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2011年霍邱县高中数学竞赛试题参考答案


2011 年霍邱县高中数学竞赛试题参考答案
(第Ⅱ卷)
第Ⅰ卷答题卡: 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
题 答 号 案 1 D 2 B 3 D 4 C 5 A 6 B

二.填空题(本题满分 48 分,每小题 8 分) 7. (0,

15 ) 3

8.

/>3 4

9. 5

10. ?0,1?

11. 3 ? 1

12. (?? , ]

3 2

三.解答题(本大题共 4 小题,共 66 分)要求必须写出必要的演算或证明的过程)
x x x 13. (本题满分 15 分)已知 a 、b 、c 均为正实数,若 x ? 0 ,试比较 a ? b ? c 与 (a ? b ? c) x

的大小。 解:因为 a 、 b 、 c 均为正实数,所以比较 a ? b ? c 与 (a ? b ? c) x 的大小就等价于比较
x x x

ax ? bx ? cx 与 1 的大小。 ( a ? b ? c) x ax ? bx ? cx a b c 令 f ( x) ? ?( )x ? ( )x ? ( )x x a?b?c a?b?c a?b?c ( a ? b ? c)
∵ a ? 0 ,b ? 0,c ? 0 ∴

a b c ? (0,1) , , a?b?c a?b?c a?b?c

∴ f (x) 在( 0,?? )上是减函数
x x x x ∴①当 x ? 1 时, f (1) ? 1 ,则 a ? b ? c ? (a ? b ? c) ;??????????3 分 x x x x ②当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1,则 a ? b ? c ? (a ? b ? c) ????????9 分 x x x x ③当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ,则 a ? b ? c ? (a ? b ? c) ??????15 分

高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 1 页 共 6 页

14. (本题满分 15 分)已知三棱锥 S-ABC 中,SC⊥平面 ABC,AB=BC=CA= 4 2 ,SC=2,D,E 分别为 AB,BC 的中点,若点 P 在线段 SE 上移动,求△PCD 面积的最小值。

?

解:如图过 P 点作 PF ? CB ,垂足为 F ,过 F 点作 FG ? CD ,垂足为 G ,连结 PG

P
F

G

由题意 SC⊥平面 ABC,易知 PF⊥平面 ABC 且 PF⊥FG ∵ FG ? CD ∴CD⊥平面 PFG ∴ PG ? CD ∴△PCD 面积为 S ?PCD ?

1 CD ? PG 2

∵AB=BC=CA= 4 2 ,D 为 AB 的中点。 ∴ CD ? 4 2 ?

3 ?2 6 2

????????????????5 分

设 PF ? x ,由题意可知

PF EF PF ? EC 2 2 x ? ? ? 2x 即得: EF ? SC EC SC 2

则 CF ? CE ? EF ? 2 2 ? 2 x 又因为

2 FG CF 2 2 ? 2 x x ,可得: FG ? 2 ? ? ? 2 BD CB 4 2
高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 2 页 共 6 页

所以 PG ?

PF 2 ? FG2 ? x 2 ? ( 2 ?

2 2 3 2 x) ? x ? 2x ? 2 2 2

???12 分

于是有: S ?PCD ? 当x ?

1 CD ? PG ? 9 x 2 ? 12 x ? 12 2
????????????????15 分

2 时, S ?PCD 取得最小值为 2 2 3

15. (本题满分 18 分) 定义: 已知函数 f (x) 和 g (x) , 若存在常数 k 和 b , 使得函数 f (x) 和 g (x) 对其定义域内的任意实数 x 分别满足 f ( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b , 则称直线 l : y ? kx ? b 为 函数 f (x) 和 g (x) 的隔离直线。 问题(1) :根据“隔离直线”的定义,对于其定义域内的任意实数 x ,

f ( x) ? kx ? b 和

g ( x) ? kx ? b 同时恒成立,从函数图象的角度看,曲线 f (x) 和 g (x) 上的点完全分布在直线 y ? kx ? b 的两侧, 请结合图象直接写出函数 f ( x) ?
线方程: . 问题 (2)设函数 f ( x ) ? :

1 ( x ? 0) 与函数 g ( x) ? 2 ? x 2 的隔离直 x

1 2 x ( x ? 0) , ( x) ? e ln x .试探究 f (x) 与 g (x) 是否存在 g “隔离直线” ? 2
????????????????4 分

若存在,求出“隔离直线”的方程;若不存在,请说明理由。 (1)解: y ? ? x ? 2 (2)解:设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 所以当 0 ? x ?

1 2 e ( x ? e )(x ? e ) x ? e ln x ,则 F ' ( x) ? x ? ? 2 x x

e 时, F ' ( x) ? 0 ;当 x ? e 时, F ' ( x) ? 0 。因此 x ? e 时, F (x) 取最小值

e 0 ,则 f (x) 与 g (x) 的图象在 x ? e 处有公共点 ( e , ) ????????8 分 2 e e 设 f (x) 与 g (x) 存在“隔离直线” ,方程为 y ? ? k ( x ? e ), 即 y ? kx ? ? k e 2 2 e 2 由 f ( x) ? kx ? ? k e 在 x ? R 恒成立,则 x ? 2kx ? e ? 2k e ? 0 在 x ? R 恒成立 2
所以 ? ? 4k 2 ? 4(2k e ? e) ? 4k 2 ? 8k e ? 4e ? 4(k ? e ) 2 ? 0 成立,因此 k ? 下面证明 g ( x ) ?

e

e e x ? ( x ? 0 )恒成立。 2

????????13 分

高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 3 页 共 6 页

设 G ( x) ? e ln x ? x e ? 当x ? 成立。

e e ' , G ( x) ? ? e ? 则 2 x

e ( e ? x) , 所以 0 ? x ? e 时, ' ( x) ? 0 ; G x

e e 时, G ' ( x) ? 0 ;因此 x ? e 时, G (x) 取最大值 0 ,则 g ( x) ? e x ? ( x ? 0 )恒 2 e ex ? 。 2
????????18 分

故所求“隔离直线”方程为 y ?

16. (本题满分 18 分)在 2,3 两个数之间,第一次写上 间和 5,3 之间分别写上 第 0 次操作:2 第 1 次操作:2 第 2 次操作:2 第 3 次操作:

2?3 ? 5 ,第二次在 2,5 之 1

2?5 7 5?3 ? 和 ? 4 ,如下图所示: 2 2 2
5 3 3 4 3

7 2
??

5

第 k 次操作是在上一次操作的基础上,在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 经过第 k 操作后所有数的和记为 S k ,第 k ? 1 次操作后所有数的和记为 S k ?1 (1)写出第 3 次操作后所得到的 9 个数,并求出它们的和. , S3 ? (2)求出 S k ?1 与 S k 之间的关系式;

1 。 k

(3)求 S 6 和 S k 解: (1)第三次操作后所得到的 9 个数为:2,

11 7 17 7 , , ,5,3,4, ,3. 6 2 3 6

S3 ?

55 2

????????????????3 分

(2)由题设知 S 0 ? 5 ,则 S k ?1 ? S k ?

2S k ? S 0 (k ? 3) S k ? 5 k ? 3 5 ? ? Sk ? k ?1 k ?1 k ?1 k ?1
????????????????8 分

(3)解法一:∵ S k ?1 ?

k ?3 5 55 Sk ? 且 S3 ? , k ?1 k ?1 2
高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 4 页 共 6 页

6 5 7 5 8 5 145 S 3 ? ? 40 , S 5 ? S 4 ? ? 55 , S 6 ? S 5 ? ? ????10 分 4 4 5 5 6 6 2 10 因为 S 0 ? 5 ? 2 20 S1 ? 10 ? 2 35 S2 ? 2 55 S3 ? 2 80 S 4 ? 40 ? 2 110 S5 ? 55 ? 2 145 S6 ? ?? 2 10 15 20 25 猜想发现: S1 ? S 0 ? , S 2 ? S1 ? , S3 ? S 2 ? , S4 ? S3 ? 2 2 2 2 30 35 S5 ? S 4 ? , S6 ? S5 ? ??成等差数列 2 2
∴ S4 ?

S k ? (S k ? S k ?1 ) ? (S k ?1 ? S k ?2 ) ? (S k ?2 ? S k ?3 ) ? ? ? (S1 ? S 0 ) ? S 0
10 k (k ? 1) 5 5 k? ? ? 5 ? (k 2 ? 3k ? 4) ?????????????13 分 2 2 2 4 5 2 ⅰ)当 k ? 0 时, S 0 ? (0 ? 3 ? 0 ? 4) ? 5 ,符合题意 4 5 2 ⅱ)假设 k ? n(n ? 0) 时, S n ? (n ? 3n ? 4) 成立, 4 n?3 5 Sn ? 当 k ? n ? 1 时,因为 S n ?1 ? n ?1 n ?1 n?3 5 2 5 ? (n ? 3n ? 4) ? 由假设得: S n ?1 ? n ?1 4 n ?1 ?

?

5(n ? 3)(n 2 ? 3n ? 4) ? 20 5(n 3 ? 6n 2 ? 13n ? 8) ? 4(n ? 1) 4(n ? 1) 5(n ? 1)(n 2 ? 5n ? 8) 5 2 ? (n ? 5n ? 8) 4(n ? 1) 4

?

5 ? [( n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) ? 4] 4
即 k ? n ? 1 时,等式成立
高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 5 页 共 6 页

由ⅰ、ⅱ可得,对于一切自然数 k ,均有 S k ? 所以所求 S k ?

5 2 (k ? 3k ? 4) 成立。 4

5 2 (k ? 3k ? 4) ????????????????18 分 4 k ?3 5 55 Sk ? 解法二:∵ S k ?1 ? 且 S3 ? , k ?1 k ?1 2 6 5 7 5 8 5 145 ∴ S 4 ? S 3 ? ? 40 , S 5 ? S 4 ? ? 55 , S 6 ? S 5 ? ? ????10 分 4 4 5 5 6 6 2 k ?3 5 5 k ?3 5 Sk ? ( S k ? ) (可用待定系数法) ∵ S k ?1 ? 可以变形为 S k ?1 ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 2 5 k ?3 a k 可得: 令 a k ? S k ? ,则 a k ?1 ? 2 k ?1 k ? 2 k ?1 k k ?1 4 3 (k ? 2)( k ? 1) ak ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a0 ? a0 k k ?1 k ? 2 k ? 3 2 1 2 5 5 5 ∵ a 0 ? S 0 ? ? ,∴ a k ? (k ? 2)( k ? 1) 2 2 4 5 5 2 ∴ S k ? a k ? ? (k ? 3k ? 4) ????????????????18 分 2 4

高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 6 页 共 6 页


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