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高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.2知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数

一、学习任务 1. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;初步了解有向线段的概念,会利用单位 圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切. sin α 2. 理解同角三角函数的基本关系式:sin 2 α + cos 2 α = 1 , =

tan α ,并会运用它们进 cos α 行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 二、知识清单
任意角的三角函数定义 同角三角函数的关系式 三角函数线的含义与运用

三、知识讲解
1.任意角的三角函数定义 描述: 三角函数的定义 设 α 是一个任意角, P (x, y) 是其终边上不同于原点的任意一点,它与原点的距离为 ? ? ? ?? ? r = √x2 + y 2 ,那么

y ; r x 叫做 α 的余弦,记作 cos α ,即 cos α = ; r y 叫做 α 的正切,记作 tan α ,即 tan α = (x ≠ 0) ; x x 叫做 α 的余切,记作 cot α ,即 cot α = (y ≠ 0) ; y π 对于每一个确定 α ,都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应;α ≠ kπ + (k ∈ Z) 时, 2 它有唯一的正切值与之对应.因此这三个对应法则都是以 α 为自变量的函数,分别叫做角 α 的
叫做 α 的正弦,记作 sin α ,即 sin α = 余弦函数、正弦函数和正切函数. 三角函数在各象限的符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

y r x r y x x y

sin cos tan

+ + +

+ ? ?

? ? +

? + ?

特殊角的三角函数值

角α 弧度 正弦 余弦 正切

0? 0 0 1 0

30? π 6 1 2 √3 2 √3 3

45? π 4 √2 2 √2 2 1

60? π 3 √3 2 1 2 √3

90? π 2 1 0
不存在

120 ? 2π 3 √3 2 1 ? 2 ?√3

135 ? 3π 4 √2 2 √2 ? 2 ?1

150 ? 5π 6 1 2 √3 ? 2 √3 ? 3

180 ? π 0 ?1 0

270 ? 3π 2 ?1 0
不存在

例题:

? √? 10 x,求 sin θ ,tan θ 的值. 10 ? x x ? ? ? ? ? √? 10 解:因为 r = √x 2 + 9 ,cos θ = ,所以 x= ? ? ? ? ? .又 x ≠ 0,则 x = ±1.又 r 10 √x2 + 9 ? 3√? 10 ,tan θ = 3 ; y = 3 > 0 ,所以 θ 是第一或第二象限角.当 θ 为第一象限角时,sin θ = 10 ? ? 3√10 当 θ 为第二象限角时,sin θ = ,tan θ = ?3. 10
已知角 θ 终边上一点 P (x, 3)(x ≠ 0) 且 cos θ = 已知 cos θ ? tan θ < 0,那么角 θ 是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 第一或第四象限角 解:C C.第三或第四象限角 D.

因为 cos θ ? tan θ < 0,所以 { cos θ < 0, 或 { cos θ > 0, 由 { cos θ < 0, 得角 θ 为第三象 限角,由 { cos θ > 0, 得角 θ 为第四象限角.所以,角 θ 为第三或第四象限角.

tan θ > 0,

tan θ < 0.

tan θ > 0,

tan θ < 0.

2.同角三角函数的关系式 描述: 平方关系

sin 2 x + cos2 x = 1 .
商数关系

倒数关系

sin x = tan x . cos x 1 . tan x

cot x =

例题: 已知 cos α = ? 5 ,求 sin α、tan α 的值.

13 5 解:因为 cos α = ? < 0 ,所以 α 是第二或第三象限角.若 α 是第二象限角,则 13 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 sin α 12 5 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ,tan α = ; sin α = √1 ? cos α = √1 ? (? = 13 = ? ) = 5 13 cos α 5 13 ? 13 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 5 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 若 α 是第三象限角,则 sin α = ?√1 ? cos2 α = ?√1 ? (? , ) =? 13 13 ?

tan α =

sin α = cos α ?

?

12 13 5 13

=

12 . 5



13

13

已知 tan α = 2,求下列各式的值. (1)

3 sin α ? 2 cos α 2 sin 2 α + sin α cos α + cos2 α ;(2) ;(3)sin 2 α + sin α cos α + 2 . 2 2 2 sin α + cos α 4 sin α ? 3 cos α 3 tan α ? 2 3×2?2 4 解:(1)将分子、分母同时除以 cos α,原式 = = = ; 2 tan α + 1 2×2+1 5 2 2 α + tan α + 1 2 2 × + 2+1 11 tan 2 (2)将分子、分母同时除以 cos2 α ,原式 = ; = = 2 2 13 4 tan α ? 3 4×2 ?3 6 16 sin 2 α + sin α cos α tan2 α + tan α (3)原式 = . +2 = +2 = +2 = 2 2 5 5 tan α + 1 sin α + cos2 α ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? √? 1? ? 2? sin 10? cos 10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin 10? ? √1 ? sin 2 10? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? √(cos 10? ? sin 10? )2 | cos 10? ? sin 10? | cos 10? ? sin 10? 解:原式 = = = = ?1 . ? ? ? ? ? ? ? sin 10? ? cos 10? sin 10? ? cos 10? sin 10? ? √cos2 10?
化简下列式子 求证:

1 + 2 sin x cos x cos2

证明:右边

x ? sin 2 x sin x 1 + cos x = sin x 1 ? cos x

=

1 + tan x . 1 ? tan x (cos x + sin x)2 1 + 2 sin x cos x = = = 左边 . (cos x ? sin x)(cos x + sin x) cos2 x ? sin 2 x

3.三角函数线的含义与运用 描述: 如图,设角 α 的终边与单位圆交于点 P . 过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M .过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,设它与 α 的终边(当 α 为第一、四象限角时)或其反向延长线(当 α 为第二、三象限角时)相交于点 T .我们把与单位圆有关的有向线段 MP , OM , AT 分别叫 做角 α 的正弦线,余弦线、正切线,统称为三角函数线.

例题: 画出角 ? 2 π 的正弦线,余弦线,正切线. 解:

3

如图所示,正弦线为有向线段 MP ,余弦线为 OM ,正切线为 AT . ) cos 1 ,sin 1,tan 1 的大小关系是( A.sin 1 < cos 1 < tan 1 B.tan 1 < sin 1 < cos 1 D.cos 1 < sin 1 < tan 1 解:D. C.cos 1 < tan 1 < sin 1

如图所示,因为 OM < MP < AT .所以 cos 1 < sin 1 < tan 1.

? ? ? ? 求下列函数的定义域:(1)y = √? 2?? cos x? ? 1 ;(2)y = lg(3 ? 4 sin 2 x). 解:(1)

1 1 .如图所示,作直线 x = 交单位圆于 A ,B 2 2 π 1 两点,连接 OA ,OB .由题意得,x 的终边落在阴影区域内.因为 cos = ,所以 3 2 π π π π x ∈ [? + 2kπ, + 2kπ](k ∈ Z).所以,该函数的定义域为 [? + 2kπ, + 2kπ](k ∈ Z) . 3 3 3 3
由题意,得 2 cos x ? 1 ≥ 0 ,解得 cos x ≥ (2)

由题意,得 3 ? 4 sin 2 x > 0,所以 sin 2 x < 线 y=?

√3 √3 ,y = 分别交单位圆于 A ,B ,C ,D 四点,连接 OA 、OB 、OC 、OD . 2 2 π π √3 √3 由题意知,x 的终边落在阴影区域内.因为 sin ,sin(? ) = ? ,所以 = 3 2 3 2 π π 2π 4π x ∈ (? + 2kπ, + 2kπ) ∪ ( + 2kπ, + 2kπ)(k ∈ Z),即 3 3 3 3 π π π π x ∈ (? + kπ, + kπ)(k ∈ Z).所以,该函数的定义域为 (? + kπ, + kπ)(k ∈ Z). 3 3 3 3

3 √3 √3 .所以 ? .如图所示,作直 < sin x < 4 2 2

四、课后作业

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1. 化简 √1 ? cos2 190 ? = ( A.cos 190 ?
答案: C

? ? ? ?? ? ? ?? ?

)
C.? sin 190 ? D.? cos 190 ?

B.sin 190 ?

2. 已知点 P (tan α, cos α) 在第三象限,则角 α 的终边在 ( A.第一象限
答案: B

)
D.第四象限

B.第二象限

C.第三象限

3. 已知 α 、 β 都是第二象限角,且 cos α > cos β ,则 ( A.α < β
答案: B

)
D.cot α < cot β

B.sin α > sin β

C.tan α > tan β

解析: 利用单位圆中三角函数线,在第二象限角内通过余弦函数线

位置关系,再作出判断. 4. 如果 MP , OM 分别是角 α = A.MP < OM < 0
答案: D 解析: 如图,可知

cos α > cos β ,找出 α 、 β 的终边

B.MP < 0 < OM

3π 的正弦线和余弦线,那么下列结论正确的是 ( 16
C.MP > OM > 0

)

D.OM > MP > 0

OM > MP > 0.

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