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切线的性质定理和判定定理


切线的判定

直线何时变为切线
? 如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角 为∠α,当CD绕点A旋转时, 1.随着∠α的变化,点O到CD的距离 如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如 何变化?
?

B

2.当∠α等于多少度时,点O到CD 的距离等于半径?此时,直线CD与 ⊙O有什么位置关系?为什么?
?



O D

α d C

? 你能写出一个命题来表述这个事实吗?

α ┓ A

切线的判定定理
? 定理 经过半径的外端点,并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.
B

如图 ?∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A 点,且CD⊥OA, ?∴ CD是⊙O的切线.
?



O D

C

A

切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据.

判断下图中的l 是否为⊙O的切线

O
A

O

A

O

A

⑴半径

⑵外端

⑶垂直

证明一条直线为圆的切线时,必须 两个条件缺一不可:①过半径外端 ②垂直于这条半径。

尝试运用
1、如图,已知点B在⊙O 上。根据下列条件,能否判 定直线AB和⊙O相切? ⑴OB=7,AO=12,AB=6 ⑵∠O=68.5°,∠A=21°30′
O

B A

B

2、如图,AB是⊙O的直径, AT=AB,∠ABT=45°。

O T A

求证:AT是⊙O的切线

例1.已知:如图A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B 在圆上,且AB=BC,∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线

证明:连结OB B ∵OB=OC,AB=BC,∠A=30° ∴∠OBC=∠C=∠A=30° 一般情况下,要证明一条直线为圆 ∴∠AOB=∠C+ ∠OBC =60°C O ∵∠ABO=180°-(∠AOB+∠A) 的切线,它过半径外端(即一点已 =180°-(60°+30°) 在圆上)是已知给出时,只需证明 =90° ∴AB⊥OB ∴AB为⊙O的切线

A

直线垂直于这条半径。

3、如图,AB是⊙O的直径,弦AD平分∠BAC, 过D作DC⊥AC ,

求证:DC是⊙O的切线。
A O B

D C

4、如图:点O为∠ABC平分线 上一点,OD⊥AB于D,以O为 圆心,OD为半径作圆。 求证:BC与作⊙O相切。

A D


B C

E

作OE⊥BC于E
当已知条件中没有明确 直线与圆是否有公共点时 辅助线:是过圆心作这条 直线的垂线段。 再证明这条垂线段的长等于半径。

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线. 在判定切线的时候,如果已知点在圆上,则连半径是常用的辅助线


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