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2014年 深圳 高二下学期期中考试(数学文科)


高二下学期期中考试文科数学试题
命题人:甘超 参考公式:
1 独立性检验表

P (K2 ? k) 0.50
k
0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

>0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

一.选择题(每小题 5 分,共 50 分。把每小题的答案对应选项填涂在答题卡上) 1. 复数 i ? 2 的共轭复数是 ( A. i ? 2 B. ? i ? 2 ) C.

2i ? 1


D. 2 - i

2. 已知 cos ? ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是 (

A 第一或第二象限角 B 第三或第二象限角 C 第三或第四象限角 D 第一或第四象限角 3.已知物体的运动方程是 s ? t ? 3(t 的单位是秒,s 的单位是米) ,则物体在时刻 t =4 秒时
2

的速度为 A.17m/s

(

) B. 4m/s C. 8m/s D. 16m/s

4. 把函数 y ? t an2 x 的图像

_____ 移动得到函数 y ? tan(2 x ?

?
3

) 的图像,且(



y ? tan( 2 x ?
A .向右平移

?
3

) 的周期是_______.

? ? 个单位 ; ? B.向右平移 个单位 ; ? 6 3 ? ? ? ? C . 向左平移 个单位; D . 向左平移 个单位; 6 2 3 2 m ? 1 ? ni ,其中 m, n ? R, i 为虚数单位,则 m ? ni ? ( ) 5. 已知 1? i
A.

1 ? 2i

B.

1 ? 2i

C.

2+i

D.

2?i

6. 函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 (
y
y
y
?
2

? 3?
2 , 2
?

) 内的图像是 (
y
3? 2

)
3? 2

?
2

2 -

?
?
2

2 -

?
?
2

o ?2 -

x

o

?
A

3? 2

x o

?
B

3? 2

x

?

o ?2 -

?

x

?

C

D

7. 设 x, y ? R ,且 x+y=6,则 lg x ? lg y 的取值范围是 ( )
*

A.

?? ?, lg 6?

B. ?? ?,2 lg 3? C. ?lg 6,???
第 1 页 共 7 页

D. ?2 lg 3,???

8. 函数 f ( x) ? ln x ? ax ( a ? 0) 的单调增区间为( A. ? 0,

) D. ?0, a ?

? ?

1? ? a?

B. ? ? ?,

? ?

1? ? a?

C. ?

?1 ? ,?? ? ?a ?

9. 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 开 区 间 ( a, b) , 导 函 数

y

y ? f ?( x)

f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在
b

开区间 ( a, b) 内有极小值点( A.1 个 C.3 个 B.2 个



a

O

x

D. 4 个 )

10.过点(-1,0)作抛物线 y ? x2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为( A. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. 3 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 1 ? 0

二. 填空题 (每小题 5 分,共 30 分。把每小题的答案写在答卷相应的位置上) 11.计算

3?i ? 7 ? 4i



x2 ? x ? log2 x ? sin x 的导数为 x2

12.某高校《统计初步》课程的教师随机调查了学生的一些情况,数据如下表: 非统计专业 男 女 13 7 统计专业 10 20

为 了 判 断 主 修 统 计 专 业 是 否 与 性 别 有 关 , 根 据 表 中 数 据 , 得

50 ? ?13? 20 ? 10 ? 7 ? 2 因为 K ? 3.841,所以判断主修统计专业与性别 K ? ? 4.8 4 4 23? 27 ? 20 ? 30
2 2

有关,这种判断出错的可能为 13. 计算:

cos 180? ? ? ? sin ? ? 360? = sin ? ? ? 180? ? cos ? 180? ? ?

?

?

? ?

? ?

?

?



tan 22.5 ? = 1 ? tan2 22.5 ?



14 . 已 知 圆 的 方 程 为 x ? y ? r , 则 经 过 圆 上 一 点 M ( x0 , y0 ) 的 切 线 方 程 为
2 2 2

x0 x ? y0 y ? r 2 ,类比上述性质,可以得到椭圆
三 .解答题

x2 y2 ? ? 1 的类似性质为 a2 b2

(共 80 分 解答过程写在答卷相应题号的空白处,否则不得分)
第 2 页 共 7 页

15 (本题满分 12 分) (1) 求证: 2 ? 10 ? 3 ? 11 (2) 已知 f ( x) ?

2 x 2 ? 1 ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? f ?an ?, n ? N ,写出数列 ?an ? 的

前 4 项,并归纳出 ?an ? 的表达式. 16(本题满分 12 分) 为了对 2008 年佛山市高考成绩进行分析, (折换成 100 分制)在全体同学中随机抽出 8 位, 若这 8 位同学的数学、物理分数对应如下表: 学生编号 数学分数 x 物理分数 y 1 60 72 2 65 77 3 70 80 4 75 84 5 80 88 6 85 90 7 90 93 8 95 95

(1) 用变量 y 与 x 的相关系数说明物理与数学的相关程度; (2) 求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01) 参 考 数 据 : x ? 77 .5 , y ? 85 ,,

? (x
i ?1

8

i

? x ) 2 ? 1050 ,

?(y
i ?1

8

i

? y ) 2 ? 456 ,,

? (x
i ?1

8

i

? x )( yi ? y ) ? 688, 1050 ? 32.4, 456 ? 21.4 .

相关系数 r ?

? (x
i ?1

n

i

? x )( y i ? y )
n



? (x
i ?1

n

i

? x ) 2 ? ( yi ? y ) 2
i ?1

? ? bx ? a ,其中 b ? 回归直线的方程是: y

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y ) , a ? y ? bx
i

? (x
i ?1

? x)

2

17(本题满分 14 分) 已知在 ?ABC 中, sin A ?

5 3 , cos B ? ,求 cos C . 13 5

18(本题满分 14 分) 若函数 f ?x? ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ? m 在区间 ?0,

? ?? ? 上的最大值为 6, ? 2?

(1)求常数 m 的值; (2)当 x ? R 时的最小值,并求出此时相应的 x 的取值范围 ; (3) f ( x) 关于 y 轴对称后得 f 1 ( x ) ,再把 f 1 ( x ) 右移

? 个单位,纵坐标不变得 f 2 ( x) ,求 4

第 3 页 共 7 页

f 2 ( x) 的单调递减区间。

19(本题满分 14 分) 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=-

2 与 x=1 时都取得极值 3

(1) 求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间; (2) 若对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c2 恒成立,求 c 的取值范围。

20(本题满分 14 分) 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时) 的函数解析式可以表示为:y=

1 3 x2 ? x ? 8 (0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千 128000 80

米。 (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

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高二期中考试文科数学答案
题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 C 6 A 7 B 8 D 9 A 10 A

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分). 11、2 12、 0.05 13、1;

1 2

14、

x0 x y 0 y ? 2 ?1 a2 b

三、解答题: (共 80 分 解答过程写在相应的题号上,否则不得分) 15 (1) 求证: 2 ? 10 ? 3 ? 11

(2) 已知 f ( x) ?

2 x 2 ? 1 ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? f ?an ?, n ? N ,写出数列 ?an ? 的前
(12 分)

4 项,并归纳出 ?an ? 的表达式 解:? a1 ? 1
2

a n?1 ? 2a n ? 1

? a2 ? 3
猜想? a n ?

a3 ? 7
2n ?1

a4 ? 15
n? N*

16(12 分)为了对 2008 年佛山市高考成绩进行分析,在全体同学中随机抽出 8 位, 若这 8 位同学的数学、物理分数事实上对应如下表: (折合成百分制) 学生编号 数学分数 x 物理分数 y 1 60 72 2 65 77 3 70 80 4 75 84 5 80 88 6 85 90 7 90 93 8 95 95

(1) 用变量 y 与 x 的相关系数说明物理与数学的相关程度; (2) 求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01) 参 考 数 据 : x ? 77 .5 , y ? 85 , ,

? (x
i ?1

8

i

, ? x )2 ? 1 0 5 0 , ? ( y i ? y ) 2 ? 456 ,
i ?1

8

? (x
i ?1

8

i

? x )( yi ? y ) ? 688, 1050 ? 32.4, 456 ? 21.4 .

解:(1) 变量 y 与 x 的相关系数分别是

r?

688 ? 0.99 >0.75 32.4 ? 21.4
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-----------------4 分

可以看出,物理与数学的成绩都是高度正相关

………………6



? ?a ? ? bx ? . 根据所给的数据,可以计算出 (3) 设 y 与 x 的线性回归方程分别是 y

? ? 688 ? 0.65 , a ? ? 85 ? 0.65*77.5 ? 34.63 , b 1050
b?
?

…………………10



688 ? 0.66 1050

a ? 85 ? 0.66 * 77.5 ? 33.85

?

所以 y 与 x 和 z 与 x 的回归方程分别是

? ? 0.65x ? 34.63. y
19 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=-

……………12



2 与 x=1 时都取得极值 3

(2) 求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间 (3) 若对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c2 恒成立,求 c 的取值范围。 解: (1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f?(x)=3x2+2ax+b 由 f?( -

2 12 4 1 )= - a+b=0 ,f?(1)=3+2a+b=0 得 a= - ,b=-2 3 9 3 2
(-?,- +

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表: x f?(x) f(x)

2 ) 3



2 3

(-

2 ,1) 3


1 0 极小值

(1,+?) +

0 极大值

?

?

?

2 2 )与(1,+?) ,递减区间是(- ,1) 3 3 1 2 22 (2)f(x)=x3- x2-2x+c,x?〔-1,2〕 ,当 x=- 时,f(x)= +c 2 3 27
所以函数 f(x)的递增区间是(-?,- 为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。要使 f(x)?c2(x?〔-1,2〕 ) 2 恒成立,只需 c ?f(2)=2+c,解得 c?-1 或 c?2 20.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/ 小时)的函数解析式可以表示为:y=

1 3 x2 ? x?8 128000 80

(0<x≤120).已知甲、乙两地相

距 100 千米。 (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗没 (

100 ? 2.5 小时, 40

1 3 ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升) 。 128000 80 100 小时,设耗油量为 h( x) 升, x

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。 (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了
第 6 页 共 7 页

依题意得 h( x) ? (

1 3 100 1 2 800 15 x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 128000 80 x 1280 x 4

h '( x) ?

x 800 x3 ? 803 ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2

令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。

? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25.
因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升

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