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正弦定理ppt


正弦定理 正弦定理

在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一 般记为a,其余类似)的关系:
b a sin B ? sin A ? c c c sin C ? 1 ?
c
不难得到:
b

A

c

a b c ? ? sin A sin B sin

C

C

a

B

在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C

b A
c

a

B

若三角形是锐角三角形, 如图1,
c

A b C

过点A作AD⊥BC于D, 此时有 sin B ?
AD , sin C c

B

?

AD b

图1

D

b c ? , 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C a c 同理可得 ? , sin A sin C

a b c 即: ? ? sin A sin B sin C

若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC, 交BC延长线于D, 此时也有 sin B ?
b
AD c

且 sin (? ? C) ? AD ? sin C
a b c 仿(2)可得 ? ? sin A sin B sin C

A c b

B

图2 C

D

正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.



a b c ? ? sin A sin B sin C

思考:你能否找到其他证明正弦定理的方法?

a b c ? ? ? 2R 另证1: sin A sin B sin C
(R为△ABC外接圆半径)

证明:作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,
' ? ? ?BAC ? 90 ?, ?C ? ?C

B
a O A b C

c

a b 同理 ? 2 R, ? 2R sin A sin B a b c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C

c ? sin C ? sin C ? 2R c ? ? 2R sin C
'

C/

1 1 1 另证2: S ab sin C ? bc sin A ? ac sin B ?ABC ? 2 2 2
A

c
B

b
ha

证明: ∵ S ?ABC
C ∴

1 ? aha 2

Da

而 h ? AD ? c ? sin B ? b sin C a

同理


S ?ABC

S ?ABC

1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

1 1 S ?ABC ? ac sin B ? ab sin C 2 2 1 ? bc sin A 2 1 1

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: ? ? ? 2R sin A sin B sin C
1、正弦定理可以解决三角形中的问题: ① 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边,求其他角和边

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: ? ? ? 2R sin A sin B sin C
2、A+B+C=π 3、大角对大边,大边对大角

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: ? ? ? 2R sin A sin B sin C
4、一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: ? ? ? 2R sin A sin B sin C
5、正弦定理的变形形式

6、正弦定理,可以用来判断三角形的 形状,其主要功能是实现三角形边角关 系的转化

定理的应用

已知两角和任意边, 求其他两边和一角

例 1、在△ABC 中,已知c = 10, 。 。 A = 45 , C = 30 ,解三角形 (精确到 0.01)
C b

a
B

A

c

例 2、 已知a=16, b= 16 3, A=30° . 已知两边和其中一边 解三角形 的对角,求其他边和角 a b 解:由正弦定理 ? C
sin A sin B
b sin A 16 3 sin 30 ? 3 ? ? 得 sin B ? a 16 2
16 3
300

16

16

所以B=60°,或B=120° 当 B=60°时
C=90°

A

B

B

c ? 32 .
a sin C c? ? 16 . sin A

当B=120°时 C=30°

变式: a=30, b=26, A=30°,解三角形
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B b sin A 26 sin 30 ? 13 A ? ? 得 sin B ? a 30 30
C
26
300

30

B

所以B=25.70, 或B=1800-25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 (如图) C=124.30,
a sin C c? ? 49.57 sin A
13 sin 25.7 ? 30
?

变式: a=30, b=26, A=30°,解三角形
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B b sin A 26 sin 30 ? 13 A ? ? 得 sin B ? a 30 30
C
26
300

30

B

∵a > b

∴A>B, C=124.30,

三角形中大边对大角

所以B=25.70,
a sin C c? ? 49.57 sin A

13 sin 25.7 ? 30
?

课堂小结
(1)三角形常用公式: A? B ?C

??

1 1 1 S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 a b c ? ? = 2R 正弦定理: sin A sin B sin C
(2)正弦定理的应用

课后作业

P10 习题1.1A组 1, 2(1)(2)

已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13,a=26,B=30°.

[B=90°,C=60°,c= 13 3 ]
(2) b=40,c=20,C=45°.

无解 注:三角形中角的正弦值小于1时,角可能有两解

课堂小结
a b c ? ? (1)正弦定理: sin A sin B sin C
(2)正弦定理应用范围:
① ② =

2R

已知两角和任意边,求其他两边和一角

已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角。(注意解的情况)

课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?

例⒉在△ABC中,已知a=2,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 变式1:在△ABC中,已知a=4,b= 2 2,A=45°, 求B和c。

变式2:在△ABC中,已知a= 4 3 ,b=2 2 ,A=45°, 3 求B和c。

正弦定理应用二:
已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进

而可求其它的边和角。(要注意可能有两解)

自我提高!
练习1、在 ABC中,若A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=( )

A、1:2:3
C、1: 3 :2 A、
?
? B、 6

B、3:2:1
D、2:
2? C、 或 3 3

3 :1

练习2、在 ABC中,若 3a=2bsinA,则B=
?
3

? 5? D、 或 6 6

登高3、在

a b ? ABC中, ,则 cos B cos A

ABC的形状是

A、等腰三角形 C、等腰直角三角形

B、直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形


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