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刚体力学


4

3 角动量 角动量守恒定律

一 质点的角动量定理和角动量守恒定律 r 1. 质点的角动量 L

方向: 方向:垂直于 r , p 共同决定的平面 注意: 10 同一运动质点对不同定点的角动量是不同的。 同一运动质点对不同定点的角动量是不同的。 注意 L 0 质点作圆周运动时对圆心的角动量大小: 2 质点作圆周运动时对圆心的角动量大小 大小:

kg ? m ? s r 的延长线到转轴的距离) L = rmv sin α ( P 乘以 p的延长线到转轴的距离 r r
2

r r r L = r × mv
定义
?1

r mv
0

r r r

α

L = rmv = rm( rω ) = mr ω = Jω
2

r

mv

2. 质点的角动量定理

v v dL M= dt

作用于质点的合外力对参考点 的力矩, 作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩,等 角动量随时间的变化率. 随时间的变化率 于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率

v v v v v dp v dL L=r×p = F, = ? dt dt v v v dL d v v v dp dr v = (r × p) = r × + × p dt dt dt dt v v v dL v dp v v dr v v v Q = v,v × p = 0 ∴ =r× = r×F dt dt dt

v v dL M= dt

v v v M d t = L 2 ? L1 ∫t1 t2 v 冲量矩 ∫ M dt
t2

t1

对同一参考点O, 对同一参考点 ,质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量.——质点的角动 等于质点角动量的增量.——质点的角动 量定理

3. 质点的角动量守恒定律 r r r r r r 若 M = 0 则 L2 = L1 或 L = r × P = 恒矢量 r 当质点所受对参考点0的合力矩为零时 的合力矩为零时, 当质点所受对参考点 的合力矩为零时 r r r 质点对该参考点的角动量为一恒矢量. 质点对该参考点的角动量为一恒矢量 r r ---- 质点的角动量守恒定律 F F 注意: 注意: 0 质点的角动量守恒的条件是 1 力心 质点所受对参考点O的合力矩为零 质点所受对参考点 的合力矩为零 r 20 M r 0 的两种可能情况 = 的两种可能情况: r 通过参考点O F = 0 或 合力F 通过参考点 例如有心力 运动质点所受的力总是通过一个固定点。 有心力:运动质点所受的力总是通过一个固定点。 例如有心力:r r r r r 特征: r // F , (Q M = ( r × F ) = 0 ) L=恒矢量 恒矢量 质点对力心的角动量永远守恒! 质点对力心的角动量永远守恒! 30 质点对某点的角动量守恒,对另一点不一定守恒。 质点对某点的角动量守恒,对另一点不一定守恒。 40 角动量守恒,不见得动量守恒。 角动量守恒,不见得动量守恒。 50 是普遍规律,宏观、微观都适用。 是普遍规律,宏观、微观都适用。

例、在光滑的水平桌面上有一小孔0,一细绳穿过小孔, 在光滑的水平桌面上有一小孔 ,一细绳穿过小孔, 其一端系一小球放在桌面上,另一端用手拉绳, 其一端系一小球放在桌面上,另一端用手拉绳, 开始时小球绕孔运动, 开始时小球绕孔运动,速率为 v1 ,半径为 r1 ,当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解:小球受力: 小球受力: 因f 拉为有心力

f拉

r r ∴ L2 = L1

L2 = L1
2

r1 mv 1 = r2 mv r1 v2 = v1 r2

例 一半径为 R 的 光滑圆环置于竖直平面 内. 一质量为 m 的小球 穿在圆环上, 穿在圆环上 并可在圆 环上滑动. 环上滑动 小球开始时 静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 该点在通过环心 水平面上), 水平面上 ,然后从 A 点开始下滑. 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦力略 去不计. 去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角 动量和角速度. 动量和角速度.

v v v 作用, 解 小球受力 P 、FN 作用 FN 的力矩为

零,重力矩垂直纸面向里

M = mgR cosθ
由质点的角动量定理

dL mgR cos θ = dt
∴ dL = mgR cos θ dt

考虑到 ω = dθ dt , L = mR v = mR ω
2

得LdL = m gR cos θ dθ
2 3

由题设条件积分上式



L

0

L d L = m gR
2 3 2

3



θ

0

cos θ d θ
12

得 L = mR
2

( 2 g sin θ )

Q L = mR ω

2g 12 ∴ω = ( sin θ ) R

二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量 ω 绕定轴转动,刚体上每一 刚体以角速度 ω 绕定轴转动 刚体上每一 r 质点都以相同的角速度绕轴作圆周运动. 质点都以相同的角速度绕轴作圆周运动 1 其中质点 ?m i 对轴的角动量为 ?m

Li = ?m i v i ri = ?m i ri ω
2

1

于是刚体上所有质点对轴的角动量,即刚体 于是刚体上所有质点对轴的角动量 即刚体 对定轴的角动量为
2 2

?m i

L = ∑ ?mi ri ω = ( ∑ ?mi ri )ω = Jω

ri

2 刚体定轴转动的角动量定理 作用在质点i上的合力 作用在质点 上的合力 Mi中含有外力作用在质点 的力 中含有外力作用在质点i的力 应等于质点i的角 矩 M i应等于质点 的角 矩 M 和刚体内质点间作用力 i外 外 动量随时间的变化率 的力矩 M .由于刚体内各质点 由于刚体内各质点 即

dLi Mi = dt

i内 内

的内力矩之和应为零,所以在遍 的内力矩之和应为零 所以在遍 及刚体内所有质点后,可得 及刚体内所有质点后 可得

d ∑ Mi = ∑ Mi外+ ∑ Mi内= ∑ Mi外= dt ( ∑ Li )
合力矩 合内力矩为零 合外力矩M 合外力矩 刚体角动量L 刚体角动量

dL 刚体作定轴转动时 刚体所受合外力矩等于 刚体作定轴转动时,刚体所受合外力矩等于 即 M= 刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率. dt 刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率
转动惯量为J的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动 在时 转动惯量为 的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动,在时 的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动 间 t1 到 t2 内,其角速度由 ω 1变为 ω 2 ,则有 其角速度由 则有



t2

t1

Mdt =



L2

L1

dL = L2 ? L1 = J ω 2 ? J ω 1

合外 力矩 的冲 量矩

如果物体在转动过程转动惯量J发生了变化 如果物体在转动过程转动惯量 发生了变化, 发生了变化 设在时间t 内由J 变为J 下式仍然成立 下式仍然成立. 设在时间 1到t2内由 1变为 2,下式仍然成立



物体所受合外力矩的冲 物体所受合外力矩的冲 Mdt = J 2ω2 ? J1ω1 量矩等于物体角动量的 量矩等于物体 物体角动量的 t1 增量---角动量定理 增量 角动量定理

t2

3 角动量守恒定律 当转轴给定时,若作用在物体上的合外力矩为零 可得 当转轴给定时 若作用在物体上的合外力矩为零,可得 若作用在物体上的合外力矩为零 Jω = 恒量 如果物体所受的合外力矩等于零,或者不受外力矩的 如果物体所受的合外力矩等于零 或者不受外力矩的 物体所受的合外力矩等于零 作用,物体的角动量将保持不变.---角动量守恒定律 物体的角动量将保持不变 作用 物体的角动量将保持不变 角动量守恒定律 注意: 注意: 10 系统角动量守恒的条件 系统角动量守恒的条件: 系统所受的合外力矩为零. 系统所受的合外力矩为零 20 对“刚体” “定轴”转动,J 是常数。“角动量 刚体” 定轴”转动, 是常数。 守恒” 就是角速度守恒。 守恒” 就是角速度守恒。 30 若 J 变 ,

J 2 ω 2 = J 1ω1

仍成立. 仍成立

40 适用范围 惯性系,宏观、微观都适用。 适用范围:惯性系 宏观 微观都适用。 惯性系 宏观、

例: 有一子弹 质量为m,以水平速度 有一子弹,质量为 以水平速度 质量为 以水平速度v 射入杆的下端而不复出 不复出,求杆和 射入杆的下端而不复出 求杆和 子弹开始一起运动时的角速度? 子弹开始一起运动时的角速度 碰撞时间很短,考虑: 解: 碰撞时间很短,考虑: 杆和子弹组成的系统动量守恒? 杆和子弹组成的系统动量守恒

O

M.l

v0
系统对轴O角动量守恒! 系统对轴O角动量守恒! 1 mlv 0 = mlv + Ml 2ω 3 m

v0 3m Q v = lω ∴ω = 3m + M l 如果子弹穿出或反弹的情形? 如果子弹穿出或反弹的情形?

质量均为m的两个小钢球固定在一个长为 的两个小钢球固定在一个长为a 例 质量均为 的两个小钢球固定在一个长为 的轻质 硬杆的两端, 硬杆的两端,杆的中点有一轴使杆可在水平面内自由 转动。杆原来静止。另一泥球质量也是m, 转动。杆原来静止。另一泥球质量也是 ,以水平速 垂直于杆的方向与其中的一个钢球发生碰撞, 度V0垂直于杆的方向与其中的一个钢球发生碰撞,碰 后两者粘在一起。求碰撞后杆转动的角速度。 后两者粘在一起。求碰撞后杆转动的角速度。
m

解:选质点系: 选质点系 两个钢球+泥球 两个钢球 泥球 碰撞过程, 碰撞过程,

a/2 o a/2
m V0 m

质点系对o点的合外力矩为零, 质点系对 点的合外力矩为零, 点的合外力矩为零 系统角动量守恒. 系统角动量守恒

由角动量守恒定律, 由角动量守恒定律,得: (a/2) mv0
m V

=(a/2)2mv+(a/2)mv ( )
ω

a/2 o

碰后三质点的速率为
V

a/2

V=a/2 ? ω

ω =2v0/3a

例:如图,圆盘的M、R、及ω0已知。子弹m,以v0 射入盘边缘,求此后盘转动的角速度。 解:对M和m,用动量守恒律,有: mv0 + MV0 = (m + M )u 其中:V0=Rω0 错
v0

R

o

ω0

正确解:对M和m,用角动量守恒律 1 1 2 mRv0 + MR ω0 = ( MR 2 + mR 2 )ω 2 2 1 mRv0 + MR 2ω0 2 ω= 1 ( MR 2 + mR 2 ) 2

例、一根轻绳跨过一定滑轮(滑轮 一根轻绳跨过一定滑轮( Mf 视为圆盘), ),绳的两端分别 视为圆盘),绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体,m1 <m2 ,滑轮的 质量为 m ,半径为 R,所受的摩擦阻 , 绳与滑轮间无相对滑动。 力矩为 Mf ,绳与滑轮间无相对滑动。 试求:物体的加速度。 试求:物体的加速度。 已知: 已知:m1, m2 , m, R, Mf 求: a

m

.

N

R

m1

m2 解: 把m1、m2和m看作一系统 系统所受 m g 看作一系统,系统所受 看作一系统 1 m2 g 合外力有重力m 、 合外力有重力 1g、m2g,这两个力对轴 这两个力对轴 支撑力N通过转轴 的力矩分别为m 的力矩分别为 1gR、m2gR;支撑力 通过转轴 对轴的力 、 支撑力 通过转轴,对轴的力 矩为零.加上阻力矩 加上阻力矩M 系统所受合外力矩为 顺时针为正) 系统所受合外力矩为(顺时针为正 矩为零 加上阻力矩 f ,系统所受合外力矩为 顺时针为正 M=m2gR-m1gR-Mf 系统的总角动量为(顺时针为正 顺时针为正) 系统的角 m: Jω 系统的总角动量为 顺时针为正 动量包括 m1: Rm1v L=Jω+Rm1v+Rm2v m2: Rm2v

根据角动量定理

dL d M= = ( Jω + Rm1v + Rm 2 v ) dt dt

dω dv dv =J + Rm 1 + Rm 2 dt dt dt

= Jα + R ( m1 + m 2 ) a

利用 解得

1 2 α = a / R, J = mR 2 Mf ( m2 ?m1 )g? R a= 1 m1 +m2 + m 2

人与转盘的转动惯量J 例 人与转盘的转动惯量 0=60kg·m2, 伸臂时臂长为 1m,收臂时臂长为 , 0.2m。人站在摩擦可不计的自由转动 。 的圆盘中心上, 的圆盘中心上,每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转动角速度 ω1 的哑铃。 的哑铃 = 3 s-1, 求收臂时的角速度 ω2 ?

o

ω1

解:整个过程合外力矩为0,角动量守恒 整个过程合外力矩为 , 2 2 2 J1 = J 0 + 2ml1 = 60+ 2×5×1 = 70kg? m

= 604kg? m2 . J 2 = J 0 + 2ml2 = 60 + 2 × 5 × 0.2 由 J1ω1 = J 2ω 2 J1ω1 3 × 70 -1 = ω2 = 得 = 3.5s 60.4 J2
2
2

o

ω2

的均匀细杆, 例 质量为 m1、长为 l 的均匀细杆 静止平放在滑动摩擦系数为 ? 的水 平桌面上,它可绕过其端点 平桌面上 它可绕过其端点 o 且与桌 面垂直的固定光滑轴转动,另有一水 面垂直的固定光滑轴转动 另有一水 平运动的质量为m 平运动的质量为 2的小滑块 , 从侧 相碰撞,设碰 面垂直与杆的另一端 A 相碰撞 设碰 撞时间极短,已知小滑块在碰撞前后 撞时间极短 已知小滑块在碰撞前后 的速度分别为 v1 和 v2 ,方向如图所 方向如图所 示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,( 转动过程所需时间 (已知杆绕点 o 的转动惯量 J= ml2/ 3 )

o
m1

m2 v1
v2

l A

解:碰撞过程,杆和滑块组成的系统的合外力矩 碰撞过程, 系统角动量守恒。规定逆时针方向为正。 为0 ,系统角动量守恒。规定逆时针方向为正。

m v l = ? m v l + (m l
2 1 2 2 1

2

/ 3)ω

o
m1
m2 v1 v2

碰撞后杆受摩擦力矩的作用 l l ?m ? 1 M r = ∫ ? dm1 gx = ∫ ? ? dx ? gx 0 0 ? l ? 1 = ? m1 gl 2 1 l ? M r dt = 0 ? m1 l2 ω 由角动量定理 ∫0 3
得:

l A

t = 2 m2 (v1 + v2 ) / ? m1 g

质量为M半径为 半径为R的转台可绕通过中心的竖直轴转 例 质量为 半径为 的转台可绕通过中心的竖直轴转 设阻力可忽略不计,质量为m的一人站在台的边 动,设阻力可忽略不计,质量为 的一人站在台的边 人和台原来都静止,如果人沿台的边缘奔跑一周, 缘,人和台原来都静止,如果人沿台的边缘奔跑一周, 问相对于地面来说,人和转台各转了多少角度? 问相对于地面来说,人和转台各转了多少角度?

ω′

J′

ω

J

解:如果以人和转台为一系统,该系统未受到外力 如果以人和转台为一系统, 矩的作用,故角动量守恒。开始时角动量为零, 矩的作用,故角动量守恒。开始时角动量为零,由 角动量守恒得 Jω ? J ′ω ′ = 0 转台的转动惯量MR2/2,人的转动惯 转台的转动惯量 人的转动惯 量mR2
2 2

ω′

J′

MR ω / 2 ? mR ω ′ = 0

ω

ω = 2m ω ′ / M 人相对转台的角速度为

J

? = ω + ω ′ = ( M + 2m )ω ′ / M
人奔跑一圈所需的时间为

t = 2π / ? = 2πM /[( M + 2m )ω ′]
人相对地面绕行的角度为 θ = ω ′t = 2πM /( M + 2m ) 转台转过的角度

? = ωt = 4πm/(M + 2m) θ + ? = 2π

质量很小长度为l 的均匀细杆, 例 质量很小长度为 的均匀细杆,可绕 过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内 并与纸面垂直的轴在竖直平面内 转动.当细杆静止于水平位置时, 转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小 垂直落在距点O为 l/4 处,并背离 虫以速率 v0 垂直落在距点 向细杆的端点A 爬行. 点O 向细杆的端点 爬行.设小虫与细杆的 质量均为m. 质量均为 .问:欲使细杆以恒定的角速度 转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行? 转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行
O
l/4

解 虫与杆的 碰撞前后, 碰撞前后,系统角 动量守恒

l ?1 l 2? 2 mv0 = ? ml + m( ) ?ω 4 ?12 4 ?
12 v 0 ω= 7 l

12 v 0 ω= 7 l

由角动量定理
d L d ( Jω ) dJ M = = =ω dt dt dt

d 1 dr 2 2 mgr cos θ = ω ( ml + mr ) = 2 mr ω d t 12 dt 考虑到 θ = ω t 7lg 12v0 dr g = cos ωt = cos( t) 得 dt 2ω 24v0 7l 此即小虫需具有的爬行速率. 此即小虫需具有的爬行速率.

[例题 装置如图所示 滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相 例题]装置如图所示 例题 装置如图所示.滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相 同而处于平衡,现有距盘底高为 质量为 质量为m 同而处于平衡,现有距盘底高为h质量为 ? 的胶泥自 由下落,求胶泥粘在盘上时盘获得到初速度 滑轮和绳 由下落,求胶泥粘在盘上时盘获得到初速度.滑轮和绳 质量不计.不计轴承摩擦及绳的伸长 质量不计 不计轴承摩擦及绳的伸长. 不计轴承摩擦及绳的伸长

R

O

R

r r r r1 2
m

O

m? h m

[解]胶泥自由下落至盘面的速度为 v 0 = 2 gh .将盘、 解 胶泥自由下落至盘面的速度为 将盘、 将盘 重物和胶泥视为质点系, 重物和胶泥视为质点系,绳的拉力及物体所受重力为 外力. 因不计滑轮、绳质量及轴承摩擦, 外力 因不计滑轮、绳质量及轴承摩擦,两边绳的拉力 相等;重物与盘所受重力也相等 它们对轴心 它们对轴心O的力矩 相等;重物与盘所受重力也相等.它们对轴心 的力矩 之和为零,故质点系所受外力对 点的力矩之和就等于 之和为零,故质点系所受外力对O点的力矩之和就等于 胶泥的重力矩,不等于零. 但在碰撞时,胶泥与盘之间 胶泥的重力矩,不等于零 但在碰撞时, 的碰撞内力对O点的力矩远大于外力矩之和, 的碰撞内力对 点的力矩远大于外力矩之和,即内力矩 点的力矩远大于外力矩之和 对质点系内各质点运动的影响远大于外力矩的影响. 对质点系内各质点运动的影响远大于外力矩的影响 讨 论质点系内各质点的运动时,可不计外力矩。 论质点系内各质点的运动时,可不计外力矩。故在碰 撞时,可用质点系对 轴角动量守恒方程求近似解 轴角动量守恒方程求近似解. 撞时,可用质点系对O轴角动量守恒方程求近似解 取 垂直纸面朝向读者的方向为O轴正方向, 垂直纸面朝向读者的方向为 轴正方向,有 轴正方向

R( m ′ + m )v1 + Rmv 2 = Rm ′v 0
绳不伸长, 绳不伸长,故 得 代入, 将 v 0代入,得

v1 = v 2 = v

m ′v 0 v= 2m + m ′
m ′ 2 gh v= 2m + m ′


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