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考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


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充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、 充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.(2010·天津高考文科·T5)下列命题中,真命题是( (A) ?m ∈ R,使函数f(x)=x + mx(x ∈ R)是偶函数
2 2 (B) ?m ∈ R,使函数f(x)=x + mx(x ∈ R)是奇函数 2 (C) ?m ∈ R,使函数f(x)=x + mx(x ∈ R)都是偶函数 2 (D) ?m ∈ R,使函数f(x)=x + mx(x ∈ R)都是奇函数



【命题立意】考查简易逻辑、二次函数的奇偶性。 【思路点拨】根据偶函数的图像关于 y 轴对称这一性质进行判断。
2 【规范解答】选 A,当 m = 0 时函数 f ( x) = x 的图像关于 y 轴对称,故选 A。

2.(2010·天津高考理科·T3)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( (A)若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 (B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 (D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 【命题立意】考查命题的四种形式中的否命题的概念。 【思路点拨】原命题“若 p 则 q ” ,否命题为“若 ?p 则 ?q ” 。

)

【规范解答】选 B,明确“是”的否定是“不是” ,并对原命题的条件和结论分别进行否定,可得否命题为 “若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数” 。
2 3.(2010·辽宁高考文科·T4)已知 a>0,函数 f ( x ) = ax + bx + c ,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,

则下列选项的命题中为假命题的是(



(A ) ? x ∈ R , f ( x ) ≤ f ( x 0 ) (C ) ? x ∈ R , f ( x ) ≤ f ( x 0 )

(B) ? x ∈ R , f ( x ) ≥ f ( x 0 ) (D ) ? x ∈ R , f ( x ) ≥ f ( x 0 )

【命题立意】本题考查二次函数的顶点与最值问题,全称命题与特称命题。

【思路点拨】

x0 = ?

b 2a ,由于 a>0,所以 f ( x0 ) 是 f ( x) 的最小值。
x0 = ? b b f ( x0 ) = f (? ) 2a , 2a 是二次函数 f ( x) ∵a>0, ∴ f ( x) = f ( x0 )
,可判定(A) (B)选

【规范解答】 C, x0 满足方程 2ax+b=0, 选 由 可得

的最小值,可判定 D 选项是真命题,C 选项是假命题;存在 x= x0 时, 项都是真命题,故选 C。 4.(2010 ·海南宁夏理科·T5)已知命题

p1 p2

x ?x :函数 y = 2 ? 2 在 R 为增函数, x ?x :函数 y = 2 + 2 在 R 为减函数,

则在命题 (A)

q1



p1 ∨ p2



q2

: ,

p1 ∧ p2 q3



q3



( ?p1 ) ∨ p2 和 q4 : p1 ∧ ( ?p2 ) 中,真命题是(




q1



q3

(B)

q2

(C)

q1

q4

(D)

q2



q4

【命题立意】本小题主要考查逻辑联结词和判断命题的真假. 【思路点拨】先判断出

p1 , p2

的真假,然后再进行相关的判断,得出相应的结论.

x ?x x ?x p 【规范解答】选C.因为 y = 2 为增函数, y = 2 为减函数,易知 1 :函数 y = 2 ? 2 在 R 为增函数是

真命题,

p2

x ?x q q :函数 y = 2 + 2 在 R 为减函数为假命题.故 1 , 4 为真命题.

5.(2010·陕西高考文科·T6) “a>0”是“ (A)充分不必要条件 (C)充要条件

a

>0”的





(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【命题立意】本题考查充分条件、必要条件等的基本概念,属送分题。 【思路点拨】由“条件”的定义求解即可

a a a 【规范解答】选 A 因为“a>0” ? “ >0” ,但是“ >0” ? “a>0 或 a<0” ,所以“ >0”
推不出“a>0” ,故“a>0”是“

a

>0”的充分不必要条件,故选 A。
3 2

6.(2010·广东高考文科·T8) x >0”是“ x >0”成立的( “ A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 B.必要非充分条件 D.充要条件

)

【命题立意】本题考查充要条件的判断以及不等式的基本性质.

【思路点拨】判断由“ x >0”是否能得到“ x >0”. 【规范解答】选 A ,Q “ x >0” ? “ x >0” ;而“ x >0”不能得到“ x >0” ,故选 A .
2 2 3 3

3

2

7.(2010·广东高考理科·T5) “ A.充分非必要条件 C.必要非充分条件

m<

1 4 ”是“一元二次方程 x 2 + x + m = 0 ”有实数解的(

)

B.充分必要条件 D.非充分必要条件

【命题立意】本题考查充分必要条件,一元二次方程根的判定。

【思路点拨】 先求出一元二次方程 x + x + m = 0 ”有实数解的条件,再分析与
2

m<

1 4 的关系。 1 4 ,故选 A 。
)

【规范解答】选 A , 由“一元二次方程 x + x + m = 0 ”有实数解得:
2

12 ? 4m ≥ 0 ? m ≤

8.(2010·福建高考文科·T8)若向量 a = ( x,3)( x ∈ R ) ,则“ x = 4 ”是“ | a |= 5 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

【命题立意】本题考查充分必要条件,平面向量长度的坐标运算。 【思路点拨】先判断 | a |= 5 的充要条件,然后可得结论。 【规范解答】选 A,Q

a = 5,∴ x 2 + 9 = 5,∴ x = ±4



∴ x = 4 ? a = 5, a = 5 ? x = 4

,所以 x = 4 是

a =5

的充分不必要条件。

r r r r r v r v a 、 b 为非零向量。 a ⊥ b ”是“函数 f(x)= xa + b ? xb ? a 9.(2010·北京高考理科·T6) “

(

)(

)

为一次函数”的(

) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

【命题立意】本题考查充分必要条件,向量的数量积、一次函数等知识。

r r r r f ( x) 展开,由一次函数的条件可得到 a ⊥ b 且 | a |≠| b | 。 【思路点拨】把

r r ?a ? b = 0 ? ?r 2 r 2 r r r2 r2 r r r r f ( x) = x 2 a ? b + (b ? a ) x ? a ? b 为一次函数,则 ?b ? a ≠ 0 ,即 a ⊥ b 且 ? 【规范解答】选 B。函数
r r r r | a |≠| b | 。因此“ a ⊥ b ”是“ f ( x ) 是一次函数”的必要不充分条件。

【方法技巧】 (1) a ⊥ b ? a ? b = 0 ; “ p ? q ” p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件。 (2) , 10.(2010·陕西高考理科·T9)对于数列{ an }“ 的( ) (B) 充分不必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

r

r

r r

an+1 > an

(n=1,2…) ”是“ an }为递增数列” {

( A) 必要不充分条件 (C) 必要条件

【命题立意】本题考查充分条件、必要条件等的基本概念及数列的基本概念。 【思路点拨】

an+1 > an ? an > 0 ? an +1 > an ? { an }为递增数列; an+1 > an
,所以

而{ an }为递增数列推不出 【规范解答】选 B ,因为 列”推不出 选B

an+1 > an

an > 0, an +1 > an ? { a }为递增数列;又“ a }为递增数 { n n

an+1 > an

,所以“

an+1 > an

(n=1,2…) ”是“ an }为递增数列”的充分不必要条件,故 {

11.(2010·辽宁高考理科·T11)已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是(

)

1 1 2 ?x ∈ R, ax 2 ? bx ≥ ax0 ? bx0 2 2 (A) 1 1 2 ?x ∈ R, ax 2 ? bx ≥ ax0 ? bx0 2 2 (C)

1 1 2 ?x ∈ R, ax 2 ? bx ≤ ax0 ? bx0 2 2 (B) 1 1 2 ?x ∈ R, ax 2 ? bx ≤ ax0 ? bx0 2 2 (D)

【命题立意】本题考查充分条件、二次函数的最值,全称命题、特称命题。 【思路点拨】构造二次函数 f(x)= 【规范解答】选 C

1 2 ax ? bx(a > 0) ,观察对称轴和最值与 x0 的关系 2

1 2 b b ,当 ax ? bx (a > 0) x = 时f ( x)取得最小值f ( )。 2 a a b 即?x ∈ R, f ( x) ≥ f ( )。 a b 若x0满足方程ax = b(a > 0), 即x0 = , a 1 1 所以有?x ∈ R, f ( x) ≥ f ( x0 ) 即?x ∈ R, ax 2 ? bx ≥ ax0 2 ? bx0; 2 2 1 1 反之若?x ∈ R, ax 2 ? bx ≥ ax0 2 ? bx0,即?x ∈ R, f ( x) ≥ f ( x0 ), 2 2 b 即 当x = x0时 f ( x)取得最小值,而对f ( x)而言,当x = 时取得最小值。 a b 所以x0 = , 即x0满足方程ax = b a 1 1 综上,x0满足方程ax = b的充要条件是 ?x ∈ R, ax 2 ? bx ≥ ax0 2 ? bx0 2 2 令f ( x ) =
12. (2010·湖南高考文科·T2) 下列命题中的假命题是( ... A. ?x ∈ R, lg x = 0 C. B. ?x ∈ R, tan x = 1 D. ?x ∈ R, 2 x > 0 )

?x ∈ R, x 3 > 0

【命题立意】本小题以考存在性命题和全称性命题为载体考查指数不等式、二次不等式、对数不等式和 正切函数的值域. 【思路点拨】考查等价化简. 【规范解答】∵lgx=0, ∴x=1∈R, ∴A 是真命题。 又∵tanx=1 时,x=Л/4∈R, ∴B 正确. C 显然不对,因为 x≤0 时就不成立.对任意 x∈R,2 的 x 次幂都大于零, ∴D 是真命题. ∴答案选 C. 【方法技巧】1、处理命题问题关键是等价化简条件.2、存在性命题和全称性命题没有逆命题、否命题和 逆否命题,只有假言命题才有逆命题、否命题和逆否命题.但任一个命题都有命题的否定,命题的否定是 命题所含范围的对立面.

13.(2010·湖南高考理科·T2)下列命题中的假命题是( A. ? x ∈ R , 2
x?1

)

>0

B. ? x ∈ N , ( x ? 1) > 0
*

2

C. ? x ∈ R , lg x < 1

D. ? x ∈ R , tan x = 2

【命题立意】本小题以考存在性命题和全称性命题为载体考查指数不等式、二次不等式、对数不等式和正 切函数的值域. 思路点拨:对各个式子等价化简. 【规范解答】∵ 2
x?1

> 0 ,∴x∈R,∴A 是真命题.又∵ ( x ? 1)2 > 0 ,∴x∈R 且 x≠1,而 1∈N*,∴B 是假

命题.又 lg x < 1 ,∴0<x<10,∴C 是真命题.又∵y=tanx 的值域为 R,∴D 是真命题.∴答案是 B. 【方法技巧】1、处理条件问题关键是等价化简条件.2、存在性命题和全称性命题没有逆命题、否命题和 逆否命题,只有假言命题才有逆命题、否命题和逆否命题.但任一个命题都有命题的否定,命题的否定是 命题所含范围的对立面. 14.(2010·安徽高考文科·T11)命题“存在 x ∈ R ,使得 x + 2 x + 5 = 0 ”的否定是
2

【命题立意】本题主要考查特称命题的否定,考查考生的转化能力。 【思路点拨】特称命题的否定是全称命题,存在量词“存在” 改为全称量词“任意” ,并把结论否定。 【规范解答】 “存在” 改为“任意”“ = ”改为“ ≠ ” , ,即“对任意 x ∈ R ,都有 x + 2 x + 5 ≠ 0 ”
2

【答案】 “对任意 x ∈ R ,都有 x + 2 x + 5 ≠ 0 ”
2

15.(2010·安徽高考理科·T11)命题“对任何 x ∈ R ,

x?2 + x?4 >3

”的否定是________。

【命题立意】本题主要考查全称命题的否定,考查考生的转化能力。 【思路点拨】全称命题的否定是特称命题,全称量词“任何”改为存在量词“存在” ,并把结论否定。 【规范解答】 “任何” 改为“存在”“ > ”改为“ ≤ ” , ,即“存在 x ∈ R , | x ? 2 | + | x ? 4 |≤ 3 ” 【答案】 “存在 x ∈ R , | x ? 2 | + | x ? 4 |≤ 3 ”


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