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2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积练习 理


第八章 立体几何 第 1 讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积与 体积练习 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.一个简单几何体的正视图、侧视图分别为如图所示的矩形、正方形,则其俯视图不可能为 ( )

A.矩形 C.椭圆

B.直角三角形 D.等腰三角形

解析 依题意

,题中的几何体的俯视图的长为 3、宽为 2,因此结合题中选项知,其俯视 图不可能是等腰三角形,故选 D. 答案 D 2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

1 A. +2π 3

B.

13π 6

C.

7π 3

5π D. 2

解析 由三视图可知,该几何体是一个底面半径为 1,高为 2 的圆柱和底面半径为 1, 高为 1 的半圆锥拼成的组合体.所以该几 1 1 13π 2 2 何体的体积为 × ×π ×1 ×1+π ×1 ×2= ,故 2 3 6 选 B. 答案 B 3.(2014·新课标全国Ⅱ卷)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3,D 为 BC 中

1

点,则三棱锥 A-B1DC1 的体积为( A.3 B. 3 2

) C.1 D. 3 2

解析 如图,在正△ABC 中,D 为 BC 中点, 则有 AD= 3 AB= 3, 2

又∵平面 BB1C1C⊥平面 ABC,AD⊥BC,AD? 平面 ABC,由面面垂直的 性质定理可得 AD⊥平面 BB1C1C,即 AD 为三棱锥

A-B1DC1
的底面 B1DC1 上的高. 1 1 1 ∴VA-B1DC1= S△B1DC1·AD= × ×2× 3× 3=1,故选 C. 3 3 2 答案 C 4.(2015·全国Ⅱ卷)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点, 若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π B.64π C.144π D.256π )

解析 如图,要使三棱锥 O-ABC 即 C-OAB 的体积最大,当且仅当点 C 到平面 OAB 的距离,即三棱锥 C-OAB 底面 OAB 上的高最大,其最大值 1 1 1 1 1 2 为球 O 的半径 R, 则 VO-ABC 最大=VC-OAB 最大= × S△OAB×R= × ×R ×R= 3 2 3 2 6

R3=36,所以 R=6,得 S 球 O=4π R2=4π ×62=144π ,选 C.
答案 C 5.(2015·全国Ⅰ卷) 《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积 及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一 个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问 米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3, 估算出堆放的米约有( A.14 斛 ) C.36 斛 D.66 斛

B.22 斛

16 1 1 320 2 解析 由题意知:米堆的底面半径为 (尺),体积 V= × π R ·h≈ (立方尺).所以堆 3 3 4 9 320 放的米大约为 ≈22(斛). 9×1.62 答案 B
2

二、填空题 6.如图所示,E,F 分别为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的 中 心 , 则 四 边 形 BFD1E 在 该 正 方 体 的 面 上 的 正 投 影 可 能 是 ________(填序号).

解析 由正投影的定义,四边形 BFD1E 在面 AA1D1D 与面 BB1C1C 上的正投影是图③;其在面

ABB1A1 与面 DCC1D1 上的正投影是图②; 其在面 ABCD 与面 A1B1C1D1 上的正投影也是②, 故①④
错误. 答案 ②③ 7.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)如图,半球内有一内 接正四棱锥 S-ABCD,该四棱锥的体积为 ________. 解析 设所给半球的半径为 R, 则棱锥的高 h=R, 底面正方形中有 AB=BC=CD=DA= 2R, 2 3 4 2 2 4 2 3 3 ∴其体积为 R = ,则 R =2 2,于是所求半球的体积为 V= π R = π. 3 3 3 3 答案 4 2 π 3 4 2 ,则该半球的体积为 3

8.在三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点,记三棱锥 D-ABE 的体积为 V1,P-ABC 的体积为 V2,则 =________. 解析 如图,设点 C 到平面 PAB 的距离为 h,△PAB 的面积为 S,则 V2 1 1 1 1 1 V1 1 = Sh,V1=VE-ADB= × S× h= Sh,所以 = . 3 3 2 2 12 V2 4 答案 1 4

V1 V2

三、解答题 9.如图是一个几何体的正视图和俯视图. (1)试判断该几何体是什么几何体; (2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积; (3)求出该几何体的体积. 解 (1)正六棱锥.
3

(2)其侧视图如图:其中 AB=AC,AD⊥BC,且 BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离, 即 BC= 3a,AD 的长是正六棱锥的高,即 AD= 3a, 1 ∴该平面图形的面积 S= 2 3 2 3a· 3a= a . 2

1 3 2 3 3 (3)V= ×6× a × 3a= a . 3 4 2 10.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.
过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值. 解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图:

(2)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为 EHGF 为正方形,所 以 EH=EF=BC=10.于是 MH= EH -EM =6,AH=10,HB=6. 1 故 S 四边形 A1EHA= ×(4+10)×8=56, 2
2 2

S 四边形 EB1BH= ×(12+6)×8=72.
9 7 因为长方体被平面 α 分成两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为 ( 也正确). 7 9

1 2

能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2016·郑州质量预测)如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积 为( )

4

A.8π

B.16π

C.32π

D.64π

解析 由三视图可知此几何体为一横放的四棱锥, 其底为边长为 4 的正方形, 高为 2,其中平面 SAB⊥平面 ABCD,易知 SA=SB=2 2,故可补全为以 DA、

SA、SB 为棱的长方体,故 2R= DA2+SA2+SB2= 32=4 2,∴R=2 2,∴ S 表=4π R2=32π .
答案 C 12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的 三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( A.6 2 C.6 B.4 2 D.4 )

解析 如图,设辅助正方体的棱长为 4,三视图对应的多面体为三棱锥

A-BCD,最长的棱为 AD= (4 2)2+22=6,选 C.
答案 C 13.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱 锥 S-ABC 的体积为________. 解析 由题意知,如图所示,在棱锥 S-ABC 中,△SAC,△SBC 都是有一 个角为 30°的直角三角形,其中 SC=4,所以 SA=SB=2 3,AC=BC=2, 作 BD⊥SC 于 D 点,连接 AD,易证 SC⊥平面 ABD,又易得 AD=BD= 3, 由已知 AB= 3, 1 3 2 因此 VS-ABC= × ×( 3) ×4= 3. 3 4 答案 3

14.如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD⊥BD. (1)求证:CD⊥平面 ABD; (2)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A-MBC 的体积.

5

法一 (1)证明 ∵AB⊥平面 BCD,CD? 平面 BCD, ∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,

AB? 平面 ABD,BD? 平面 ABD,
∴CD⊥平面 ABD. (2)解 由 AB⊥平面 BCD,BD? 平面 BCD,得 AB⊥BD, 1 ∵AB=BD=1,∴S△ABD= . 2 1 1 ∵M 是 AD 的中点,∴S△ABM= S△ABD= . 2 4 由(1)知,CD⊥平面 ABD, 1 1 ∴三棱锥 C-ABM 的高 h=CD=1, 因此三棱锥 A-MBC 的体积 VA-MBC=VC-ABM= S△ABM· h= . 3 12 法二 (1)证明 同法一. (2)解 由 AB⊥平面 BCD 且 AB? 平面 ABD 知, 平面 ABD⊥平面 BCD, 又平面 ABD∩平面 BCD=BD, 如图,过点 M 作 MN⊥BD 交 BD 于点 N,则 MN⊥平面 BCD, 1 1 且 MN= AB= , 2 2 1 又 CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD= . 2 ∴三棱锥 A-MBC 的体积 VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD 1 1 1 = AB·S△BCD- MN·S△BCD= . 3 3 12

6


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