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深圳市龙岗区2013-2014学年第一学期期末高二理科数学试题及答案


龙岗区 2013-2014 学年上学期期末学业评价试题 高二(理科)数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

注意事项:
1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损;考生务必用规定的笔将自己的学 校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定的位置上。同时,将监考教师发放的条 形码正向准确粘贴在

答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。不按以上要求作答 的答案无效。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.请保持答题卡的整洁,不折叠、不破损。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题正确的是 A.若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 a 2 b2 C.若 2 ? 2 ,则 a ? b c c 2.下列命题的说法错误的是 A.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题
“x ? 1” “x 2 ? 3x ? 2 ? 0” B. 是 的充分不必要条件

B.若 a ? b , c ? d ,则 ac ? bd 1 1 D.若 a ? b , ab ? 0 ,则 ? a b

C.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 ,则x2 ? 3x ? 2 ? 0 ” D.对于命题 p : ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1>0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 3.在四面体 A - BCD 中,点 E 是 CD 的中点,记 AB ? a , AC ? b , AD ? c ,则 BE ? 1 1 1 1 1 1 1 1 A. a ? b ? c B. ? a ? b ? c C. a ? b ? c D.? a ? b ? c 2 2 2 2 2 2 2 2
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a +a 1 4.在等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 3a1 、 a3 、 2a2 成等差数列,则 2 3 = a1 + a2 2

A. 1

B. ?1

C. 3

D. ?3

5.下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是
?x ? y ? 1 ? 0 A. ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 0 C. ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 0 B. ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0
1

y

?x ? y ? 1 ? 0 D. ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0

?2

?1 O

1

x

6.设椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 (m ? 0, n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离心率为 , 2 m2 n 2 则此椭圆的方程为
A.

x2 y 2 ? ?1 12 16

B.

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 48 64

D.

x2 y 2 ? ?1 64 48

7.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a 2 tan B=b2 tan A ,则 ?ABC 的 形状是 A.直角三角形 C.等腰或直角三角形 8.设 a ? 0 , b ? 0 且不等式 A. 0 B.等腰三角形 D.不能确定

1 1 k ? ? ? 0 恒成立,则实数 k 的最小值为 a b a?b
C. ?2 D. ?4

B. 4

第Ⅱ卷 非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
9.已知向量 a =(0,1,-1), b =(2,0,1),若向量 ka ? b 与向量 b 互相垂直,则 k 的值 是 ;

10 .点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,点 P 到直线 x ? ?1 的距离是 3 ,则点 P 到抛物线 ; ?y ? 2 ? 11.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ? 12.在数列 ?an ? 中, an ? n ,令 Tn =
1 1 1 + + ??? + ,则 T2014 = a1a2 a2 a3 an an ?1
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y 2 ? 4 x 的焦点的距离是





高二(理科)数学试题

13.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? 1 , b ? 3 ,A,B,C 成等 差数列,则 sin C ? ; 2 2 x y 14.椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为 45? 的直 a b 线和椭圆交于 M、N 两点,若 MF2 垂直于 x 轴,则椭圆的离心率为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ?1 m 2 表示焦点在 x 轴上的椭圆.若“p 且 q”是假命题, “p 或 q”是真命题,求 m 的取值范围.
已知命题 p : 曲线 y ? x2 ?(2m ? 3)x ? 1 与 x 轴相交于不同的两点; 命题 q :

16. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x)? ax2 ? bx ? 4 . (1)若 f ( x)? 0 的解集是(1,4) ,求实数 a,b 的值; (2)当 a ? 1 , b ? 4 时,令: g( x) ?

f ( x) ( x ? 1) ,求:当 x 取什么值时, g( x) 取得最小值. x ?1

17. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且 b sin A ? 3a cos B . (1)求角 B ; (2)若 a ? 1 , ?ABC 的面积 S ?
3 3 ,求 b 及 sin C 的值. 4

高二(理科)数学试题

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18. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C ,已知 AB ? BC ? 1 , BB1 ? 2 ,

?BCC1 ?

?

3

, E 为 CC1 的中点.

A1 B1

(1)求 C1 B 的长; (2)证明: C1 B ? 平面 ABC ; (3)求二面角 A ? B1 E ? B 的大小.
C1

19. (本小题满分 14 分) 在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ?

3 3 , a2 ? a3 ? ;数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 1 . 4 8 7 . 2

(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)令: Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ??? ? anbn ,求证: Tn ?

20. (本小题满分 14 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的左焦点为(?2,0),右顶点为( 3,0) . (1)求双曲线 C 的标准方程;
  OB ? 2 (其中 O 为 (2)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 有两个不同的交点 A 和 B , OA 

原点),求 k 的取值范围.

高二(理科)数学试题

第 4 页 共 10 页(2014.01)

高二理科数学参考答案
一、选择题: D A B C A,B C D 二、填空题: 9. 5 ; 10. 3 ; 11. 11 ;

12. 三、解答题:

2014 ; 2015

13. 1 ;

14.

2 ?1.

15.解:若命题 p 为真 ∴m ?

2 则: ?=(2m ? 3) ? 4 ? 0 即: 4m ? 12m ? 5 ? 0
2

若命题 q 为真 则: m ? 2 “p 或 q”是真命题 ? “p 且 q” 是假命题,

1 5 或m ? 2 2

?????? 3 分 ?????? 5 分 ∴ p, q 一真一假 ???? 6 分

1 5 ? 1 ? m ? 或m ? ①若 p 真 q 假,则 ? ∴m ? ????? 8 分 2 2 2 ? ?m ? 2 5 ?1 5 ? ?m? ②若 q 真 p 假,则 ? 2 ∴2 ? m ? ????? 10 分 2 2 ? ?m ? 2 1 5 综上, m ? 或 2 ? m ? 2 2 1 5 所以:实数 m 取值范围是(-?, ) (2, ] ??????12 分 2 2 16.解: (1) f ( x) ? 0 的解集是 (1, 4) ∴ f ( x) ? 0 的解是: x ? 1 和 x ? 4 ??2 分
∴?

? f (1) ? 0 ? f (4) ? 0

即?

?a ? 1 ?a ? b ? 4 ? 0 解得: ? ?b ? ?5 ?16a ? 4b ? 4 ? 0
2

?????5 分

(2)由 a ? 1, b ? 4 知: f ( x) ? x ? 4x ? 4 令 t ? x ?1 ∴g ( x ) ? 则 x ? t ?1, t ? 0

∴g ( x) ?

x2 ? 4 x ? 4 ( x ? 1) ???6 分 x ?1

(t ? 1)2 ? 4(t ? 1) ? 4 t 2 ? 6t ? 9 9 ? ? t ? ? 6. t t t
∴g ( x) ? t ?

(t ? 0)

?????8 分

t?0

9 9 ? 6 ? 2 t ? ? 6 ? 6 ? 6 ? 12 t t

?????10 分

高二(理科)数学试题

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当且仅当: t =

9 t

即 t =3 时 , 上式取等号 ?????12 分

x ? t ?1

∴x ? 4 时, g ( x) 的最小值是 12

b 3 cos B a sin A b a b sin B = 由正弦定理知: ∴ = sin B sin A a sin A ∴ 3 cos B ? sin B 即: tan B ? 3 ? 0? B ?? ∴B = 3 1 1 ? 3 3 (2) S ? ac sin B ? ?1? c sin ? ∴ c =3 2 2 3 4
17.解:(1)

b sin A ? 3a cos B

∴ ?

????1 分 ?????3 分 ??????5 分 ??????6 分 ??????8 分

由余弦定理得: b ? a ? c ? 2ac cos B ? 1 ? 9 ? 2 ?1? 3 ? cos
2 2 2

?
3

?7

???10 分

∴b= 7

???????11 分 ??????12 分

b c = sin B sin C 3 3? c sin B 2 ? 3 21 ? ∴sin C = b 14 7
又正弦定理知: 18.解:(1)在 ?BCC1 中, BC ? 1 , CC1 ? BB1 ? 2 , ?BCC1 ?

??????14 分

?

3 2 2 2 由余弦定理得: C1B ? BC ? CC1 ? 2BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos

。 ????2 分

?

3

=3
???????4 分

所以: C1B= 3

(2)证明:由(1)知: C1B= 3 ,所以: C1B2 +BC 2 =CC12 即: C1B ? BC ??5 分

AB ? 侧面 BB1C1C , BC1 ? 侧面BB1C1C ∴ C1B ? AB
而 BC

??????7 分 ??????8 分

AB ? B ,∴ C1B ? 平面 ABC

(3)解法一:在 ?B1C1E 中, EC1 ? 1, C1B1 ? 1 , ?B1C1 E ?
2 由余弦定理得: B1E ? 1 ? 1 ? 2 ?1?1? cos
2 2

2? =3 3

2? 。 3
???10 分

∴ B1E ? 3

高二(理科)数学试题

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在 Rt ?CBC1 中, E 为斜边 CC1 的中点,∴ BE ? 所以: BB12 ? BE 2 ? EB12 即: BE ? EB1 又 角。 在 Rt ?ABE 中, AB ? BE ? 1 ,∴ ?AEB ?

1 CC1 ? 1 2
?????12 分

AB ? 侧面 BB1C1C

∴ AB ? B1E ,又 AB ∴ AE ? B1E

BE ? B

∴ B1E ? 平面 ABE

∴ ?AEB 即是二面角 A ? B1E ? B 的平面

?
4
???????14 分

? 所以:二面角 A ? B1E ? B 的大小为 。 4

解法二: BA 所在直线为 x, y, z BC、 由(2)可知: AB、 BC1 两两垂直,以 B 为原点,BC、 BC1、 轴建立空间直角坐标系 B-xyz ?1 分

1 3 , 0) , B1 (?1, 3,0) 。 2 2 1 3 3 3 , ?1) , EB1 ? (? , , 0) 故 AE ? ( , 2 2 2 2 设平面 AB1E 的法向量为 n ? ( x, y, z)
则 B(0, 0, 0) , A(0, 0,1) , E ( , 则由 ?

?????10 分

? ?n ? AE

? ? ?n ? EB1 ?n EB1 =0 ?1 3 y?z ?0 ? x? ? ?x ? 3y ? 2z ? 0 ?2 2 即: ? 整理得: ? ? ?? 3 x ? 3 y ? 0 ? 3 x-y ? 0 ? ? 2 2 令 x =1 , y ? 3 , z ? 2
∴ n ? (1, 3, 2) 是平面 AB1E 的法向量。 ?????12 分

,得: ?

? ?n AE =0

AB ? 侧面 BB1C1C ∴ BA ? (0,0,1) 是平面 BEB1 的一个法向量。

n BA 1? 0 ? 3 ? 0 ? 2 ? 1 2 ? ? 2 | n | ? | BA | 02 ? 02 ? 12 ? 12 ? ( 3) 2 ? 22 ? (0, ) 设所求的二面角 A ? B1E ? B 的平面角为 ? ,则由图可知 ? ? 。 2 ? ? 所以: ? = 即:二面角 A ? B1E ? B 的大小为 ?????14 分 4 4
∴ cos n, BA ? (说明: 若用此向量法, 学生开始时点的坐标求错, 但后面的做法符合解题的思路过程, 可以酌情给分)
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19.解: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ,由题意得:

3 ? a1 ? a1q ? ? ? 4 ? ?a q ? a q 2 ? 3 1 1 ? 8 ?

3 ? a1 (1 ? q) ? ? ? 4 即: ? ?a q(1 ? q) ? 3 1 ? 8 ?

1 ? a1 ? ? ? 2 解得: ? ?q ? 1 ? ? 2
n ?1

????3 分

1 ?1? 所以:数列 ?an ? 的通项公式为: a n ? ? ? ? 2 ?2? 当 n ? 1 时, bn ? S1 ? 1 ? 1 ? 2 ;
因而: bn ? ?

?

1 2n

????4 分 ?????5 分

当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? 1 ? [(n ?1)2 ? 1] ? 2n ?1

(n ? 1 ) ?2 ???????7 分 ?2n ? 1 (n ? 2) 3 5 2n ? 3 2n ? 1 (2) Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? 2 2 2 2n 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n ???????8 分 2 2 2 2 2 2 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 设: Rn ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? ???① 2 2 2 2 2n 1 则 Tn ? Rn ? 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Rn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ???②, ????10 分 2 2 2 2 2n 2 ① ? ②得: 1 1 2 2 2 2n ? 1 1 1 1 1 2n ? 1 Rn ? ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? ? n ?1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 2 2n ? 1 3 1 2n ? 1 2 ? + ? n ?1 ? ? n ?1 ? n ?1 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 2n ? 3 ? ? n ?1 ???????12 分 2 2
2n ? 3 2n 1 2n ? 3 1 7 2 n ? 3 ? ? ? 从而: Tn ? Rn ? ? 3 ? 2 2n 2 2 2n 7 2n ? 3 ?n? N? ∴ n ?0 从而: Tn ? 2 2
∴Rn ? 3 ?
高二(理科)数学试题

???????14 分

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20.解:(1)设双曲线方程为:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a 2 b2

?????1 分

由已知得 a ? 3, c ? 2 。 再由 a ? b ? c ,即: ( 3)2 ? b2 ? 22 得: b ? 1 。
2 2 2

??????2 分 ??????4 分 ??????5 分

x ? y2 ? 1 3 (2) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
故双曲线 C 的方程为 ∴OA ? ( x1 , y1 ) , OB ? ( x2 , y2 ) 分

2

???6

? y ? kx ? 2 ? 联立: ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3

得: (3k 2 ?1) x2 ? 6 2kx ? 9 ? 0

????9 分

由直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点得: ?

2 ? ?3k ? 1 ? 0 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(3k ? 1) ? 36(1 ? k ) ? 0

? 2 1 ?k ? ∴? 3 2 ?k ? 1 ?

即k ?
2

1 2 且 k ? 1 ??① 3

???????11 分

可知: x1 ? x2 ? ? 由 OA OB ? 2

9 6 2k , x1 x2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
得: x1 x2 ? y1 y2 ? 2 而:

x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? (k 2 ?1) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2
6 2k 3k 2 ? 7 ? (k ? 1) 2 ? 2k 2 ?2? 2 3k ? 1 3k ? 1 3k ? 1
2

9

?????12 分

于是:

3k 2 ? 7 ?2 3k 2 ? 1



3k 2 ? 9 ?0 3k 2 ? 1

∴(3k 2 ? 9)(3k 2 ?1) ? 0

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解此不等式得:

1 ? k 2 ? 3 ??② 3

???????13 分

由①②得:

1 ? k2 ?1 3

∴?1 ? k ? ?
3 3 ) ( ,1) 3 3

3 3 或 ? k ?1 3 3
???????14 分

故 k 的取值范围为: (?1, ?

高二(理科)数学试题

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