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更高更妙的物理:专题23 交变电路


专题 23 交变电路 交变电路除具有电路的共性—遵守基尔霍夫二定律、欧姆定律、能量守恒定律外,又有 其个性,现概述如下。 一、正弦式交流电的平均值与有效值 面积为 S 的线圈在匀强磁场 B 中以角速度 ? 匀速转动产生正弦式交流电,其电动势表 达式为 E ? BS? sin(?t ? ?0 ) ? Em sin(?t ? ?0 ) 。其平均值可由法拉第电磁感应定律求出: 若从线圈

平面处于中性面开始计时,每半个周期时间内,磁通量的变化量均为 2 BS ,则平 均电动势 E ?

?? 2 BS 2 ? ? Em ; 其有效值根据正弦式交流电的对称性, 取四分之一周期 ?t ? / ? ?
n 2 Em sin 2 (? ? i

时间,交流电通过电阻只所做的功为

W ? lim ?
n ?? i ?1

R

? ) 2 2 n 2? n ? ? ? ? Em lim sin 2 (i ? ) ? 1 ? ? Em , ? 2? Rn 2? R n?? i ?1 2n n 4? R
2 E ? Em E2 ? ? ? ,故 E ? m 。 R 2? 4? R 2

则由有效值定义,电动势有效值为与交流电有相同热效应的恒定值 E ,即

二、纯电路 在交流电路中,除电阻外,电感器因电磁感应产生的感抗、电容器因静电感应产生的容 抗均对电流有阻碍作用。 若电路中这些阻碍交变电流通过的因素只有一个, 这样的电路称为 纯电路,例如纯电阻电路、纯电感电路、纯电容电路。纯电路的规律列表如下:

三、简单串联电路 实用交流电路中很多是由电阻、 电感、 电容连接而成的。 如图, 设正弦电流 i ? I m sin ?t 通过一段由电阻 R 、电感 L 和电容 C 串联的电路,则电阻上的电压 uR ? RI m sin ?t ,电感 上电压 uL ? ? LI m sin(?t ?

?

2

) ,电容上电压 uC ?

Im ? sin(?t ? ) ,根据基尔霍夫定律, ?C 2

电路两端 A 、 B 间的电压为

I ? ? u ? u R ? u L ? uC ? RI m sin ?t ? ? LI m sin(?t ? ) ? m sin(?t ? ) 2 ?C 2 1 ? RI m sin ?t ? (? L ? ) I cos ?t ?C m

1 2 ) ? Z ,有 ?C u ? ZI m sin(?t ? ? ) ? Um sin(?t ? ? ) , 1 ?L ? ?C 。 可 知 该 电 路 等 效 于 一 个 总 阻 抗 为 其中 tan ?? R 1 2 R2 ? (? L ? ) ? Z 的正弦电路,该电路的电压与电流有一 ?C X ? XC 个 ? ? arctan L 的相位差。计算总阻抗时,先将感抗与容 R
设, R ? (? L ?
2

抗合并—相减为总电抗 X ,再与电阻 R 用公式 Z ? R2 ? X 2 求 出整个电路总阻抗 Z 。电阻、电抗与总阻抗构成如图所示直角三 角形关系,总阻抗边与电阻边所夹锐角即为相差 ? ,故 ? 也被称 为阻抗角。同时,电路两端电压 U 、电流 I 、及电阻、电感、电 容上的电压 U R 、U L 、U C 的相位关系也可用如图所示矢量图表示,图中有向线段长度表示 相应的电压、电流有效值。 四、简单电路的暂态过程 实用电路中,由于电路的接通或断开,各种类型的改接,电路参数或电源的变化,信号 的突然注入等等原因, 会使电路稳定状态发生改变, 从一种稳定态过渡到另一种稳定态的过 程称暂态过程。电路发生变化时,电感上的电流(磁通量)和电容上电压(电量)只能是渐 变而不可能是跃变。 1、 RC 充放电电路 电容器通过充电过程存储电能。如图,原不带电的电容器与电 源接通,两个极板带上等量异种电荷,板间形成电场,电荷从电源 向电容器极板移动形成充电电流,充电完毕,电流消失,电容器达 到稳定态。设充电过程中的 t 时刻,电容器极板上电量为 q ,电路中 电流为 I ,在充电元过程 ?t ?

即有 则

t (n ? ?) 中,由基尔霍夫定律得 n q ?q q E ? i ?1 i R ? i ?1 , ?t C q ?q (CE ? qi ) ? (CE ? qi ?1 ) t , ? i ?1 i ? nRC CE ? qi ?1 CE ? qi ?1 C E? q t i , ? 1? C E? q n R C i ?1

对该式等号两边取 n 次方极限,得

lim(
n??

t t ? CE ? qi n CE t nRC ? e RC , ) ? lim(1 ? ) t RC , n?? CE ? q CE ? qi ?1 nRC

q ? CE (1 ? e

?

t RC

)。 ①

此即电容器充电时电荷量随时间变化规律,同理可得充电电流的变化规律为
t E ? RC I? e 。 ② R RC 在①、②两式中,乘积 叫 RC 电 路 的 时 间 常 数 , 当 t ? R C时 , E 0.37 E I ? e?1 ? , ,即经 t ? RC 时间,电容器电荷已达最大 q? CE ( 1 ? ?1 e ) ? 0 . 6C 3 E R R

值的 63% ,而充电电流已从最大值减为最大值的 37% ,时间常数反映充电过程的快慢, R 越大、 C 越大,充电过程越长。 带电电容器放电电路如图,若初始电容器带电量 Q ,放电时有

q ? Q?e

?

t RC

t Q ? RC e 。 ,I ? RC

放电快慢也由时间常数 RC 决定。 2、 LR 自感电路 LR 电路中由于自感而使电路具有保持原有电流“不变”的性质, 即当电流增大时有一滋长过程,当电流减小时有一衰减过程。如图所 示 LR 电路,电源电动势 E 。接通开关 S ,由于自感产生自感电动势, 电流有一滋长过程,某时刻 t 电路中电流为 I ,则由基尔霍夫定律得

I i ?1 ? I i ? I i ?1 R , ?t E E E ( ? I ) ? ( ? I ) ? Ii i i ? 1 Rt I i ?1 ? I i Rt R R R 即有 ,则 , ? ? ? 1? E E Ln E ? I Ln ? I ? I i ?1 i ?1 i ?1 R R R 对该式等号两边 n 次方取极限可得 R ? t E I ? (1 ? e L ) 。 R E 由上式知, LR 电路接通电源后,电流是逐渐增大到无电感时的电流稳定值 的,这里有 R L E 0.63E ?1 一个时间延迟,而当 ? ? 时, I ? (1 ? e ) ? ,即电流达到稳定电流值的 63% , R R R L ? ? 反映电流滋长的快慢,称为 LR 电路的弛豫时间。 R 当电流达到稳定值后,若切断电源开关 S 且同时闭合开关 S1 ,由于自感产生自感电动 E?L
势,电流有一衰减过程,电路中满足 I i ?1 ? L

I i ?1 ? I i E ? Rt ,则 I ? e L 。此过程经一段弛豫 ?t R

时间,电流减少为稳定值的 37% 。 3、 LC 谐振电路 LC 电路是由自感线圈和电容器所组成的电路, 是一种简单的能够产生大小和方向都做 周期性变化的振荡电流的电路。 由 LC 回路产生的振荡电流是一种按正弦规律变化的高频交 变电流。在 LC 回路中,若先对电容器充电,此后,电容器历经放电、反向充电、反向放电、 充电的过程,电容极板上的电荷 q 、电路中的振荡电流 i 、电容器里的电场强度 E (极板间 电压 u ) 、线圈磁场的磁感应强度 B 均按正弦规律作周期性变化,即产生电磁振荡,其振荡 周期为 T ? 2? LC 。 五、三相交流电路 三相交流电路是由三个相差互为 电动势的数学表达式分别是

2? 的同频率正弦电动势作用下的正弦交流电路, 三相 3 2? 4? ) , eC ? Em sin(?t ? ), 3 3

eA ? Em sin ?t , eB ? Em sin(?t ?

三相电动势的波形图与矢量图如图所示。 前述交流电路的规律与电路分析方法对三相电路完 全适用,同时,三相电路由于其对称性而具有一些特殊规律。 三相电路中电源与负载有两种基本连接方式,即星形连接与三角形连接,

1、星形连接( Y 连接) 把三相发电机的三相线圈绕组末端 X 、 Y 、 Z 接在一起,此点称中性点,标为 O ,把 始端 A 、 B 、 C 引出来,如图左边所示即为三相电源的星形连接方式;该图右边是对称的 三相负载(实用中如三相电动机、三相变压器等)星形连接, O? 为三相负载的中性点,将 星形电源和星形负载用三根导线—称为端线(火线)—连接,电源和负载的中性点也用导线 —称为中线(地线)—连接,就组成了星形连接的三相四线制,在负载对称的情况下,中线 上并无电流通过,可以不接,只有三根端线,此为三相三线制。在三相电源的星形连接中, 每相线圈两端电压即相电压与两根端线间电压即线电压是不同的,它们间的关系是

2? ? ? ? ? u线 ? U 相 ?sin ?t ? sin(?t ? ) ? ? 2U 相 cos(?t ? )sin ?t ? 3U 相 sin(?t ? ) , 3 ? 3 6 ? ? 即线电压是相电压的 3 倍,U 线 ? 3U 相 ,且相位超前 ;三相负载的星形连接中,线电 6
流等于相电流,每相电路中均有

I相 ?

2、三角形连接( ? 连接) 若把三相电源的三个绕组始端 A 、 B 、C 与未端 X 、Y 、Z 依次相接: X 与 B 、Y 与 C 、 Z 与 A 相接,再从各结点引出端线来,如图左边所示,就得到三相电源的三角形连接 方式。 对称的三相负载也作三角形连接如图右边所示, 将三角形电源和三角形负载用三根端 线连接,就组成了三角形连接的三相电路。在三相电源的三角形连接中,相电压与线电压相 同;负载方面,每相负载上的电压是线电压,每相电路中均有 I 相 ? 时,三相有相同的相电流,线电流是两个相电流的代数和,即

U相 。 Z

U线 Z

,当三相负载对称

4? ? ? ? i线 ? I 相 ?sin ?t ? sin(?t ? ) ? ? 3I 相 sin(?t ? ) , 3 ? 6 ?

它们间的关系是 I 线 ? 3I 相 ,且相位落后

? 。 6

在三相三线制下星形电源也可以与三角形负载连接,三角形电源也可以与星形负载连 接.在对称的情况下,上述三角形连接和星形连接中电流、电压的相值与线值之间的关系仍 然适用。 下面,我们分析各类典型的交变电路。 【例 1】 如图所示的电路已经达到稳定状态, 两个无内阻电源电动 势 值 分 别 为 E1 ? E0 sin 2 ?t , E2 ? E0 cos ?t ; 两 个 电 阻 电感 L ? R1 ? R2 ? R , 电流 i1 (t ) 。

R 1 , 电容 C ? , 试求通过电阻 R1 的 2? 2? R
2

E0 E0 ? cos 2?t , 电 动 势 2 2 E2 ? E0 cos ?t ,由电流叠加原理,两电动势同时存在时在 R1 上产生的电流 i1 (t ) ,可视作 E E 直流电源 0 、圆频率为 2? 的正弦式交流电源 ? 0 cos 2? t 及圆频率为 ? 的正弦式交流电 2 2 源 E0 cos ?t 独立存在时各自在电路中的电阻 R1 上产生的电流之和,下面分别考虑各电源独
【 分 析 与 解 】 由 于 电 路 中 电 源 的 电 动 势 E1 ? E0 sin ?t ? 立作用的情况。 直流电源

E0 E 独立存在时, L 短路、 C 断路, R1 两端电压即电动势 0 ,则产生电流 2 2

i直 ?

E0 。 2R
E0 R cos 2? t 独立存在时,电感器感抗 X L ? 2? ? ? R ,电容器容抗 2 2? E E 3? ) , U AB ? 0 。由于电阻与 ? R , A 、 B 间电压 u AB ? 0 sin(2?t ? 2 2 2

正弦式交流 ?

XC ?

1 2? ? 1 2? R

容抗相等,通过 R1 与 C 的电流大小相等,即 I R ? I C ,而电容器电流 IC 超前 R 与 C 并联电

? , R 上电流 I R 与电压同相位,则由图矢量图所表示的相位关系可知,通 2 ? 过电感 L 的电流大小为 I L ? 2I R , 超前于 I R 的相位为 。
压 U RC 的相位为

? ,大小为 2 ? UL ? I L X L ? 2I R R ? 2URC ,故图中 ? ? ,于是有 4 E0 E U RC ? U AB ? , IR ? 0 。 2 2R ? 因为 R 上电流落后于 U AB 的相位为 ,故可得此电源引起的电流为 2 E E i2? ? 0 sin(2?t ? ? ) ? ? 0 sin 2?t 。 2R 2R 最后是只存在正弦式交流电源 E2 ? E0 cos ?t ,因电源 E1 无电阻,相当于将 A 、 B 短 路,故无电流通过 R1 。则通过电阻 R1 的电流为
在 电 感 上 , 电 压 U L 超 前 电 流 IL 的 相 位 为

4

i1 (t ) ?

E0 (1 ? sin 2?t ) 。 2R

【例 2】如图所示,有一金属圆环,它的轴竖直向上,今将它放置在电 磁铁上方距离为 y 处,电磁铁线圈中电流 i ? I m cos ?t ,假定 M 为在 此位置的圆环和电磁铁之间的互感系数,圆环的电阻为 R 。试求: ⑴金属圆环内的感应电流; ⑵说明当圆环由此下落时作用于圆环的电磁力的方向。 【分析与解】在演示电磁感应现象时,常常会表演一个“跳环实验” ,这个实验把一个铝环 套在一个直螺线管的铁芯上, 当直螺线管通以 50 Hz 交流时, 可以看到铝环克服重力而跳起。 通过本题讨论,我们可对跳环实验作出解释。 先采求金属圆环内的感应电动势.由于电磁铁线圈中电流按 i ? I m cos ?t 变化,由法拉 第电磁感应定律 E ? M

可以看到,圆环上的感应电动势的变化比施感电流及其磁场的变化落后

? 的相位。 2 再来考虑圆环中的感应电流。 这里必须考虑到金属环除了电阻 R , 还有感抗 X L ? ? L ,

?I ,金属圆环中有感应电动势产生,即 ?t ?I cos ? (t ? ?t ) ? cos ?t E ? lim M ? lim MI m ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t ?t ?t 2sin ? (t ? ) sin ? 2 2 ? MI m lim ?t ?0 ?t ?t ?t sin ? (t ? ) sin ? 2 2 ? MI sin ?t ? MI m? lim m ?t ?0 ?t ? 2

L 为圆环电感。故圆环上感应电流通过一 RL 串联电路,总阻抗为 Z ? R 2 ? (? L) 2 ,且感
应电流相位落后于电动势 ? ? arctan

?L
R

(0 ?? ?

?
2

) ,故通过圆环的感应电流为

i环 ?

MI m?
2

R ? (? L)2

sin(?t ? ? ) 。

当圆环由电磁铁上方 y 处下落时, 作用于圆环的电磁力 F 是斥力 (向上) 还是引力 (向 下) ,要视 i 与 i环 的方向关系确定,若两者处于方向一致状态,圆环将被电磁铁吸引向下, 反之将因受斥力作用而向上。 我们来作两电流的图象如图, 由图可知由于两电流有一相位差

? ?L ? ? ( ? arctan ) ,使在电流变化的每个周期内,两电流及其磁场的方向在
2

?t1 ?

? 2? ? 2? ? 时间内同向,而 ?t2 ? ? 时间内反向,即反向的时间占多,故金属圆环 ? ? ? ?

R

受到的平均电磁力为斥力,方向向上。

【例 3】图为一测子弹速度的机构的示意图,已知电源 E ? 100V ,电阻 R ? 6k ? ,电容 C ? 0.1? F ,距离 l ? 3m 。设电路已达稳态。测子弹速 度时,子弹先将开关 S 打开,经距离 l 飞至 S1 , S2 连锁开关,使 S1 打开 的同时 S2 闭合,若此时冲击电流计 G 测出电荷 Q ? 3.45?C ,求子弹的 速度。 【分析与解】本题介绍了 RC 电路的一种实际应用。电路处于稳定态时, 电容器上电量为 Q0 ? CE ? 0.1?100?C ? 10?C ;飞行的子弹将开关 S 打开后,在子弹从

l 内, RC 电路处于放电过程,连锁开关 S1 打开、同时 S2 闭合,电容 v 器极板上原通过电阻 R 放电剩余的电荷现通过冲击电流计 G 而中和,故有 t l ? ? l ? 4.69 ? 103 m / s 。 Q ? Q0e RC ? Q0e RCv , v ? Q0 RC ln Q 【例 4】如图所示电路中, E ? 100V , R1 ? 10? , R2 ? 20? , R3 ? 30? , L ? 2 H 。求下列条件下, I1 、 I 2 、 I 3 的值。⑴开关 S 刚接通时;⑵开关 S 接通长时间后;⑶开关 S 接通后再切断的 瞬间;⑷开关 S 切断长时间后。 【分析与解】⑴开关 S 接通时, L 与 R3 串联支路上,由于 L 自感产生自感电动势,电流从
S 飞至 S1 的时间 t ?
零开始增大,故开关 S 刚接通瞬时, I3 ? 0 , I1 ? I 2 ?

E 10 ? A; R1 ? R2 3 R2 R3 ⑵ S 接通、电路稳定时,电路总电阻为 R ? R1 ? ? 22? ,则通过 R1 的电流为 R2 ? R3 50 30 20 I1 ? A ;通过 R2 的电流为 I 2 ? A ;通过 R3 及电感 L 的电流 I 3 ? A; 11 11 11 ⑶再来看 S 接通后再切断的情形:切断瞬间, R1 上电流立刻为零,而由 R2 、 R3 、 L 构
? R2 ? R3 t L

成的 LR 回路中, 电流有一衰减过程, 衰减电流 I ? I 3e

, 切断瞬间即 t ? 0 时,L 、R2 、

R3 回路中电流为

20 A; 11

⑷开关 S 切断长时间后,即电路达到稳定后,三个电阻上均无电流通过。 【例 5】 如图所示, 自感系数分别为 L1 和 L2 的两个线圈, 通过开关 S1 和

S2 接入电动势为 E 、内电阻为 r 的电源上,开始时两个开关都断开,当
开关 S1 闭合并且通过线圈 L1 的电流达到某个值 I 0 后,开关 S2 闭合。求 在开关 S2 闭合后,通过线圈 L1 和 L2 的稳定电流。线圈的电阻不计。 【分析与解】开关 S2 闭合瞬时,通过线圈 L1 的电流为 I 0 ,通过线圈 L2 的电流为零。设达 到稳定时,通过两线圈的电流分别为 I1 和 I 2 ,而通过电源的电流为 霍夫定律,有

E ,由节点电流的基尔 r

I1 ? I 2 ?

E , r I 0 ? I1 , ?t

在开关 S2 闭合至电流稳定的时间内, 两并联线圈上均产生自感 电动势:线圈 L1 电流从 I 0 减为 I1 , 故电动势大小为 E1 ? L1

沿图中箭头所示方向电势升高;线圈 L2 电流从零增为 I 2 ,故电动势大小为 E2 ? L2 沿图中箭头所示方向电势升高。那么对回路应用基尔霍夫第二定律,得

?I 2 , ?t

E1 ? E2 ? L1

I 0 ? I1 ?I ? L2 2 ? 0 。 ?t ?t

解上列两个基尔霍夫定律方程,得到两线圈中稳定电流依次为

I1 ?

L2 E ? L1 I 0 r L E ? L1 I 0 r , I2 ? 1 。 r ( L1 ? L2 ) r ( L1 ? L2 )

L1 【例 6】 在如图所示的电路中,

? 10mH ,L2 ? 20mH , C1 ? 10? F ,

C2 ? 5? F , R ? 100k ? ,电源的正弦交流成分振幅保持不变,开关 S
长时间闭合。现打开开关, t 0 时间后,通过 L1 和 L2 的电流分别为

i01 ? 0.1A ,i02 ? 0.2 A ,电压 U0 ? 40V 。试计算电路的固有振荡频率;
确定导线 AB 上的电流以及线圈 L1 中电流的振幅。 【分析与解】开关 S 长时间闭合,原电路为 L1 、 C1 、 L2 、 C2 与 R 并联的交流电路,打开 开关, 电源与 R 不再起作用, 能量不再减少, 电路成为 L1C1 与 L2C2 两个 LC 振荡电路并联, 由固有频率公式 f ?

1

2? LC 1 f ? ? 5.0 ?102 Hz ; 2? LC 为了计算 t 0 时通过 AB 的电流,我们可利用基尔霍夫定律对节点 A 、 B 列出电流守恒方程。设此时正值电容器右极板放电,两电感线 圈中电流如图所示,对 A 点,流入电流有 i01 、 iC1 ,流出电流为 iAB ; 对 B 点,流入电流为 i02 、 iC 2 、 iAB ,则有

可知,两回路频率相同均为

i01 ? iC1 ? iAB , i02 ? iC 2 ? iAB ? 0 , 即 ③ i0 1? iC 1? ?(i 0? 2 iC ) , 2 由于 C1 与 C2 并联,故有 qC1 qC 2 q qC 2 i i ,则 C1 ? ,即 C1 ? C 2 , ? C1 C2 ?t ? C1 ?t ? C2 C1 C2
代入③式中得

C2 iC1 ? ?(i01 ? i02 ) ,则 iC1 ? 0.2 A , C1 将其代入关于 A 点或 B 点的电流方程中即可求出 iAB ? ?0.1A , “ ? ”表示方向与所设 iC1 ?
方向相反。 打开开关后, L1C1 与 L2C2 两个 LC 振荡电路独立地以相同频率振荡,连接两回路的导 线 AB 中似乎应无电流通过,但我们求出 t 0 时刻 iAB ? 0 ,这表明在这个回路里除振荡电流 成分外,还有直流成分,当然它来自电源,即交流电源由正弦式电流与直流合成,切断电源 后,由于 LC 回路无电阻,直流成分不会衰减。在 t 0 时刻, L1 上电流 i01 应是振荡电流 i01L 与 直流 iAB 之和,因为直流不能通过电容器,直流 iAB 肯定全部通过电感线圈。故此时 L1 上振 荡电流 i01L ? i01 ? iAB ? 0.2 A ,当振荡电流达最大值 i1Lm 时,电容器放电完毕,由能量守恒 可知, t 0 时的磁场能与电场能此时全部为线圈中磁场所有,即

1 1 2 1 2 C1U 02 ? L1i01 L1i1Lm , L ? 2 2 2
代入数据得
2 i1Lm ? i01 L ?

C1 2 U 0 ? 1.28 A 。 L1

【例 7】如图( a ) 、 ( b )是 ? 接法和 Y 接法的两个对称的三 相负载电路, 每相电阻分别是 R 和 r , 将它们先后接在同一个 R 三相电源上后,线电流恰好相等,求 与 r 的关系。 【分析与解】设三相电源的线电压为 U 线 。对 ? 接法的三相负载,其相电压即为 U 线 ,相电 流为 I ?相 ? 为 IY 相 ?

U线 R

,线电流 I ?线 ?

3?

U线 R

;对 Y 接法的三相负载,其相电压为

U线 3

,相电流

U线 3r

,线电流等于相电流。由题意两负载先后接同一个三相电源上后,线电流恰

好相等,即

3?

U线 R

?

U线 3r



易得 R 与 r 的关系满足 R ? 3r 。 【例 8】如图所示,三相交流的相电压为 220V ,负载是不对称的纯 电阻, RA ? RB ? 22? , RC ? 27.5? ,按星形连接。⑴试求中线 电流;⑵试求各线电压;⑶若中线断开,试求各线电流。 【分析与解】先用计算中线电流 I 0 。由于星形连接的三相负载不对 称,故中性线上有电流,三相电流两两之间有

2? 的相差,同时每 3

相电流振幅不尽相同,由欧姆定律可求出各相电流为

220 220 A ? 10 A , I C ? A ? 8A 。 22 27.5 2? 4? ) A , iC ? 8 2 sin(?t ? ) A ,中线 若 iA ? 10 2 sin ?tA ,则 iB ? 10 2 sin(?t ? 3 3 I A ? IB ?
上电流为三相电流之和,故有

2? 4? ? ? i0 ? ?10 2 sin ?t ? 10 2 sin(?t ? ) ? 8 2 sin(?t ? ) ? 3 3 ? ? 2? 4? ? ? ? ? ?10 2 sin(?t ? ) ? 8 2 sin(?t ? ) ? 3 3 ? ? 4? ? ? ?2 2 sin(?t ? ) ? 2 2 sin(?t ? ) A 3 3 ? 即中线上电流(有效值) I 0 ? 2 A ,相位比 A 相电流落后 。现在确定各线电压分别 3


2? ? ? ? u AB ? u A ? uB ? 220 2 ?sin ?t ? sin(?t ? ) ? V ? 380 2 cos(?t ? )V 3 ? 3 ? ; ? 380 2 sin(?t ? )V 6 2? 4? ? ? ? ? uB ? uC ? 220 2 ?sin(?t ? ) ? sin(?t ? ) ? V ? 380 2 sin(?t ? )V ; 3 3 ? 2 ?

?

uBC

4? 7? ? ? uCA ? uC ? u A ? 220 2 ?sin(?t ? ) ? sin ?t ? V ? 380 2 sin(?t ? )V 。 3 6 ? ? 可见三相四线制中,相电压为 220V ,各线电压均为 U线 ? 3U相 ? 380V ,三个线电压两
两之间有

2? 的相差。 3

若中线断开,电路如图所示,各线电压保持不变,各线电流 ? 、 IB ? 、 IC ? ,则有 设为 I A

? ? i? A ? iB ? iC ? 0 ,

? 22i? ), A ? 22iB ? 380 2 sin(?t ? 6 ? ? 22iC ? ? 380 2 sin(?t ? ) , 22iB 2
解之得

?

?

5 366 3 sin(?t ? arctan )A , 7 27 5 366 13 3 ? ? iB sin(?t ? ? ? arctan )A, 7 15 60 2 2? ? ? iC sin(?t ? ) A 。 7 3 i? A ?
故各线电流的有效值分别为

? ? IA

5 5 60 ? ? ? ? 183 A , I B 183 A , I C A。 7 7 7

1、用如图所示的电路测量二极管的反向电流 I ,电容器接入前先充电,使两极板间电压等 于电池电动势, 即 U ? E ? 4.5V 。 然后接入电路, 将其正极板与电池负极相接。 将开关 S 置 于位置 1 ,经时间 t1 ? 1min ,再换接到位置 2 ,此时电流计指针偏转 n1 ? 5 小格。电容器重 新充电再重复实验,这次将 S 置于 1 的时间 t2 ? 2min ,则指针向反方向偏转 n2 ? 20 小格。 设二极管反向电流与所加反向电压无关, 求该反向电流。 ( C ? 10? F )

2、 如图所示, 电容为 C 的电容器充电到电势差为 U , 通过开关与自感系数分别为 L1 和 L2 的 两个并联线圈相连。 如果 S 闭合, 那么经过某段时间后完全重新充电 (即电容器上电压反向) 到两极板间电势差大小仍为 U 。求在这段时间内通过每个线圈的电量 q1 和 q2 ,线圈的电阻 不计。

3、如图所示,两个电容器 C1 ? C2 ? C ,最初两电容器分别带有电量 Q1 ? Q2 ? Q0 ,线圈 的自感系数为 L ,整个电路的电阻均不计。⑴若先闭合开关 S1 ,则电路中将产生电磁振荡, 振荡中电容器 C1 的带电量的最大值为多少?⑵若接着再闭合开关 S2 , C1 带电量的最大值有 无变化?如有,则变化情况如何?

4、在图所示电路中,电池、二极管、电感线圈都是理想的,电池电动势为 E ? 1.5V ,电容 器两板间的电压为 U 。若开关闭合及电流停止后发现,电容器两板极性改变,电压变为 U1 ? 1V ,求电容器原电压 U 的值。

5、在如图所示的铁芯上绕有两个线圈,每个线圈产生的磁场都不穿出铁芯,并且在分叉处 分为相等两部分。当线圈 1 接入电压为 U1 ? 40V 的交流电路中时,线圈 2 上电压为 U ;如 果线圈 2 接入电压为 U 的交流电路中,问线圈 1 上的电压为多少?

6、 如图所示交变电路中, 理想的二极管接入交流电路中, 试求 A 与 K 两点间电压变化范围, 并作出电路中电流 i 、电容器电压 uC 及 A 、 K 间电压随时间变化图线。

7、如图,阻值 R ? 200? 的电阻和电容 C ? 5 ?10 F 的电容器并联,通过此并联电路的交 流电的圆频率 ? ? 10 rad / s ,交流电流表 A 1 的读数 I1 ? 1A ,其内阻很小。试求交流电流
3

?6

表 A2 的读数。

8、如图所示的电路系统。已知 R1 、 R2 、 R3 、 R4 、 L1 和 L2 的值是这样选择的:不管 E 是 固定的, 还是随时间作正弦变化的, 都没有电流流过电流计 G 。 假若 R2 ? 90? , R3 ? 300? ,

R4 ? 60? , L2 ? 900H ,求 R1 和 L1 。

9、如图所示为一短路的超导螺线管,由于接触不完善,超导螺线管里电流发生变化,这个 电流产生的磁场磁感应强度每小时减小 2% 。试求接触电阻 R ,已知螺线管的自感系数 L ? 1H 。

10、如图所示,每个灯泡的额定电压均为 220V ,额定功率相 同,则 a 与 a? 两灯的实际功率之比为 __________(设灯泡电 阻恒定) 11、如图所示, A 、 B 、 C 是三相交流电的三根端线,它们 的线电压是 380V 。 R1 、 R2 、 R3 是阻值相同的三个电阻。 ⑴ S 闭 合 时 , R2 发 热 功 率 为 100W , 可 知 R2 的 阻 值 是 __________。 ⑵ S 断开时, R2 上的电压是__________ V 。这时它的发热功 率为__________ W , R1 发热功率是__________ W 。

12、如图所示,把三组额定电压均为 220V ,额定功率分别为 P 1 ? 1000W , P 2 ? 500W ,

380V 的三相电路中,则: P 3 ? 2000W 的白炽灯 L 1 、 L2 、 L3 接入线电压为 ⑴流过每相负载的电流 I A ? _______ A , I B ? _______ A , IC ? _______ A 。 ⑵ A 相负载断开和短路时,对 B , C 两相负载有何影响?

13、如图所示, A 、 B 、 C 是三相交流发电机中三 个线圈的始端,O 是三个线圈的末端。 E 、 F 、G 间是三个相同负载的示意图。照明电路中的三个电 灯相同。 E 、 F 、G 间某个负载两端的电压与某个 灯泡两端的电压之比是_______。 若交流电流表 A 1的 读数是 I1 ,交流电流表 A2 的读数是 I 2 ,那么通过

F 、 G 间的负载的电流是_______,通过交流电流表 A3 的电流是_______。 14、如图所示,采用三相四线制供电的线路,相电压是 220V 。今有一三相交流电动机,铭 牌上标明;接法 ? ,电压 380V 。为使此电动机能正常工作,请在图中画出正确的连线。 (图 中 S 为三刀单掷开关)

15、 在三相四线制照明电路中,A 相接通 8 盏 “ 220V 100W ” 灯泡,B 相接通 2 盏 “ 220V 100W ”灯泡, C 相中没有接通灯泡,这时接通的灯泡都正常发光。因某种原因,中性线 断开,将会发生什么现象?

16、如图所示的交流电路,电源电动势 E ? E0 sin ?t ,且 ? L ? 电流 i (t ) 。

1 ? R ,试求电路中干路 ?C


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