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2015届高考数学(人教通用,理科)必考题型过关练:函数与导数第19练


第 19 练
[内容精要]

定积分问题

定积分是导数及其应用内容的重要组成部分,高考试题对该部分的考查主要有

三个方面:一是考查微积分基本定理的直接应用,二是考查定积分的应用,三是考查定积分 与其他知识的综合.一般以选择题或填空题的形式出现.

题型一 微积分基本定理的直接应用 例1<

br />2 21 2 x (2013· 江西)若 S1=?2 1x dx,S2=?1 dx,S3=?1e dx,则 S1,S2,S3 的大小关系为( x

)

A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1

B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1

破题切入点 先利用微积分基本定理求出这三个定积分的值,然后比较它们的大小. 答案 B 1 32 1 1 7 2 3 解析 S1=?2 1x dx= x |1= ×2 - = , 3 3 3 3 1 2 S2=?2 1 dx=ln x|1=ln 2, x
x x2 2 S3=?2 1e dx=e |1=e -e=e(e-1),

7 ln 2<ln e=1,且 <2.5<e(e-1), 3 7 所以 ln 2< <e(e-1), 3 即 S2<S1<S3. 题型二 定积分的应用 例2 (2013· 北京)直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的 )

面积等于(

4 8 16 2 A. B.2 C. D. 3 3 3 破题切入点 求出抛物线的焦点坐标,确定直线 l 的方程,画出图形,确定被积函数及积分 的上、下限,用定积分表示所求图形的面积,然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可. 答案 C 解析 ∵抛物线方程为 x2=4y, ∴其焦点坐标为 F(0,1),故直线 l 的方程为 y=1. 如图所示,可知 l 与 C 围成的图形的面积等于矩形 OABF 的面积与函数

1 y= x2 的图象和 x 轴正半轴及直线 x=2 围成的图形的面积的差的 2 倍(图中阴影部分的 2 倍), 4 x3 ?2 x2 4 8 即 S=4-2?2 0 dx= 4-2· 12?0=4-3=3. 4 题型三 不规则积分区间的问题 π 例 3 由曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,x= 所围成的平面图形 2 (如图中的阴影部分所示)的面积是( A.1 2 2 C. 3 π B. 4 D.2 2-2 )

π π 破题切入点 先求出曲线 y=sin x 与 y=cos x 在(0, )内交点的横坐标为 ,然后利用定积分 2 4 的几何意义分两段表示阴影部分的面积,最后求和即可;也可根据图形的对称性用其中一部 分面积的 2 倍来表示. 答案 D π π 解析 方法一 由 sin x=cos x(x∈(0, )),得 x= . 2 4 故所求阴影部分的面积 S=
π

?

π 4 0

(cos x-sin x)dx+
π

?

π 2 π 4

(sin x-cos x)dx

4 +(-cos x-sin x) 2 =(sin x+cos x) |0 |π

4

π π π π π π =sin +cos -sin 0-cos 0+[(-cos -sin )-(-cos -sin )] 4 4 2 2 4 4 =2 2-2. 故选 D. π π 方法二 由 sin x=cos x(x∈(0, )),得 x= . 2 4 根据图象的对称性,可知所求阴影部分的面积 S=2
π 4 =2(sin x+cos x) |0

?

π 4 0

(cos x-sin x)dx

π π =2(sin +cos -sin 0-cos 0) 4 4 =2 2-2. 故选 D. 总结提高 (1)利用定积分求解曲边梯形的面积关键是把握住两点:一是准确确定被积函数,

一般是“上”减“下”;二是准确确定积分的上下限. (2)对于不规则图形的定积分求法,一般是将其分割后求解,注意区分定积分的几何意义与利 用定积分计算曲线与 x 轴所围成图形的面积的不同. (3)解决此部分问题注意把握一种方法即根据曲边梯形的结构特征,灵活利用定积分表示曲边 图形区域的面积.

1.已知自由落体运动的速率 v=gt,则落体运动从 t=0 到 t=t0 所走的路程为( A. gt2 0 3 B.gt2 C. 0 gt2 0 2 D.
2 gt0

)

6

答案 C 解析 由题意,可知所走路程为 1 t0 1 2 = gt2 |0 = gt0 . 2 2 2.(2014· 山东)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A.2 2 答案 D 解析 令 4x=x3,解得 x=0 或 x=± 2, x4 2 2x2- ??2 ∴S=?0 (4x-x3)= ? 4 ??0=8-4=4,故选 D. ? 3.(2014· 湖南)已知函数 f(x)=sin(x-φ),且 是( ) 7π B.x= 12 π D.x= 6 B.4 2 C.2 D.4 )

?

t0

0

vdt = ? gtdt
0

t0

?

2π 3 0

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的一条对称轴

5π A.x= 6 π C.x= 3 答案 A 解析 ∵

?

2π 3 0



sin(x-φ)dx=-cos(x-φ) |03 =0,

2π ∴-cos( -φ)+cos φ=0. 3 2π ∴cos( -φ)-cos φ=0. 3 ∴ 3 3 sin φ- cos φ=0. 2 2

π ∴ 3sin(φ- )=0. 3

π ∴φ- =k1π(k1∈Z). 3 π ∴φ=k1π+ (k1∈Z). 3 π ∴f(x)=sin(x-k1π- )(k1∈Z). 3 π π 5 由 x-k1π- =k2π+ (k1,k2∈Z)得 x=(k1+k2)π+ π(k1,k2∈Z), 3 2 6 5 ∴f(x)的对称轴方程为 x=(k1+k2)π+ π(k1,k2∈Z). 6 5π 故 x= 为函数 f(x)的一条对称轴. 6
1 4.(2014· 江西)若 f(x)=x2+2?1 0f(x)dx,则 ?0f(x)dx 等于(

)

A.-1 1 C. 3 答案 B 解析 ∵f(x)=x2+2?1 0f(x)dx, 1 3 1 1 ∴?1 0f(x)dx=( x +2x?0f(x)dx)|0 3 1 = +2?1 0f(x)dx, 3 1 ∴?1 0f(x)dx=- . 3

1 B.- 3 D.1

5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=?3 0(1+2x)dx,S20=17,则 S30 为( A.15 B.20 C.25 D.30 答案 A 解析 由已知得 S10=?3 0(1+2x)dx=12, 据等差数列性质可得 S10=12,S20-S10=5,S30-S20=S30-17 亦成等差数列, 故有 12+S30-17=10?S30=15. 6.设 n=

)

?

π 2 0

1 4sin xdx,则二项式(x- )n 的展开式的常数项是( x

)

A.12 B.6 C.4 D.1 答案 B
π 2 解析 由定积分得 n=-4cos x |0 =4,

1 4-k 二项式的通项公式为 Tk+1=Ck (- )k 4x x
k 4 =Ck 4(-1) x
-2k



由 4-2k=0,得 k=2,
2 所以常数项为 T3=C2 4(-1) =6,故选 B.

π 7.若函数 f(a)=?a 0(2+sin x)dx,则 f( )等于( 2 A.1 B.0 C.π+1 D.1-cos 1 答案 C 解析 由于 g′(x)=(2x-cos x)′=2+sin x, 故 f(a)=?a 0(2+sin x)dx =g(a)-g(0)=2a-cos a+1, π π π 因此 f( )=2× -cos +1 2 2 2 =π+1,故选 C.

)

π π 8.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 1 3 A. B.1 C. D. 3 2 2 答案 D 解析 根据定积分的定义,所围成的封闭图形的面积为

)

?

π 3 π ? 3

cos xdx=sin x |
2

π 3

?

π 3

=sin

π? π -sin? ?-3?= 3. 3

x ,x∈[0,1], ? ? 9.设 f(x)=?1 (e 为自然对数的底数),则 ?e 0f(x)dx 的值为________. , x ∈ ? 1 , e] ? ?x 答案 4 3

1 2 e1 解析 依题意得 ?e 0f(x)dx=?0x dx+?1 dx x

x3 = |1 +ln x|e 1 30 1 4 = +1= . 3 3
2 10.计算定积分 ?1 -1(x +sin x)dx=________.

答案

2 3

x3 2 2 1 解析 ?1 -1(x +sin x)dx=( -cos x)|-1= . 3 3 11.(2014· 辽宁)正方形的四个顶点 A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线 y=-x2 和 y=x2 上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中阴

影区域的概率是________.

答案

2 3

2 31 2 2 4 1 2 2 1 2 解析 正方形内空白部分面积为 ?- x | = -(- )= , 1[x -(-x )]dx=?-12x dx= · 3 -1 3 3 3 4 8 阴影部分面积为 2×2- = , 3 3 8 3 2 所以所求概率为 = . 4 3 12.已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在原点处相切,且 x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积 1 为 ,则 a 的值为________. 12 答案 -1 解析 由曲线在原点处与 x 轴相切,可得 f′(0)=b=0, 此时 f(x)=-x3+ax2=x2(a-x), 1 3 2 据定积分知阴影部分面积-?0 a(-x +ax )dx= , 12

解得 a=-1.


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