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计量一元线性回归模型课件


第二章

一元线性回归模型

1. 问题的提出 问题的提出——必要性: 必要性: 必要性
通过协方差或相关系数证实变量之间存在关系,仅仅只是知道变量之间线性相关的 性质——正(负)相关和相关程度的大小。 既然它们之间存在线性关系,接下来必须探求它们之间关系的表现形式是什么? 最好用数学表达式将这种关系尽可能准确、严谨的表示出来 y=a+bx+u 把它们之间的内在联系挖掘出来。也就是直线中的截距 a=?;直线的斜率 b=?

2. 解决问题的思路 解决问题的思路——可能性 可能性: 可能性
寻找变量之间直线关系的方法很多。于是,再接下来则是从众多方法中,寻找一种 优良的方法,运用方法去求出线性模型——y=a+bx+u 中的截距 a=?;直线的斜率 b=?估计方法有多种,其种最广泛使用的正是下面将要介绍的回归分析法(或普通 回归分析法( 回归分析法 最小二乘法( 最小二乘法(ordinary least squares, OLS)。 ) ) 根据该方法所得,即表现变量之间线性关系的直线有些什么特性? 所得直线可靠吗?怎样衡量所得直线的可靠性? 最后是如何运用所得规律——变量的线性关系?

一、 回归分析的含义
“回归”一词的历史渊源 回归”
回归一词最先由著名的英国生物学家、统计学家道尔顿(F. Galton)——达尔文的表弟 所创。早年,道尔顿致力于化学和遗传学领域的研究。道尔顿研究英国男子中父亲们的身高 与儿子们的身高之间的关系时,创立了回归分析法。

通过这个图形可以发现: 对于一个父亲高的群体, 儿辈的平均身高低于他们父辈的身高, 而对于一个父亲矮的群体,儿辈的平均身高高于他们父辈的身高,这是“回归到中等” 。 回归分析:是关于研究一个叫做被解释变量(因变量)的变量对另一个或多个叫做解释 变量(自变量)的变量的依赖关系,其用意在于通过解释变量(在重复抽样中)的已知或设 定值,去估计和预测被解释变量的总体均值。 例子:下图是不同的固定年龄处测度的一个男孩身高的总体分布。

回归分析的主要目的:是要通过样本回归函数(模型)尽可能准确地估计总体回归函数 (模型) 。 根据回归模型包含解释变量的个数分为:一元回归模型与多元回归模型

二、一元线性回归模型
一元线性回归模型(统计模型)形式为: Yi = β0 + β1 Xi+ ui (i=1, 2, …, n)

上式表示变量 Y 和 X 之间的真实关系,一般称作 Y 对 X 的总体(真实的)线性回归模型 总体( 总体 真实的)线性回归模型。 其中 n 为样本个数;Y 称被解释变量(因变量) 称解释变量(自变量) 称随机误差项 被解释变量(因变量) ,X 解释变量 自变量) 解释变量( ;u 随机误差项 被解释变量 ,体现了 Y 的变化中没有被 X 所解释的部分,即除 X 以外 (随机扰动项或随机项、误差项) 随机扰动项或随机项、 差项) , 其它所有对 Y 产生影响的因素的综合体现;β0 称常数项 β1 称回归系数(待定系数或待定 常数项, 回归系数( 常数项 回归系数 参数) 。以上模型可以分为两部分。 参数) (1)回归函数部分,E(Yi | Xi) = β0 + β1 Xi, ―总体回归直线

(2)随机部分 ui ,是样本值与回归直线的偏离。ui 表示对这种精确线性关系的随机扰 动。 一个例子:

回归模型的随机误差项中一般包括以下几个方面因素: 回归模型的随机误差项中一般包括以下几个方面因素: 以下几个方面因素 (1)非重要解释变量的省略, (2)人的随机行为, (3)数学模型形式欠妥, (4)经济变量之间的合并误差, (5)测量误差, (6)数据的欠缺等。

回归模型存在两个特点: 回归模型存在两个特点 (1)建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究 的经济过程; (2)也正是由于这些假定与抽象,才使我们能够透过复杂的经济现象,深刻认识到该 经济过程的本质。 为保证参数估计量具有良好的性质,通常对模型提出若干基本假设。 为保证参数估计量具有良好的性质,通常对模型提出若干基本假设。

线性回归模型的基本假设―― ――在对回归函数进行估计之前对随机误差项 ui 和解释变
量 Xi 做出如下假定: 假设 1:随机误差项 ui 具有零均值,即 E(ui) = 0; :

每个 Xi 对应的随机误差项 ui 具有相同的方差, Var (ui) = E[ui - E(ui) ]2 = E(ui)2 即 假设 2: = σ 2;

否则就是异方差问题。

假设 3:任意两个 Xi 和 Xj 所对应的随机误差项 ui, uj 是不相关的,称随机误差项 u 无序 列相关,性,即 Cov(ui, uj) = E[(ui - E(ui) ) ( uj - E(uj) )] = E(uiuj) = 0, (i ≠ j ); 含义是任意两个不同样本点上的随机干扰都是不相关的, 如果这个假定条件不成立, 称为自 自 相关。 相关

假设 4:随机误差项 ui 与解释变量 Xi 之间不相关(如果解释变量 X 是确定性变量,不 : ( 是随机变量,在假设 1 成立的前提下,假设 4 成立) ; Cov(ui, Xi) = E[(ui - E(ui) ) (Xi - E(Xi) )] = E[ui (Xi - E(Xi)) ] = E[ui Xi - ui E(Xi) ] = 0. 否则,分不清是谁对 Yi 的贡献。 假设 5:ui 服从正态分布,即 ui ? N (0, σ 2 ) : (为什么是正态假定?)。 为什么是正态假定? 。 为什么是正态假定

随机误差项代表在回归模型中没有列出来的所有其它影响因素之和。 (1) 如果这些因 素都是独立的随机变量,根据中心极限定理,随着随机变量个数的无限增加,它们之和 根据中心极限定理,随着随机变量个数的无限增加, 根据中心极限定理 近似服从正态分布, 正态性假定提供了理论基础; (2) 近似服从正态分布,正是这个中心极限定理为 ui 的正态性假定提供了理论基础; )中 ( 心极限定理的另一解说是,即使变量个数不是很大或这些变量不是严格独立的, 心极限定理的另一解说是,即使变量个数不是很大或这些变量不是严格独立的,它们的 和仍旧是正态分布的; (3)正态分布变量的任何线性函数都是正态分布的; (4) 和仍旧是正态分布的; )正态分布变量的任何线性函数都是正态分布的; )正态分 ( ( 布是一个比较简单,研究比较透彻,仅涉及两个参数的分布; (5) 布是一个比较简单,研究比较透彻,仅涉及两个参数的分布; )处理小样本或有限容 ( 量样本时,正态假定有助于我们推导出估计量精确的概率分布, 量样本时,正态假定有助于我们推导出估计量精确的概率分布,而且能使我们用 t、F 、 和卡方概率分布的统计性质。因此, 和卡方概率分布的统计性质。因此,对于任何实际模型假定随机误差项服从正态分布都 是合理的!

以上假设也称为线性回归模型的经典假设 高斯(Gauss)假设 经典假设或高斯 经典假设 高斯( )假设,满足该假设的线 经典线性回归模型( 性回归模型,也称为经典线性回归模型(Classical Linear Regression Model, CLRM) 经典线性回归模型 ) 。 在处理实际的问题时,就像物理中的匀速直线运动一样,这些理想的假定条件几 乎是很难都满足的,这些假定条件不满足的情况在后面的章节介绍。


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