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解析几何练习卷


龙游中学 2014 学年第一学期高二年级统一练习数学(文)试卷
2014.12.26
一、选择题 1.椭圆 2x2 ? 3 y 2 ? 12 的两焦点之间的距离为( A. 2 10 B. 10 C. 2 2 ) D. 2 )

2.焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上的抛物线的标准方程为( A. y 2 ? 16x 或 x2

? ?12 y B. y 2 ? 16x 或 x2 ? 16 y C. y 2 ? 16x 或 x2 ? 12 y D. y 2 ? ?12x 或 x2 ? 16 y

x2 y2 3.若 k∈R,则 k>3 是方程 - =1 表示双曲线的 k-3 k+3 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

(

)

4.在坐标平面内,与点 A(1, 2) 距离为 1 ,且与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有( A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条



5.已知圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? 2)2 ? 4(a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,当直线 l 被 C 截得的弦 长为 2 3 时,则 a ? ( A. 2 )

B. 2 ? 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 1 2 x 6) 且与双曲线 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是( 6.焦点为 (0, 2 A. C.



x2 y 2 ? ?1 12 24 x2 y 2 ? ?1 24 12

B. D.

y 2 x2 ? ?1 24 12 y 2 x2 ? ?1 12 24

7.已知方程 ax2 ? by2 ? ab和ax ? by ? c ? 0(其中ab ? 0, a ? b, c ? 0 ,它们所表示的曲线 可能是( )









,, 8) P 为抛物线上一点,则 PA ? PF 的最小值是 8 .已知抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 和点 A(?1

-1-

( ) A. 16

B.12

C.9
2

D.6

9.如图,F1,F2 是椭圆 C1:

x 2 +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A, 4

B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形, 则 C2 的离心率是( ).

A. 2 10.已知椭圆 C1 :

B. 3

3 C. 2

6 D. 2

x2 y 2 y2 2 ? ? 1 C : x ? ? 1 有公共的焦点,C2 的一条 ( a > b > 0 )与双曲线 2 a 2 b2 4

渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 A.a2 = 二、填空题

13 2

B.a2=13 C.b2=

1 2

D.b2=2

3 11.已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的离心率为 4
12.已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 15上,则 a ? b 的最小值为
2 2



13 .圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) , 则圆 C 的方程 为
2

.

14 . 已 知 椭 圆
PF1· PF2 ?

x y ? ? 1 上 一 点 P 与 椭 圆 的 两 个 焦 点 F1,F2 连 线 的 夹 角 为 直 角 , 则 49 24


2

x2 y 2 (a ?b ? 0 ) 的半焦距为 c , 若直线 y ? 2 x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为 c , ? ?1 a 2 b2 则椭圆的离心率为 .

15.椭圆

16.抛物线 y 2 ? 4 x 的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于 A、B 两点,动点 C
在抛物线上,求△ABC 重心 P 的轨迹方程为
2 2

.

17. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y=kx-2 上至 少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围是_______ 三、解答题 18.如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A. (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

-2-

19.某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸如图 2 所示,某卡车载一集装箱,箱宽 3m,车与箱共高 4m,此车能否通过此隧道?请说明理由.

20.椭圆

3 x2 y 2 ,椭圆与直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 相交于点 P,Q ,且 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

PQ ? 10 ,求椭圆的方程.

x2 y2 6 21.已知椭圆 G: 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0),斜率为 1 的直线 l 与 a b 3 椭圆 G 交于 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程;(2)求△PAB 的面积.

22.已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1). (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M,N 两 点,求|MN|的最小值.

-3-

一、选择题 CAABC DBCDC 9. 解析:椭圆 C1 中,|AF1|+|AF2|=2a=4,|F1F2|=2c= 2 3 .又四边形 AF1BF2 为矩形,∴ ∠F1AF2=90°,∴|AF1| +|AF2| =|F1F2| ,∴|AF1|= 2 ? 2 ,|AF2|= 2 ? 2 ,∴双曲线 C2
2 2 2

中,2c= 2 3 ,2a=|AF2|-|AF1|= 2 2 ,故 e ?

3 6 ,故选 D. ? 2 2

10.解析:由双曲线 x ?
2
2 2

y2 =1 知渐近线方程为 y ? ?2 x ,又∵椭圆与双曲线有公共焦点, 4

∴椭圆方程可化为 b x + b 2 ? 5 y 2 = b 2 ? 5 b 2 ,联立直线与椭圆方程消 y 得,
2

?

?

?

?

x

?b ?

1 ? 5 b2 b 2 ? 5 b 2 2a 2 2 ? ,又∵ C1 将线段 AB 三等分,∴ 1 ? 2 ? 2 ,得 b ? . 2 2 2 5b ? 20 3 5b ? 20
2

?

?

?

二、填空题 11、

5 5 或 4 3

12、3

13、 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 16. y ?
2

14、48

15、 2 ? 1

4? 2? ? x ? ? ( x ? 1) 3? 3?

17. ?0, 4 ? ? 3? ? ?

16.解析:因点 P x,y 是重心,则由分点坐标公式得: x ?

?

?

x1 ? 2 y ,y ? 1 3 3

即 x1

? 3x ? 2,y1 ? 3 y

2 由点 C x1 ,y1 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,得: y1 ? 4 x1

?

?

将 x1 ? 3x ? 2,y1 ? 3 y 代入并化简,得: y ?
2

4? 2? ? x ? ? ( x ? 1) 3? 3?

三、解答题 18.(1)-1 (2)(x-2) +(y-1) =4 19.解:取抛物线顶点为原点,水平向右为 x 轴正方向建立直角 坐标系,设抛物线方程为 x2 ? ?2 py( p ? 0) ,
? 3) , 当 x ? 3 时, y ? ?3 ,即取抛物线与矩形的结合点 (3,
2 2

代入 x2 ? ?2 py ,得 9 ? 6 p ,则 p ? 故抛物线方程为 x2 ? ?3 y .

3 , 2

-4-

已知集装箱的宽为 3m,取 x ?

3 , 2

1 3 则 y ? ? x2 ? ? . 3 4

3 1 而隧道高为 5m, 5m ? m ? 4 m ? 4m . 4 4 所以卡车可以通过此隧道.
20.解: e ?
c 3 3 ? a. ,则 c ? a 2 2

由 c 2 ? a 2 ? b 2 ,得 a2 ? 4b2 .
? x2 y2 , ? 2 ? 2 ?1 由 ? 4b b ? x ? 2 y ? 8 ? 0, ?

消去 x ,得 2 y 2 ? 8 y ? 16 ? b2 ? 0 . 由根与系数关系,得 y1 ? y2 ? ?4 , y1 y2 ?
2

16 ? b2 . 2

PQ ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? 5( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 10 ,
即 5[16 ? 2(16 ? b2 )] ? 10 ,解得 b 2 ? 9 ,则 a 2 ? 36 . 所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1. 36 9

c 6 21.解 (1)由已知得 c=2 2, = . a 3 解得 a=2 3,又 b2=a2-c2=4. x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m. y=x+m ? ? 2 2 由? x y , + =1 ? ?12 4 得 4x2+6mx+3m2-12=0.① 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2) (x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= =- ,y0=x0+m= ; 2 4 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB. m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2. 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0.所以 y1=-1,y2=2.
-5-

|-3-2+2| 3 2 所以|AB|=3 2.此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· d= . 2 2 22.解:(1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x =2py(p>0),则 所以抛物线 C 的方程为 x =4y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1. 由?
2 2

p ? 1, 2

? y ? kx ? 1, 2 消去 y,整理得 x -4kx-4=0, 2 ?x ? 4 y

所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4 k 2 ?1 .

y1 ? ? y ? x, x1 由? ? y ? x ? 2, ?
解得点 M 的横坐标 xM ?

2 x1 ? x1 ? y1

2 x1 8 ? . 2 x1 4 ? x1 x1 ? 4

同理点 N 的横坐标 xN=

8 . 4 ? x2

所以|MN|= 2 |xM-xN| = 2

8 8 ? 4 ? x1 4 ? x2 x1 ? x2 x1 x2 ? 4? x1 ? x2 ? ? 16

=8 2



8 2 k 2 ?1 . | 4k ? 3 |

t ?3 . 4 25 6 当 t>0 时,|MN|= 2 2 2 ? ? 1>2 2 . t t
令 4k-3=t,t≠0,则 k ?

? 5 3 ? 16 8 ? 2. 当 t<0 时,|MN|= 2 2 ? ? ? ? ? t 5 ? 25 5 25 4 8 2. 综上所述,当 t ? ? ,即 k ? ? 时,|MN|的最小值是 3 3 5

2

-6-


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