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2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)(一试+二试,附详细解答)


2012 年全国高中数学联赛模拟卷(10)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
1、设 a, b 是两个正整数, 它们的最小公倍数是 24·3·2· 那么这样的有序正整数对(a, b)

有 3 7 11, 1 2、方程 16sinπxcosπx=16x+ 的解集合为 x 3、三棱锥 S ? ABC 是三条侧棱两两垂直的三棱锥, O 是底面 ? A B C 内的一点, 那么 W ? tan ? O SA ? tan ? O SB ? tan ? O SC 的最小值是______________ 4、对任意 x , y ? R ,代数式 M ? 5、计算: sin
?
2011 sin 2? 2011 sin
2x ? 6x ? 5 ?
2

_

组.

y ? 4y ?5 ?
2

2 x ? 2 xy ? y 的最小值为________
2 2

3? 2011

? sin

2 0 1 0? 2011

? _______________

6、篮球场上有 5 个人在练球,其战术是由甲开始发球(第一次传球) ,经过六次传球跑动后(中途每人 的传球机会均等)回到甲,由甲投 3 分球,其中不同的传球方式为___________种. 7、对 ? x , y ? R ,函数 f ( x , y ) 都满足:① f (0, y ) ? y ? 1 ;② f ( x ? 1, 0) ? f ( x ,1) ; ③ f ( x ? 1, y ? 1) ? f ( x , f ( x ? 1, y )) ;则 f (3, 2011) ? __________________ 8、设 2 n 个实数 a1 , a 2 , ? , a 2 n 满足条件 ? ( a i ? 1 ? a i ) ? 1
2 i ?1 2 n ?1

则 ? ? ( a n ? 1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 n ) ? ( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) 的最大值为________________

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 9.设由不超过 1000 的两个正整数组成的数对 ( m , n ) 满足条件:
试求所有这样的数对 ( m , n ) 的个数.
m n ?1 ? 2 ? m ?1 n



10. P 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任意一点,F1 , F2 是椭圆的焦点,P F1 , P F2 分别交椭圆与 A , B 两点,
求证:
| P F1 | | F1 A | ? | P F2 | | F2 B |

x2

y2

是定值.

11. 给定大于 2011 的正整数 n ,将 1, 2, 3, ? , n 2 分别填入 n ? n 的棋盘的方格中,使每个方格恰有一个
数,如果一个方格中填的数大于它所在行至少 2011 个方格内所填的数,且大于它所在列至少 2011 个方格内所填的数,则称这个方格为“优格” ,求棋盘中“优格”个数的最大值.

2012 模拟卷(10)

第 1 页 共 6页

2012 年全国高中数学联赛模拟卷(10)加试
(考试时间:150 分钟 满分:180 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、 (本题满分 40 分)设 D 为 ? ABC 内的一点,作 DP⊥BC 于 P,DQ⊥AC 于 Q,DR⊥AB 于 R
求证: PQ ? QR 是
BA BC ? DA DC

的充要条件。

A

R D

Q

B P

C

二、 (本题满分 40 分)已知数列 { a n } ,令 b k 为 a1 , a 2 , ? , a k 中的最大值( k ? 1, 2, ? , n ) ,则称数列
{b n } 为 { { “创新数列”数列 {b n } 中不同数的个数称为 , “创新数列” b n } 的 “阶数”例如: a n } 为 1, 3, 5, 4, 2 , ,

则“创新数列” {b n } 为 1, 3, 5, 5, 5 ,其“阶数”为 3.若数列 { a n } 由 1, 2, 3, ? , n ( n ≥3)构成,求能构 成“创新数列” {b n } 的“阶数”为 2 的所有数列 { a n } 的首项和.

三、 (本题满分 50 分)设 ? A B C 的三边长为 a , b , c , h a , m b , t c 分别为对应边上的高、中线和角平
分线,求证: h a ? m b ? t c ≤
3 2 ( a ? b ? c ) , 当且仅当 ? A B C 是正三角形时等号成立.

四、 (本题满分 50 分)求证:面积为 1 的凸 n ( n ≥6)边形可以被面积为 2 的三角形覆盖.

2012 模拟卷(10)

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2012 年全国高中数学联赛模拟卷(10)答案
1、设 a ? 2 ? 3
?1 ?2

?7

?3

? 11 4 , b ? 2

?

?1

?3

?2

?7

?3

? 11

?4

, 则有

{? 1 , ? 1 } m ax ? 4,{? 2 , ? 2 } m ax ? 3,{? 3 , ? 3 } m ax ? 2,{? 4 , ? 4 } m ax ? 1 .

故有序正整数对(a, b)有 (2 ? 4 ? 1)(2 ? 3 ? 1)(2 ? 2 ? 1)(2 ? 1 ? 1) =945 组. 1 1 1 2、当 x>0 时,16x+ ≥8,(x= 取到等号)而 ,(x= +k, k∈Z 取到 x 4 4 1 1 等号), 于是有当 x>0 时,方程只有一个解 x= 。由于奇函数的性质,可知 x= 是方程的另一解。 4 4 1 1 故方程的解集合为{ , - } 4 4 3、解:由 cos ? O SA ? cos ? O SB ? cos ? O SC ? 1 ,
2 2 2

得 sin ? O SC ? cos ? O SA ? cos ? O SB ≥ 2 cos ? O SA ? cos ? O SB ,
2 2 2

同理还有两个不等式,则 W≥ 2 2 . 4、 配方得 M ? 解:
( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ?
2 2

1 ? ( y ? 2) ?
2

x ? ( x ? y ) , A1 ( , ,B x0 ) C 2 ) ) (,x 设 ,(,
2 2

y



点 A 关于直线 y ? x 的对称点为 A1 ( 2,1) ,关于 y 轴的对称点为 A2 ( ? 1, 2 ) , 所以: M ? | A B | ? | A C | ? | B C |? | A1 B | ? | A2 C | ? | B C | ≥ | A1 A2 |? 5、解:设 z 1 ? co s 则1 ? z ? z ? z
2

10 .

2? n
n ?1

? i sin

2? n

, 则 z 1 是方程 z ? 1 的根,
n
2 n ?1

? ( z ? z1 )( z ? z1 ) ? ( z ? z1
n ?1

),
2? n
5

? n ? | (1 ? z 1 )(1 ? z 1 ) ? (1 ? z 1
2

) |? 2

n ?1

sin

?
n

sin

? sin

( n ? 1)? n

,令 n ? 2011 ,则原式=
n ?1

2011 2
2010

6、解:设经过 n 次传球跑动后回到甲的不同传球方式为 a n ( n ≥2) ,则 a n ? a n ? 1 ? 4 所以 a 6 ? ( a 6 ? a 5 ) ? ( a 5 ? a 4 ) ? ? ? ? ( a 2 ? a1 ) ? a1 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 820
4 3 2



7、解:由①②③可推出 f (1, n ) ? n ? 2
2 n ?1

f (2, n ) ? 2 n ? 3

f (3, n ) ? 2

n?3

? 3 . f (3, 2 0 1 1) ? 2

2014

?3

8、解: 当 n ≥2 时,令 x1 ? a1 , x i ? 1 ? a i ? 1 ? a i 则 ? x i ? 1 , a i ? x1 ? x 2 ? ? ? x i
2 i?2

i ? 1, 2, 3, ? , 2 n ? 1

所以: ? ? n ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) ? nx n ? 1 ? ( n ? 1) x n ? 2 ? ? ? x 2 n ? ( nx1 ? ( n ? 1) x 2 ? ? ? x n )
? x 2 ? 2 x 3 ? ? ? ( n ? 1) x n ? nx n ? 1 ? ( n ? 1) x n ? 2 ? ? ? x 2 n
2 n ?1

≤ (1 ? 2 ? ? ? n ? ? ? 1 ) ? x i ?
2 2 2 2 2 i?2

n ( 2 n ? 1)
2



3
2 ( n ? 1)

9、解:由

m n ?1

?

2 ?

m ?1 n

可得 2 n ? 1 ? m ?

对于每个 n ,在这个范围内的整数个数为 [ 2 ( n ? 1)] ? [ 2 n ? 1] ? [ 2 ( n ? 1)] ? [ 2 n ] ? 1 又 707 2 ? 1000 ? 708 2 , 则 n ≤707, 但当 n ? 7 0 7 时, m ? 9 9 9,1 0 0 0 所以:数对 ( m , n ) 的总数为 ? ([ 2 ( n ? 1)] ? [ 2 n ] ? 1) ? 2
n ?1 706

?

? ([
n ?1

706

2 ( n ? 1)] ? [ 2 n ]) ? 7 0 8

? 7 0 8 ? [7 0 7 2 ] ? [ 2 ] ? 7 0 8 ? 9 9 9 ? 1 ? 1 7 0 6

2012 模拟卷(10)

第 3 页 共 6页

10、证明:如图, 由椭圆的定义知: | P P1 |?
| A A1 |? | F A1 | e
| P F1 | ? e p? | A F1 | ?

| P F1 | e

, | F1 M |? p ,

P

P1
M

其中 e 为该椭圆的离心率,

F1 A1
A

F2
B

p 为该椭圆的焦准距.由相似形及和分比定理得:

| AP | | A F1 |

?

| A F1 | ? | F1 P | | A F1 |

?

e | A F1 | e

| P F1 | ? | A F1 | ep ? | A F1 |

?

2 | P F1 | ep

所以: 所以:

| P F1 | | A F1 |

?

2 | P F1 | ep

? 1 , 同理可得:

| P F2 | | B F2 |

?

2 | P F2 | ep

?1

| P F1 | | F1 A |

?

| P F2 | | F2 B |

?

2 ep

(| P F1 | ? | P F 2 |) ? 2 ?

4a ep

?2?

4a b
2

2

? 2 为定值.

11、解:定义一个方格中填的数大于它所在行至少 2011 个方格中所填的数,则称此格为行优的. 又每一行中填较小的 2011 个数的格子不是行优的,得到每行中有 n ? 2011 个格子为行优的. 另外,每一个“优格”一定是行优的,所以棋盘中“优格”个数≤ n ( n ? 2011) . 将棋盘的第 i ( i ? 1, 2, 3, ? , n ) 行第 i , i ? 1, ? , i ? 2010(大于 n 时, 取模 n 的余数) 列中的格子填入 “*” , 再将 1, 2, 3, ? , 2 0 1 1n 填入有“*”的格子,其余的数填入没有“*”的格子.没有“*”的格子中填的数 大于有“*”的格子中填的数,所以,棋盘中没有“*”的格子都是“优格” ,共有 n ( n ? 2011) 个. 容易验证这种填法满足条件,所以“优格”个数的最大值为 n ( n ? 2011) 个. A

二试题答案:
一、证明:证明:先证充分性。 如图,由于∠DPC=∠DQC=90° ,所以 D,Q,P,C 四点共圆。 进而∠BCA+∠PDQ=180° ,∠ACD=∠QPD 同理,由 D,R,A,Q 四点共圆, 得∠CAD=∠QRD,∠BAC+∠QDR=180° 在 ? ABC 和 ? ADC 中应用正弦定理,得
BA BC ? sin ? BCA sin ? BAC ? sin ? PDQ sin ? QDR ? DC DA BA BC ? ? DA DC sin ? ACD sin ? CAD ? sin ? QPD sin ? QRD ? PQ QD ? QD QR ? PQ QD ? ? PQ QR QD QR ? PQ QR ? 1 ,于是

R D

Q

B P
?

C



?

又 PQ=QR,所以

BA BC

sin ? PDQ sin ? QPD DC DA ?

sin ? QRD sin ? QDR ?

BA BC

?

DA DC

再证必要性。同上可得 又
BA BC ? DA DC

sin ? PDQ sin ? QPD PQ QR

sin ? QRD sin ? QDR

,所以

BA BC

?

DC DA

? 1 ,即

? 1 ,所以 PQ ? QR

2012 模拟卷(10)

第 4 页 共 6页

二、解:首项 a 1 ? k ,则 1, 2, ? , k ? 1 任意排列,第一个空的位置是 n , 则所有数列 { a n } 的首项和为 ?
?

?

n ?1

kPn ? 1 ( n ? 1 ? k ) ! ?
n ?1

k ?1

k ?1

? k ( n ? k ) !( n ? 1 ? k ) !
k ?1 n ?1

n ?1

( n ? 1) !

?

n ?1

k n?k
n ?1

k ?1

( n ? 1) ! ? ( n ? 1) ! ? ? 1 n ) ? n !(1 ?

n?k k
?? ?

k ?1

? ( n ? 1) ! ? (
k ?1

n k

? 1)
n ?1

? n !? (
k ?1

1 k

1 2

?

1 3

1 n ?1

?

n ?1 n

) ? n !?

1 k ?1

k ?1

方法二、设 a k ? 1 ? n ,首项 a 1 ? q ( q ≥ k ) , 则所有数列 { a n } 的首项和为 ?
?
?
n ?1 n ?1

q ? k k ?1

?

q Pq ? 1 Pn ? 1 ? k ?

k ?1

n ?1? k

? ? q ( q ? k ) !( n ? 1 ? k ) !
q ? k k ?1 k q

n ?1 n ?1

( q ? 1) !

??
?
n ?1 k ?1

n ?1 n ?1

q! ( q ? k ) !? k !

(n ? 1 ? k )!k ! ?

q ? k k ?1

??C
q ? k k ?1

n ?1 n ?1

(n ? 1 ? k )!k !
(n ? 1 ? k )!k ! ?

Cn

k ?1

(n ? 1 ? k )!k ! ?

?

n ?1

n! ( k ? 1) !? ( n ? k ? 1) !

k ?1

?

n ?1

n! k ?1

k ?1

? n !?

n ?1

1 k ?1

k ?1

三、证明:由角平分线公式知 t a ? 所以: t a ?
2

2bc b?c
2 2 2

co s

A 2


? 2b c
2 2 2

4b c

2

2 2

(b ? c )

co s

2

A 2

?
2

4b c

1 ? co s A 2

(b ? c )
2

(b ? c )
2

(1 ?

b ?c ?a
2 2

2

)

2bc

?

bc (b ? c )
2

(( b ? c ) ? a ) ≤

1 4

(( b ? c ) ? a ) ,
2

由柯栖不等式得: m b ? 2 t a ≤ 3( m b ? 2 t a ) ≤
2 2

3 4

( 2 ( a ? c ) ? b ? 2 (b ? c ) ? 2 a ) ?
2 2 2 2 2

3 2

(b ? 2 c ) ,

同理 m b ? 2 t c ≤

3 2

(b ? 2 a ) ,

所以: h a ? m b ? t c ≤ t a ? m b ? t c ?

1 2

( m b ? 2ta ? m b ? 2tc ) ≤

1

3

(b ? 2 c ? b ? 2 a ) ?

3 2

(a ? b ? c) ,

2 2

当且仅当 ? A B C 是正三角形时等号成立. 1 四、证明: (1)若凸 n 边形中顶点三角形面积都小于等于 ,则取其顶点三角形中面积最大的, 2 设为 ? A1 B1C 1 ,作 ? A 2 B 2 C 2 使得 A1 , B1 , C 1 为 ? A 2 B 2 C 2 各边的中点. C2 则凸 n 边形其它顶点都在 ? A 2 B 2 C 2 中(包括边界) , 否则与 ? A1 B1C 1 面积最大矛盾.所以 ? A 2 B 2 C 2 覆盖了凸 n 边形, 其面积小于等于 2.
C2 P1 A1 B1
O

C1

P2

B1

A1 A2

B2

C1

A2

B2

P3

2012 模拟卷(10)

第 5 页 共 6页

1 (2)若凸 n 边形中存在顶点三角形面积大于 ,设为 ? A1 B1C 1 ,如图设 P1 为直线 B1 C 1 与 A1 异侧的顶点 2 中到直线 B1 C 1 距离最大的点; P2 为直线 A1 C 1 与 B1 异侧的顶点中到直线 A1 C 1 距离最大的点; P3 为直线
A1 B1 与 C 1 异侧的顶点中到直线 A1 B1 距离最大的点;过 P1 , P2 , P3 分别作 B1 C 1 , A1 C 1 , A1 B1 的平行

线,得到 ? A 2 B 2 C 2 .设 ? A 2 B 2 C 2 与 ? A1 B1C 1 的位似中心为 O ,相似比为 t ( t ? 1) 则 O C 1 : C 1C 2 ? 1 : ( t ? 1) 所以:S ? P B C ? ( t ? 1) S ? O B C ,S ? P A C ? ( t ? 1) S ? O A C ,S ? P A B ? ( t ? 1) S ? O A B
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1

又 S 六 边 形 P B P A P C ≤1,得
1 1 3 1 2 1

t 2
1

? t ( S ? O B C ? S ? O A C ? S ? O A B ) ≤1,所以: t ? 2 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

所以: S ? A

2 B2 C 2

? t ( S ?OB C ? S ?OA C ? S ?OA B ) ? t ? t ( S ?OB C ? S ?OA C ? S ?OA B ) ? 2
2
1

即 ? A 2 B 2 C 2 覆盖了凸 n 边形.

2012 模拟卷(10)

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