? ???? ? CD ? DM ? 0. ? CD ? A1 B, CD ? DM . ? CD ? 平面BDM .
B X

C

C1
M Y

? A1 B, DM 为平面BDM内的两条相交直线,

B1


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