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必修5-解三角形


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解三角形
正弦定理 正弦定理: 【变形】 边化角 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C 角化边 sinA ? 【应用】 1、已知两角和任一边 ①三角形内角和求另一角;②正弦定理 例 1. 在△ABC 中, ?A ? 60?,?B ? 30?,a ? 3 ,解该三角形。

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

2、已知两边和一边对角 【注意】这种情况下,存在无解,或多解的情况。 ①先判断是否有解;②确定一解还是两解。 例 2. 在△ABC 中,已知 a ? 5 2, c ? 10, ?A ? 30? ,求 B,C 及 b。

【拓展】三角形的面积公式 S ?

1 1 1 bc sin A ? ac sin B ? ab sin C 2 2 2

例 3. 钝角三角形 ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, ?B ? 30?,求?ABC 面积?

余弦定理 余弦定理:a ? b ? c ? 2bc cos A ; b ? a ? c ? 2ac cos B ;c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2 2 2 2 2 2 2

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【推论】角化边

cosA ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ; cosB ? ; cosC ? 2bc 2ac 2ab

【应用】 1、两边及其夹角 ①余弦定理求第三边,②正弦定理求小边对应的角,③三角形内角和。 例 3. 设△ABC 中, a ? 1, b ? 2, cos C ?

1 ,求 sinB 4

2、三角形三边 ①余弦定理求出第一个角,②正弦定理求第二个角,③三角形内角和求第三角。 例 4. △ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,求 ?BAC

正弦、余弦定理判断三角形形状 三角形形状判断时,利用边与边之间的关系,或者角与角之间的关系两种情况。 思路: ①利用两个定理进行边角互换,边化角,或角化边; ②结合三角恒等变化,或代数式的恒等变形(因式分解、配方、等) 例 5. 在△ABC 中,若 (a ? b ) sin(A ? B) ? (a ? b ) sin(A ? B) ,判断三角形形状。
2 2 2 2

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例 6.在△ABC 中,角 A、B 和 C 的对比分别为 a、b、c,若

bx ? y cos A ? cos B ? 0,ax ? y cos B ? cos A ? 0 平行,则△ABC 中为(
A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角

C



三角形面积、范围有关问题的求解 例 7. △ABC 中,已知 a ? b, c ? 3, cos2 A ? cos2 B ? 3 sin A cos A ? 3 sin B cos B (1)求角 C; (2)若 sin A ?

4 ,求面积。 5

例 8. 设△ABC 中, a ? b tan A ,且 B 为钝角。 (1)证明: B ? A ?

?
2

; (2)求 sin A ? sin C 的取值范围。

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练习题 1.△ABC 中,若 2a sin B ? 3b ,则角 A 等于( 2.△ABC 中, ?ABC ? ) ) ) )

?
4

, AB ? 2 , BC ? 3, sin?BAC =(

3.△ABC 中,已知面积为 3 15 ,b-c=2, cos ? ?

1 ,则 a 的值为( 4

4.△ABC 中,B=120°, AB ? 2 ,A 的角平分线 AD ? 3 ,则 AC 的值为( 5.△ABC 中,若 a ?

3 , sin B ?

1 ? , C ? ,则 b 为( 2 6

) ) )

6.若锐角△ABC 面积为 10 3 ,且 AB=5,AC=8,则 BC=( 7.在△ABC 中, b cos C ? c cos B ? 2b, =(

a b

cos B ? 8.在△ABC 中,且 a ? c ,已知 BA ? BC ? 2,
求: (1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值

1 ,b ? 3 。 3

9.在△ABC 中, a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A (1)求 cosA 的值; (2)求 c 的值


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