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数列求和的常用方法


数列求和的常用方法
1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,
特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.; ③ 常 用 公 式 : 1? 2 ? 3 ? , n ? 1 ?n ( n ? 1 ) 12 ? 22 ? 2

13 ? 23 ? 33 ?

? n3 ? [

n(n ? 1) 2 ]. 2

? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 6

例 1 、已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

解:由 log3 x ?

?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

由等比数列求和公式得

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n
n

(利用常用公式)

1 1 (1 ? n ) x (1 ? x ) 2 2 =1- 1 = = 1 2n 1? x 1? 2 n 2 2 2 2 练一练:等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a1 =_____ ? a2 ? a3 ? ? ? an



2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一
起,再运用公式法求和.

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a

例 2、 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

将其每一项拆开再重新组合得

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a S n ? (1 ?

(分组) (分组求和)

1 1 1 1 1 练一练:求数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn. 2 4 8 16 2

3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关 联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推
导方法).

例 3、求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值 解:设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? …………. ①
将①式右边反序得

S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? …………..②
又因为 sin x ? cos(90? ? x), sin 2 x ? cos2 x ? 1 ①+②得

(反序)

(反序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89
∴ S=44.5

练 一 练 : 已 知 f ( x) ? ______;

1 1 1 x2 , 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) = 2 2 3 4 1? x

4.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构 成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 例 4、 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① 解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x n ?1 }的通项之
积 设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ② ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n

(设制错位) (错位相减)

再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

2 4 6 2n 例 5、求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ……………………………… ② (设制错 2 2 2 2 2
位)
①-②得 (1 ? ) S n ?

1 2

2 2 2 2 2 2n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2

(错位相

减)



2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 2

? 2?

1
n ?1

?

2n 2 n ?1

1 2 3 4 n 练一练: + 2+ 3+ 4+?+ n-2 等于________. 2 2 2 2 2

5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那
么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

1 1 ? 1 ? 1 ;② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ③ 2 ? 2 ? ? 2? ? ? ; k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ] ;⑤ ④ ; ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)!


⑥ 2( n ? 1 ? n ) ?

? 1 ? n ? n ?1 n

2

2 n ? n ?1

? 2( n ? n ? 1) .

例 6、 求数列

1 1? 2 1

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

解:设 a n ?
项)
则 Sn ?

n ? n ?1

? n ?1 ? n

(裂

1 1? 2

?

1 2? 3

? ??? ?

1 n ? n ?1

(裂项求

和)
= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1

例 7、 在数列{an}中, an ?
n 项的和.

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

解: ∵ a n ?

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ? 1 ? 2 2
数列{bn}的前 n 项和

(裂项)



1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 8n ) = = 8(1 ? n ?1 n ?1
1 1 ? ? 练一练: (1) 求和: 1? 4 4 ? 7
(2)在数列 {an } 中, a n ?

(裂项求和)

?

1 ? (3n ? 2) ? (3n ? 1)
,且 Sn=9,则 n=_____

; ;

1 n ? n ?1

数列求和课后练习
一、选择题:(本大题共 6 小题,每 小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号 内.) 1.数列{an}的通项公式为 an=(-1)n 1· (4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于(


)

A.200

B.-200

C.400

D.-400 )

1 1 1 2.数列 1, , ,?, 的前 n 项和为( 1+2 1+2+3 1+2+?+n 2n A. 2n+1 2n B. n+1 n+2 C. n+1
+10

n D. 2n+1 (n∈N),则 f(n)等于( )

3.设 f(n)=2+2 4+27+210+?+23n 2 A. (8n-1) 7 2 + B. (8n 1-1) 7

2 + C. (8n 3-1) 7

2 + D. (8n 4-1) 7 )

3 4. 若数列{ an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 Sn= an-3, 则数列{an}的前 n 项和 Sn 等于( 2 A.3n 1-3


B.3n-3

C.3n 1+3


D.3n+3 )

1 1 1 1 1 5.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 1 A.n2+1- n 2 6.数列 an= 1 B.2n2-n+1- n 2 1 C.n2+1- n-1 2 1 D.n2-n+1- n 2

1 9 ,其前 n 项之和为 ,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n 10 n(n+1) ) C.10 D.9

=0 在 y 轴上的截距为( A.-10 B.-9

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7. 已知函数 f(x)对任意 x∈R, 都有 f(x)=1-f(1-x), 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =________. 1 2 3 4 n 8. + 2+ 3+ 4+?+ n-2 等于________. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 9.数列 2 , 2 , 2 , 2 ?的前 n 项和等于________. 1 +2 2 +4 3 +6 4 +8
2 ? ?n 10. 函数 f(n)=? 2 ?-n ?

(n为奇数) (n为偶数)

, 且 an=f(n)+f(n+1), 则 a1+a2+?+a1000=__________.

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 1? ? 11.已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2 n=an Sn-2 . ? ?

(1)求 Sn 的表达式;(2)设 bn=

Sn ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1

12.等差数列{an}是递增数列,前 n 项和为 Sn,且 a1,a3,a9 成等比数列,S5=a2 5. n2+n+1 (1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足 bn= ,求数列{bn}的前 99 项的和. an· an+1

1?2 13.(2011· 沈阳市模拟)在数列{an}中,a1=1,2an+1=? an(n∈N*). ?1+n? · an 1 (1)证明:数列{ 2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)令 bn=an+1- an,求数列{bn} n 2 的前 n 项和 Sn.


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