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点线面之间的位置关系


点线面之间的位置关系
一、选择题: 1. 已知下列四个命题:①很平的桌面是一个平面;②一个平面的面积可以是 4 m ;③平 面是矩形或平行四边形; ④两个平面叠在一起比一个平面厚. 其中正确的命题有 ( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 2. 下列说法正确的是 ( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.平面 ? 和平面 ? 有不同在一条直线上的三个交点 3. 下列命题为真命题的是( ) A.平行于同一平面的两条直线平行 B.垂直于同一平面的两条直线平行 C.与某一平面成等角的两条直线平行 D.垂直于同一直线的两条直线平行 4. 若直线 l ∥平面 ? ,直线 a ? ? ,则 l 与 a 的位置关系是 A. l ∥ a B. l 与 a 异面 C. l 与 a 相交 D. l 与 a 没有公共点 5. 如右图所示,正三棱锥 V ? ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中, D, E, F 分别是 VC,VA, AC 的中点, P 为 VB 上任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是(
0

2


0

V

A. 30 B. 90 C. 60 D.随 P 点的变化而变化。 6. 已知 PD⊥矩形 ABCD 所在的平面,图中相互垂直的平面有( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 7. 若 l , m, n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题中 为真命题的是( ) A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? n, m ? n ,则 l // m D.若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? 8. 已知 m, n 是两条不同直线,? , ? , ? 是三个不同平面, 下列命题中正确的 为 ( ) A.若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ∥ ? B.若 m ? ? , n ? ? , 则 m ∥ n m ∥ n m ∥ ? , n ∥ ? C.若 ,则 D.若 m ∥? , m ∥ ? , 则 ? ∥ ?

0

E F P B

D

A

C

P

第5题

D A
第6题

C B

9. 正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,直线 D?A 与 DB 所成的角为( ) 0 0 0 0 A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 0 A ? BCD AC ? 10. 在三棱锥 中, 底面 BCD, BD ? DC, BD ? DC, AC ? a, ?ABC ? 30 , 则点 C 到平面 ABD 的距离是( ) A.

5 a 5

B.

15 a 5

C.

3 a 5

D.

15 a 3


二、填空题: 11. 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,平面 AB1D1 和平面 BC1D 的位置关系为

12. 空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E.F 分别是 AB、CD 的中点, EF ? 3 ,则异 面直线 AD 和 BC 所成的角的度数为 . P 13. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 为 PC 中点.则 EB 和 底面 ABCD 成角正切值 .
B

E
B

C
B

B A
B

D
B

第 13 题

B

14. 如 图 , PA ⊥ 平 面 ABC , AB ⊥ BC , PA=AB=BC=2 , 则 二 面 角 P—BC—A 的 大 小 为 . P
N D C M B F

A 第 14 题 B

C

E

A

第 15 题

15. 如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中, 以下四个命题: ⑴ BM 与 ED 平行;⑵ CN 与 BE 是异面直线;⑶ CN 与 BM 成 60? ; ⑷ CN 与 AF 垂直. 其中正确的有 (写出所有正确命题的序号). 三、解答题: 16. 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC , ?ABC 是边长为 2 的等边三角形, D 为 AB 边中点,且 CC1 ? 2 AB . C1 B1 ⑴ 求证:平面 C1CD ? 平面 ABC ;⑵ 求证: AC1 ∥平面 CDB1 ; A ⑶ 求三棱锥 D ? CBB1 的体积.
1

C D A

B

17. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (1)求证:B1D⊥平面 A1C1B; (2)求三棱锥 B1-A1C1B 的体积; (3)求异面直线 BC1 与 AA1 所成的角的大小.
D1 A1 B1 D A B C1

C

第 17 题

18. 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形, PA⊥ 底面 ABCD, E, F 分别是 AC, PB 的 中点. (1) 证明: EF∥ 平面 PCD; (2) 若 PA=AB, 求 EF 与平面 PAC 所成角的大小.

19. 如图,已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 , AA1 ? 4 . E 、 F 分 别是棱 CC1 、 AB 中点. ⑴ 求证: CF ? BB1 ; ⑵求四棱锥 A ? ECBB1 的体积;
C1

⑶ 判断直线 CF 和平面 AEB1 的位置关系, 并加以证明.

A1 E

B1

C

A

F

B

20. 如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD , BD 交 AC 于点 E , F 是 PC 中点, G 为 AC 上一点. ⑴求证: BD ? FG ; ⑵确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG //平面 PBD ,并说明理由.
P

F

A E G B C

D

21. 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , D 为侧棱 PC 上一点, 它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示. ⑴证明: AD ? 平面 PBC ; ⑵求三棱锥 D ? ABC 的体积; ⑶在 ?ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ ∥平面 ABD ,并求此时 PQ 的长.
P D
4 2 2 2 4 2 2 2

A B

C

4

正(主)视图

侧(左)视图

点线面之间的位置关系参考答案
题 号 答 案 11、平行 1 A 2 C 12、120° 3 B 4 D 13、 5 B 6 C 14、450 7 D 8 B 9 C 10 B

5 5

15、 ⑶⑷

16、⑴证明:因为 CC1 ? 平面 ABC ,又 CC1 ? 平面 C1CD , 所以平面 C1CD ? 平面 ABC . ⑵证明:连结 BC1 交 B1C 于 O ,连结 DO ,则 O 是 BC1 的中点, DO 是 ?BAC1 的中位线.所以 DO ∥ AC1 . 因为 DO ? 平面 CDB1 ,所以 AC1 ∥平面 CDB1 ; ⑶解:因为 CC1 ? 平面 ABC ,所以 BB1 ? 平面 ABC ,所以 BB1 为 三棱锥 D ? CBB1 的高.
1 1 1 3 2 3 VD ?CBB1 ? VB1 ?CBD ? S?BCD ? BB1 ? ? ? ? 22 ? 4 ? . 3 3 2 4 3
C D A C1 A1 O B1

B

2 3 所以三棱锥 D ? CBB1 的体积为 . 3 17、 (1)证明:如图,连 BD、B1D1, ∵ A1B1C1D1 是正方形, ∴ A1C1⊥B1D1, 又∵ BB1⊥底面 A1B1C1D1,A1C1 底面 A1B1C1D1,

D1 A1 B1 D A B

C1

∴ A1C1⊥BB1,∴ A1C1⊥平面 BB1D1D, ∴ B1D⊥A1C1,同理可证:B1D⊥BC1,且 A1C1∩BC1=C1, 故 B1D⊥平面 A1C1B. (2)解: VB1 ? A1C1B ? VB ? A1B1C1 ?

C

1 1 1 1 S ?A1B1C1 ? BB1 = · ·1·1·1= . 3 3 2 6

(3)解:∵ AA1∥BB1, ∴ 异面直线 BC1 与 AA1 所成的角就是 BC1 与 BB1 所成的角,即∠B1BC1=450. 故异面直线 BC1 与 AA1 所成的角为 450. 18、(1) 证明: 如图, 连结 BD, 则 E 是 BD 的中点. 又 F 是 PB 的中点,,所以 EF∥ PD. 因为 EF 不在平面 PCD 内, 所以 EF∥ 平面 PCD. (2) 连结 PE. 因为 ABCD 是正方形,所以 BD⊥ AC. 又 PA⊥ 平面 ABC,所以 PA⊥ BD. 因此 BD⊥ 平面 PAC.故∠ EPD 是 PD 与平面 PAC 所成的角. 因为 EF∥ PD, 所以 EF 与平面 PAC 所成的角的大小等于∠ EPD. 因为 PA=AB=AD, ∠ PAD=∠ BAD= 90 , 所以 Rt△ PAD ≌ Rt△ BAD. 因此 PD=BD.
?

ED 1 ? ? ,得∠ EPD= 30 . PD 2 ? 所以 EF 与平面 PAC 所成角的大小是 30 .
在 Rt△ PED 中,sin∠ EPD= 19、⑴∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直棱柱,∴ BB1 ? 平面 ABC .

又∵ CF ? 平面 ABC , ∴ CF ? BB1 . ⑵解:∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直棱柱, ∴ BB1 ? 平面 ABC . 又∵ AC ? 平面 ABC ,∴ AC ? BB1 .
A1 C1

E ∵ ?ACB ? 90 ,∴ AC ? BC . ∵ BB1 BC ? B ,∴ AC ? 平面 ECBB1 . 1 G ∴ VA? ECBB1 ? SECBB1 ? AC . C 3 1 ∵ E 是棱 CC1 的中点,∴ EC ? AA1 ? 2 . 2 A B F 1 1 ∴ SECBB1 ? ( EC ? BB1 ) ? BC ? ? (2 ? 4) ? 2 ? 6 . 2 2 1 1 ∴ VA? ECBB1 ? SECBB1 ? AC ? ? 6 ? 2 ? 4 . 3 3 ⑶解: CF ∥ 平面 AEB1 .证明如下:取 AB1 的中点 G ,联结 EG , FG . 1 ∵ F 、 G 分别是棱 AB 、 AB1 中点,∴ FG ∥ BB1 , FG ? BB1 . 2 1 又∵ EC ∥ BB1 , EC ? BB1 ,∴ FG ∥ EC , FG ? EC . 2 ∴四边形 FGEC 是平行四边形, ∴ CF ∥ EG . 又∵ CF ? 平面 AEB1 , EG ? 平面 AEB1 , ∴ CF ∥ 平面 AEB1 . P 19、 ⑴∵ PA ? 面 ABCD ,四边形 ABCD 是正方形, 其对角线 BD 、 AC 交于点 E , ∴ PA ? BD , AC ? BD .∴ BD ? 平面 APC , ∵ FG ? 平面 PAC ,∴ BD ? FG F 3 ⑵当 G 为 EC 中点,即 AG ? AC 时, 4 A FG ∥ /平面 PBD , 理由如下: E G 连 结 PE , 由 F 为 PC 中 点 , G 为 EC 中 点 , 知 B C F G∥ P E ,而 FG ? 平面 PBD , PB ? 平面 PBD , 故 FG //平面 PBD . 21、⑴因为 PA ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC , 又 AC ? BC ,所以 BC ? 平面 PAC ,所以 BC ? AD . 由三视图可得,在 ?PAC 中, PA ? AC ? 4 , D 为 PC 中点,所以 AD ? PC , 所以 AD ? 平面 PBC , ⑵由三视图可得 BC ? 4 , 由⑴知 ?ADC ? 90? , BC ? 平面 PAC , P 又三棱锥 D ? ABC 的体积即为三棱锥 B ? ADC 的体积, 1 1 1 16 D 所以,所求三棱锥的体积 V ? ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? . 3 2 2 3 ⑶取 AB 的中点 O ,连接 CO 并延长至 Q ,使得 CQ ? 2CO ,点 Q

B1

D

即为所求. 因为 O 为 CQ 中点,所以 PQ ∥ OD , 因为 PQ ? 平面 ABD , OD ? 平面 ABD ,所以 PQ ∥平面 ABD , 连接 AQ , BQ ,四边形 ACBQ 的对角线互相平分, 所以 ACBQ 为平行四边形,所以 AQ ? 4 ,又 PA ? 平面 ABC , 所以在直角 ?PAD 中, PQ ? AP2 ? AQ2 ? 4 2 .

A

C B

Q

O


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