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北大附中河南分校2016届高三第一次考试文科数学(PDF版含答案)


北大附中河南分校 2 0 1 6届高三第一次考试
第Ⅰ卷 ( 选择题 共 6 0分) 一、 选择题( 本大题共 1 2 小题, 每小题 5 分, 共6 0 分. 在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. )
2 1 .已知集合 A= { x | - 1< x < 1 } , B= { x | x - 3 } , 则A ≤0 ∩B等于


(   )

A .[- 1 , 0 ]         B .(- 1 , 3 ]         C .[ 0 , 1 )         D .(- 1 , 3 )          2 .已知( 1+ i ) ·z = 2 i , 那么复数 z 对应的点位于复平面内的 A . 第一象限 C .第三象限 1 1 成立的 3 .对于实数 a , b , “ b < a < 0 ” 是“ > ” b a A .充分不必要条件 C .充分条件 B .必要不充分条件 D .即不充分又不必要条件 B .第二象限 D .第四象限 (   ) (   )

4 .函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = 1对称, 且须[ 1 , + 上单调递减, f ( 0 )= 0 , 则f ( x + 1 )> 0的解集 (   ) ∞) A .( 1 , + ∞) C .(- - 1 ) ∞, B .(- 1 , 1 ) D .(- - 1 ) 1 , + ∪( ∞, ∞) (   )

5 .设等比数列{ a } 的前 n 项和为 S , 若S 4 ( a a …a ) , 且a ·a ·a 2 7 , 则a n n 2 n= 1+ 3+ 2 n - 1 1 2 3= 6 的值为 A . 8 1 B . 2 7 C . 7 2 9 D . 2 4 3

6 .如图是某算法的程序框图, 若程序运行后输出的结果是 2 7 , 则判断框①处应填入的条件是 A .n > 2? B .n > 4 ? C .n > 3? D .n > 5 ?

(   )

         第 6题图 第 7题图 (   ) D . 1 6

7 .某几何体的三视图所示, 且正视图、 侧视图都是矩形, 则该几何体的体积是 A . 6 B . 8 C . 1 2

} 是等差数列, a 1 0 , 其前 1 0项和 S 7 0 , 则其公差 d = 8 .已知{ a n 1 0= 1 0= 2 A .- 3 1 B .- 3 C . 1 3 D . 2 3

 

(   )    

2 2 表示的平面区域内, 则m 9 .点( 1 , 1 ) 在不等式组 n y - m x + n 取值范围是 ≤2

{

m x + n y ≤2 (   )

n y ≥1 B .[ 2 , 4 ] C .[ 1 , 3 ] D .[ 2 , 3 ]

A .[ 1 , 4 ] 1 0 .已知双曲线

2 2 x y 2 2 - 1 ( a > 0 , b > 0 ) 的两条渐近线均与圆 C : x + y - 6 x + 5= 0相切, 则该双曲线离心率等于 2 2= a b

(   ) 35 A . 槡 5 6 槡 B . 2 C . 3 2 5 槡 D . 5

2 , 且Δ A B C的面积为 2 , 则 1 1 .设 Δ A B C的内角 A , B , C所对边的长分别为 a , b , c , 角 B是锐角, 若 a= 1 , c = 4槡 s i n C= 4 A . 4 1 B . 4 5 4 C . 2 5 1 44 D .槡 4 1 (   )

3 - m x , x , 若方程 f ( x )= 2在 x 4 , 4 ] 恰有 3个不同的实数解, 则实数 m的取值范 1 2 .已知函数 f ( x )= x ∈R ∈ [-

围是 3 1 A .(- , 3 ] 2 3 1 + C .(- - 3 ) ∪( , ∞) ∞, 2 3 1 B .( 3 , ] 2 3 1 D .(- 3 ) ∪( + ∞, ∞) 2 第Ⅱ卷( 非选择题 共 9 0分) 二、 填空题( 本大题共 4小题, 每小题 5分, 共2 0分, 将答案填在题中的横线上. )
2 2 1 3 .关于 x 的不等式 x - 2 a x - 8 a < 0 ( a > 0 ) 的解集为( x , x ) , 且x x 1 5则 a =     . 1 2 2- 1=

(   )

2 1 4 .若 M 是抛物线 y = 4 x 上一点, 且在 x 轴上方, F是抛物线的焦点, 直线 F M 的倾斜角为 6 0 ° , 则│F M│ =

    .
2 2 + 2 x + t + s i n x t x 1 5 .若函数 f ( x )= ( t > 0 ) 的最大值为 M, 最小值为 N , 且 M+ N= 4 , 则实数 t 的值为    . 2 x+ t

?→ ?→ ?→ ?→ 1 6 .向量A B= ( 1 , 1 ) , C D= (槡 1- x x + 3 ) , f ( x )= A B ·C D , 函数 f ( x ) 的最大值为    . 槡 三、 解答题( 本大题共 6小题, 共7 0分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. )
2 1 7 .( 本小题满分 1 2分) 已知函数 f ( x )= 2 3 s i n x c o s x + 2 c o s x ( x ) . ∈R 槡

π 上的最大值和最小值; ( 求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间[ 0 , ] Ⅰ) 2 ( 将函数 f ( x ) 图象向左平移 Ⅱ) 和对称中心坐标. π 个单位, 再向上平移 1个单位, 得到函数 g ( x ) 图象, 求g ( x ) 的对称轴方程 6

   

 

1 8 .( 本小题满分 1 2分) “ 开门大吉” 是某电视台推出的游戏节目, 选手面对 1~ 8号 8扇大门, 依次按响门上的 门铃, 门铃会播放一段音乐( 将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎) , 选手需要正确回答出这首歌 的名字, 方可获得得该扇门对应的家庭梦想基金. 在一次场外调查中, 发现参赛选手多数分为两个年龄段: 2 0 ~ 3 0 ; 3 0~ 4 0 ( 单位: 岁) 其猜对歌曲名称与否的人数如图所示. ( 写出 2× 2列联表, 判断是否有 9 0 % 的把握猜对歌曲名称是否与年龄有 Ⅰ) 关; 说明你的理由; ( 下面的临界值表供参考)
2 P ( K ) 0 . 1 0 ≥k 0

0 . 0 5 3 . 8 4 1

0 . 0 1 0 6 . 6 3 5

0 . 0 0 5 7 . 8 7 9

k 0

2 . 7 0 6

( 现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6名幸运选 Ⅱ) 手, 求 3名幸运选手中至少有一人在 2 0~ 3 0岁之间的概率.
2 n ( a d - b c ) ( 参考公式: K= 其中 n = a + b + c + d ) ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) 2

第1 8题图

B C 的正三角形, 点 M 在边 B C上, M C 1 9 .( 本小题满分 1 2分) 如图, 直三棱柱 A B C- A △A 1 1 1 的底面是边长为 a 1 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形. ( 求证: 直线 A B M C ; Ⅰ) ∥平面 A 1 1 A B M 的高. ( 求三棱锥 C Ⅱ) 1- 1

第1 9题图

 

   

1 2 到焦点的距离为 1 , 2 0 .( 本小题满分 1 2分) 已知抛物线 C :x = 2 p y ( p > 0 ) , 抛物线上一点 Q ( m , ) 2 ( 求抛物线 C的方程; Ⅰ)
? ) ( 设过点 M( 0 , 2 ) 的直线 l 与抛物线 C交于 A , B两点, 且 A点的横坐标为 n ( n Ⅱ) ∈N

( 记△A O B的面积为 f ( n ) , 求f ( n ) 的表达式; ⅰ) ( 探究是否存在不同的点 A , 使对应不同的 △A O B的面积相等?若存在, 求点 A的坐标, 若不存在, ⅱ) 请说明理由.

2 2 1 .( 本小题满分 1 2分) 已知 f ( x )= x l n x , g ( x )=- x + a x - 3 . 3 的一个极值点为 1 , 求a 的取值; ( 已知函数 h ( x )= g ( x )+ a x Ⅰ)

( 求函数 f ( x ) 在[ t , t + 2 ] ( t > 0 ) 上的最小值; Ⅱ) ( 对一切 x 0 , + , 2 f ( x ) ( x ) 恒成立, 求实数 a 的取值范围. Ⅲ) ∈( ≥g ∞)

   

 

  请考生在第 2 2 、 2 3 、 2 4三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 2 2 .( 本小题满分 1 0分) 选修 4- 1 : 几何证明选讲 如图, 已知⊙O和⊙M 相交于两点, A D为⊙M 的直径, 直线 B D交 ⊙O于点 C , 点 G为 B D 的中点, 连接 A G分 别交⊙O , B D于点 E , F连接 C E . ( 求证: A G ·E F= C E ·G D ; Ⅰ)
2 G F E F ( 求证: = 2 . Ⅱ) A G C E

2 3 .( 本小题满分 1 0分) 选修 4- 4 : 坐标系与参数方程

第2 2题图 已知曲线 C的极坐标方程是 ρ = 2 , 以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 直线 L的极坐 标的参数方程为

{

x = 1+ t ( t 为参数) . y = 2+ 3 槡

( 写出直线 L的普通方程与曲线 C的直角坐标方程; Ⅰ)

( 设曲线 C经过伸缩变换 Ⅱ)

{

x ′ = x 3 x y + 2 y 的最小值, ′ , 设 M( x , y ) 为C ′ 上任意一点, 求 x- 槡 1 得到曲线 C y ′ = y 2
2 2

并求相应的点 M 的坐标. 2 4 .( 本小题满分 1 0分) 选修 4- 5 : 不等式选讲 已知正实数 a , b 满足: a + b = 2 . ( 求 Ⅰ) 1 1 + 的最小值 m ; a b

1 t ) , 对于( 中求得的 m 是否存在实数 x , 使得 f ( x )=m 成 ( 设函数 f ( x )= - t + │( ≠0 Ⅰ) Ⅱ) │x │+ │x t 立, 若存在, 求出 x 的取值范围, 若不存在, 说明理由.

)

 

   

答案
x= 2 y ? 2 联立抛物线的方程 - 2 k x - 4 = 0 , , 化简得 x ? + 2 y = k x 2 选项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 ? 2 2 此时 Δ= (- 2 k ) - 4 × 1×(- 4 )= 4 ( k + 4 )> 0 , x x 2 k , 1+ 2= 答案 C A A B D C C D A A B B ? x 4 , x  5分 ? 1 2 =- 二、 填空题 ? 2 2 ∵| A B | = ( 1 + k ) [ ( x x ) - 4 x x ] 1+ 2 1 2 槡 ? 5 2 2 2 2 4 . 4  1 5 . 2  1 6 . 2 1 3 .  1 2 槡 ? = 2 , 分 = [ ( - 2 k )- 4 × ( - 4 ) ] ( 1 + k ) ( k + 4 ) ( 1 + k)  6 2 槡 槡 ? | k × 0- 0- 2 | 三、 解答题 又点 O 到 直 线 l ∶k x-y-2=0的 距 离 d= = ? 2 k + 1 槡 π π π π ? 1 7 .解: ( f ( x )= 2 s i n ( 2 x + )+ 1 , x 0 , ] , 2 x + ∈[ , Ⅰ) ∈[ 6 2 6 6 ? 2 , 2 ? 7 π k + 1 槡 ] , ? 6 1 A B | ·d ∴△A O B的面积 S = ·| 故f ( x ) 的最大值为 3 , 最小值为 0 . 分?  6 2 ? ( g ( x )= 2 c o s 2 x + 2 , Ⅱ) 1 2 2 2 2 ? 2槡 = × = 2 ( ;  ( 1 + k k ) ( k + 4 )× 2 + 4 ?) 槡 2 k π π k π ? + 1 k 槡 对称轴为直线 x = , ( k ) 对称中心为( + , 2 ) ( k ) . ∈Z ∈Z 2 4 2 ?  7分 2 分? 2  1 n ? , 直线 l 过M ( 0 , 2 ) , 故k = 又A 点横坐标为 n , ∴点 A 坐标为( n , ) 1 8 .解: ( ) Ⅰ 2 ? 2 n ? 年龄 / 正误 正确 错误 合计 - 2 n 2 2 n 2 2 ? = - , 代入( 得f ( n )=2 ( - ) + 4=2 ?) - 0 2 n 2 n n 4 0 2 0~ 3 0 1 0 3 0 ? ? 2 n 2 2 4 4 n 8 0 3 0 ~ 4 0 1 0 7 0 ? = 2 ( + )= n n + ( 2 - 2+ ∈N ) ? 4 n 2 n n ? 1 2 0 合计 2 0 1 0 0 2 2 m n ? m , ) n , ) ( 设存在不 同 的 点 A , A ( m≠ n , m , n ⅱ) ∈ m( n( 2 2 2 2 1 0 ( 7 0 × 1 0- 3 0 × 1 0 ) ? 因为 K =2 = 3> 2 . 7 0 6 , ? 2 0× 1 0 0× 4 0 × 8 0 ? N ) , 故有 9 0 %的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关. 分?  6 4 n + 使对应的不同△A O B面积相等, 则f ( m )= f ( n ) , 即 m+ = ? m ( 设事件 A为 3 名幸运选手中至少有一人在 2 0~ 3 0 岁之间, 由 Ⅱ) ? 4 4 4 ( m- n ) 4 已知得 2 0 ~ 3 0 岁之间的人数为 2人, 3 0~ 4 0岁之间的人数为 4 ? , 化简得 m- n = - = , n n m m n ? 人, 从6 人中取 3 人的结果有 2 0种, 事件 A的结果有 1 6种, ? 4 1 6 4 即m n = 4 , 解得 m= 1 , n= 4或 又∵m 即 m- n , ∴1 = , ≠n ≠0 (A ) = = .  1 P 2 分? m n 2 0 5 ? m= 4 , n = 1 , C , 交A C , 连接 M N , 1 9 .证明: ( 连接 A Ⅰ) 1 1 于点 N ? 1 ? ∵直三棱柱 A B C- A B C , 或( 4 , 8 ) .  1 2 分 此时 A点坐标为( 1 , ) 1 1 1 2 ? B C , 又A M B C , ∴C C M , ∴C C ⊥平面 A ?平面 A ⊥A 1 1 2 1 .解: ( h ′ ( x )= -2 x +a+3 a x , 因 为 1为 极 值 点, 则满足 ?2 Ⅰ) ∵A M C , C C = C , ∴ A M 平面 B B C C , M C ⊥M ⊥ ∩ 1 1 1 1 1 1 ? 1 h ′ ( 1 )=- 2+ a + 3 a = 0 , 所以 a = .  2分 ? C的中点, ∴A M C , 故 M为 B C的中点, 而 N为 A ⊥B 1 2 B , M N M C , A B M C , ∴A B 则M N ? 平面 A ? 平面 A ∥ 平面 ? ∥A 1 1 1 1 1 1 ? , f ′ ( x )< 0 , f ( x ) 单调递减, ( f ′ ( x )= l n x + 1 , 当x 0 , ) Ⅱ) ∈( e A M C ; 分?  6 1 1 A B M 的高为 h , ( 设三棱锥 C ? Ⅱ) 1- 1 当x + 时, f ′ ( x )> 0 , f ( x ) 单调递增, ∈( , ) e ? 1 ∵A M⊥ 平 面 B B C C , ∴ V = V , 即 · h = S A BM 1 1 C- A BM A- BM C ? 1 1 1 3 Δ t 无解; t < < t + 2 , 即0 <t < 时, < t < t + 2 < , ② 0< ①0 ? e e e 1 ? M, S C ·A BM Δ 1 1 3 f ( )=- ; f ( x ) ? m i n= e e ? 22 3 6 3 2 槡 S A M =槡 a ∵S a, a, , ∴h =槡 a . 2 分  1 C = A BM = BM Δ Δ 1 1 ? 8 4 2 3 < t + 2 , 即t f ( x ) 在[ t , t + 2 ] 上单调递增, f ( x ) ≤t ≥ 时, ③ m i n= e e ? p 1 p = + = 1 , 解得 p = 1 , ? 2 0 .解: ( 依题意得 | Q F | = y Ⅰ) Q= f ( t ) = t l n t ; 2 2 2 ? 1 1 分?  2 0 < t < - , e e 2 ∴抛物线 C的方程为 x = 2 y ; ? . 所以 f ( x )  8分 m i n= 1 t l n t , t ≥ ( ∵直线 l 与抛物线 C交于 A , B两点, ∴ 直线 l 的斜率 ? ( Ⅱ) ⅰ) e ? 存在, 3 ? 2 + a x - 3 , 则a l n x + x + , + ( 2 x l n x x 设h ( x )= 2 l n x + x ≤2 Ⅲ) ≥-     设A ( x y ) , B ( x y ) , 直线 l 的方程式为 y = k x + 2 ;  4 分? x 1 1 2 2 一、 选择题

{





























 

{

x ′ = x ? 2 x 2 2 2 y = 4 得C ′ 的方程为 = 1 ; + y ( 由  Ⅱ) ? 1 和 x+ 4 y ′ = y ? 2 ( x + 3 ) ( x - 1 ) , x 0 , 1 ) , h ′ ( x )< 0 , h ( x ) 单调递减, 则h ′ ( x )= ∈( 2 ? x  5分 ? x 1 , + , h ′ ( x )> 0 , h ( x ) 单调递增, 所以 h ( x )> h ( 1 )= 4 , ∈( ) x = 2 c o s θ π ? 2 2 , 则x 设 M为 x y + 2 y - = 3 + 2 c o s ( 2 + ) 3 θ 槡 因为对一切 x 0 ,+ ) , 2 f ( x ) ( x ) 恒 成 立, 所以 a ∈( ≥g ≤ ? 3 y = s i n θ h ( x ) 4 ;  1 2分  ? m i n= 3 3 槡 ? ) 或(- 1 , -槡 ) 时原式取得最小值 1 .   所以当 M 为( 1 , 2 2 .证明: ( 已知 A D为⊙M 的直径, 连接 A B , 则 ∠B C E=∠B A E , Ⅰ) 2 2 ? E F= B C=9 0 ° , 由 点 G为 弧 B D 的 中 点 可 知 ∠G A D =? ∠C ∠A    … 1 0 分 ? C E E F 1 1 1 1 b a A E= C E , 故△C E F G D , 所以有 = , 即A G ·E F= 2 ∠B ∠F ∽△A .解: ( a + b ) ( + )= ( 2+ + ) , Ⅰ) ( ≥2 ? 4 A G G D 2 a b 2 a b ? C E ·G D .  ( 5 分) ∴m= 2 .  5分 ? ( 由( 知∠D F G= F E= D G , 故△A G D G F , ? Ⅱ) Ⅰ) ∠C ∠A ∽△D 1 1 ( f ( x )=| x - t | +| x + | t + | = m , Ⅱ) ≥| ≥2 2 t t ? C E F G F E F G F D 1 0 分) = = , 即 = 2.  ( 所以 ? G D A G C E A G C E 当且仅当 t =± 1 时成立, 此时 - 1 , ≤x ≤1 ? 2 2 y= 4 , 2 3 .解: ( 圆 C的方程为 x + Ⅰ) ∴存在 x 1 , 1 ] 使f ( x )= m成立. 1 0 分 ∈[- ? 直线 l 方程为槡 x - y - 2 = 0 , 3 3+ ? 槡

3 ( x > 0 ) , x

{

{

 

   


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