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1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积


§1.3.1 柱体、锥体、台体的 表面积

直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念 直棱柱:侧棱和底面垂直的棱柱. 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱. 正棱锥:一个棱锥的底面是正多边形,并且 顶点在底面的投影是底面的中心.
正棱台:正棱锥被平行于底面的平面所截, 截面和底面之间的部分.

棱锥、棱台
P

/>A1 A
C O A

C1 B1 D1 C O B D

B
D

斜高:侧面等腰三角形底边上的高.

思考1:所谓表面积,是指几何体表面的 面积.怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面 积?

各个侧面和底面的面积之和 或展开图的面积.

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积? 直棱柱的侧面展开图

h

直棱柱的侧面展开图是一个矩形,一般的斜棱柱的侧 面展开图并不是一个平行四边形。高为h,底面多边 形周长为c的直棱柱的侧面积

S直棱柱侧 ? ch

棱锥的展开图
正棱锥的侧面展开图

棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开

h'

h' 正棱锥的侧面展开图是由若干个全等的等腰三角形 组成的,斜高为 h?,底面边长为a的正n棱锥的侧面积

S正棱锥侧

1 1 ? nah? ? ch? 2 2

棱台的展开图
棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开

h'

正棱台的侧面展开图

h'

正棱台的侧面展开图是由若干个全等的等腰梯形组 成的,斜高为 h? ,上底面边长为a下底面边长为b的正 n棱台的侧面积

1 1 S正棱台侧 ? (a ? b)nh? ? (c ? c?)h? 2 2

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 (24页). 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. S 解:先求?SBC 的面积,过点S作SD ? BC,
A B D C

3 a 因为BC=a,SD ? SB ? sin 60 ? 2
?

交BC于点D.

S ?ABC ? 所以:

1 1 3 3 2 BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

3 2 2 S ? 4 ? a ? 3 a 因此,四面体S-ABC 的表面积为: 4

圆柱的表面积
r O?

l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

圆锥的表面积

2?r

l

r

O
2

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )

圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

r 'O’
l

2?r ' 2?r

r

O
2 2

圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关

系?

r O?

r 'O’

l
O

r ’= r
上底扩大

l

r ’= 0
上底缩小

l

r

O

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

2 2 ? S台 ? ? (r ? r ? r?l ? rl ) S锥 ? ?r (r ? l )

典型例题
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 15 cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?

15 cm

? 1000(cm2 )
2 cm 答:花盆的表面积约是1000 .

例3、已知六棱柱 ABCDEF ? A ' B ' C ' D ' E ' F ' 的侧面均为 边长为1的正方形,底面是正多边形。 5?2 3 ⑴求该几何体的表面积 / D ⑵求一动点从A沿表面移动到点 时最短的路程
解:(1)六棱柱6个侧面的面积和为6 ? 12 ? 6 两个底面的面积为 2 ? 6 ? 3 ? 12 ? 3 3
4

?S ? 6 ? 3 3

(2)如图如果动点由A经棱A‘B’沿上底面到达D‘,则最
短线长为AD'=

1 ? (1 ? 3 ) 2 ? 5 ? 2 3

如果动点经侧面通过棱BB’,CC’到 达D‘则最短线长为 : AD'=

32 ? 12 ? 10
5?2 3

? 10 ?

【例4】有一根长为10 cm,底面半径是0.5 cm的圆柱形铁管, 用一段铁丝在铁管上缠绕8圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的 同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确到 0.01 cm)

课堂小结
柱体、锥体、台体的表面积

圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
展开图
特 别 地 :

圆锥 S ? ?r (r ? l )

S直棱柱侧 ? ch

S正棱柱侧 ? nah

各面面积之和

1 1 S正棱锥侧 ? nah? ? ch? 2 2 1 1 S正棱台侧 ? (a ? b)nh? ? (c ? c?)h? 2 2


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