当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

第29届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题汇编(共6套)


第 29 届复赛模拟赛题 第一套
满分 160 分 时间 180 分钟 第一题(20 分) 一个半径为 r 的圆环能在水平地面上做纯滚动,在圆环边缘固定有一个半径可以忽略的小滑轮, 某时刻滑轮恰好处于水平位置。 在距离滑轮 r 处有一墙高为 2r 的墙, 一根不可伸长的绳子从墙根连出, 绕过滑轮,从墙顶处绕出(由几何条件可以算出来绳子绕出的是等腰直角三角形的两条边) ,

某人在 墙顶处以速度 v 匀速拉绳子,为了让绳子即不拉断,也不松弛,则此刻 (1)圆环的角速度 ? 为多少? (2)圆环中心相对地面加速度 a 为多少?
ω v a r

第 29 届复赛模拟赛题

2

第二题(20 分) 一个长度为 l 的扁平的水槽与水平夹角为 30o ,水槽的质量为 m ,在两端用细线将水槽吊起来。在 水槽最下端有一个质量为 m 的喷水机, 从水槽中抽水, 以速度 v0 将水沿着与水槽夹角为 ? ? 30o 的方向 喷出,水则刚好能喷到水槽上端,水落回水槽后受到水槽底部阻力的影响,匀速流到水槽底端,形成 稳定的水流。 (1)重力加速度为 g ,求出能将水刚好喷到水槽上端喷水机喷水的速度 v0 。 (2)喷水出口的面积为 S ,水密度为 ? ,水槽中水下流速度为 v1 ,为了保持平衡,两根绳上的拉力各 为多少?(两根绳子保持竖直方向)

T2

T1 θ

θ

第 29 届复赛模拟赛题

3

第三题(20 分) 在光滑平面上放有一个质量为 m 的匀质圆环,内径为 r 。从圆环的三个三等分点上各连出一根轻 质弹簧,原长几乎为 0,劲度系数为 k ,三根弹簧连到一个质量为 m 的质点上。 (1)用一个恒力 F 沿着 x 方向作用于圆环,若质点与圆环保持相对静止,则 m 相对圆心位移为多少? (2)初态圆环和质点保持静止,沿着某根弹簧方向给圆环一个冲量,使得速度为 v0 ? 圆环和质点的运动方程。
y

2k r ,求之后 m

m

m

x

第 29 届复赛模拟赛题

4

第四题(20 分) 有一个电中性的粒子静止在圆筒中心, 如图一个绝缘的刚性的固定圆筒, 沿着轴向有匀强磁场 B 。 粒子突然衰变成为两个带电量为 ? q 的粒子,粒子出射方向在平面内,动量大小为 P 。粒子之间发生 碰撞时交换动量,不考虑静电作用,电量各自保持不变。粒子与圆筒之间的碰撞是完全弹性的,圆筒 P 的半径满足 R = Bq (1)当衰变的两个粒子质量比为 m1 : m2 ? 1:1 时,求从初态到两个粒子的运动状态第一次还原到初态 经历的时间,并画出粒子轨迹。 (2)令 m1 : m2 ? 1: 2 重做上一问。

第 29 届复赛模拟赛题

5

第五题(20 分) 非洲杀人湖 非洲有一个由火山口形成的湖泊,由于其特殊的地质结构而成为杀人湖。调查发现原因在于湖底 溶有大量 CO2 ,由于挠动 CO2 大量集中涌至湖面,造成人畜窒息。为了简单起见,假设温度恒定为 T0 时,CO2 达到溶解平衡时气相中 CO2 的分压 P 与液相中 CO2 的摩尔浓度 C 满足 P=? C 。其中 P 被称为 (溶解气体后密度几乎不变) CO2 的饱和气压。湖的深度为 H ,水密度为 ? 。 大气压为 P0 , 假设只要水中压强小于 CO2 的溶解平衡压强, 就有 CO2 (1) 在湖底 CO2 浓度恒定为 C0 , 逸出,计算出开始有 CO2 逸出的深度 h 。 (假设你算出的 0 ? h ? H ) 由于涨落水中可能出现一些半径为 r 的小气泡, 气泡中 CO2 (2) 实际上在 h 的位置并不会有 CO2 逸出。 与溶液保持溶解平衡。 (水蒸气的饱和蒸汽压可以忽略)液体的表面张力为 ? ,若外压过大则气泡被 压回水中,否则气泡进一步长大,形成 CO2 集中快速逸出,对人畜构成危险,计算出 CO2 快出逸出的 最大深度 h ' (假设你算出的 0 ? h ' ? H ) (3)某人插了一根管子到水底,不断向内鼓气,解决了杀人湖的问题,解释这个原理。

第 29 届复赛模拟赛题

6

第六题(18 分) 。大正方形边长为 l 。 如图,用八根单位长度电阻为 r 的电阻线焊接成两个正方形(焊接点电阻为零) 在正方形区域中有垂直于纸面向内随时间均匀变化的磁场 (1)求 AC 、 AB 导线上的电流 (2)求 AC 两点电势差 U A ? U C 和 AB 两点电势差 U A ? U B 。
A

?B ?k。 ?t

C B

第 29 届复赛模拟赛题

7

第七题(20 分) 井底之蛙 在一个圆柱形的井底中心有一只青蛙。当水注满整个井的时候,青蛙刚好能看见全部天空,水的 折射为 n ? 1.33 。 (1)若此时月亮位于天顶,则青蛙看见的月亮和此时地上的人看到的月亮的大小之比为多少? (2)当水漏掉一半的时候,青蛙看到的星星数目和此时地上的人看到的星星数目之比约为多少?(认 为星星很多,均匀的分布在天空中) (3)接上一问,青蛙的视野中, “天空”的边缘与“天空”的中心,星星的密度之比为多少?

第 29 届复赛模拟赛题

8

第八题(22 分) 在地面参照系中某时刻两镜相距 两面平行放置的镜子 A 、B 分别以 0.6c 和 0.8c 的速度相向运动,
l ,此时从 A 镜面向着 B 发出一束激光,在 A 镜参照系中,激光频率为 f 0 ,激光在两面镜子间来回反

射。
l (1)在地面看来,当 A 、 B 间距变为 时,激光走过的路程为多少? 8

(2)从 A 镜为参照系,从激光发出到第一次被 A 镜面反射,经过了多长时间? (3)以 A 镜为参照系,激光先被 B 反射,之后第一次被 A 镜面反射后的频率为多少?
A 0.6c l 0.8c B

第 29 届复赛模拟赛题

9

第 29 届复赛模拟赛题 第一套答案及评分标准
第一题(20 分) 一个半径为 r 的圆环能在水平地面上做纯滚动,在圆环边缘固定有一个半径可以忽略的小滑轮, 某时刻滑轮恰好处于水平位置。 在距离滑轮 r 处有一墙高为 2r 的墙, 一根不可伸长的绳子从墙根连出, 绕过滑轮,从墙顶处绕出(由几何条件可以算出来绳子绕出的是等腰直角三角形的两条边) ,某人在 墙顶处以速度 v 匀速拉绳子,为了让绳子即不拉断,也不松弛,则此刻 (1)圆环的角速度 ? 为多少? (2)圆环中心相对地面加速度 a 为多少?
ω v a r

【解】 : (1)易知此时滑轮的速度方向与 AB 垂直, vB ?

2r?

以滑轮为系,上段绳子的延绳速度为 v ,因此下段绳子的沿绳速度也为 v 。 所以 ? 2r ? v
?? ? 2v (5 分) 2r
v

B B' A

(2)球心的速度为 v0 ?

2r ,球心加速度为 a0 ,B 相对于 A 的加速度由向心加速度和加速转动加速

度。记下段绳子为 n 方向,上段绳子为 ? 方向。轮子的角加速度为 ? ? a0 / r

N

? 2r B

a0

? r ? a0
M

第 29 届复赛模拟赛题

10

在地面上看 B 的加速度:

aBn ? a0 2 ? ? 2 r

2 2 , aB? ? ?? 2 r 2 2

(3 分)

地面上看墙角 M 加速为 aM ? 0 ,由于下段绳子没有转动,所以下端绳子上靠近滑轮的点沿绳加 速度为 0,所以相对滑轮下段绳子进入绳子的加速度为

a入 ? aBn ? a0 2 ? ? 2 r

2 2

(3 分)

地面上看墙顶 N 加速度为 aN ? 0 ,由于上段绳子转动角速度 ? ' ? 靠近滑轮的点沿绳加速度为 ?
2

? 2r
2r

? ? ,所以上段绳子上

2r (1 分)

所以相对滑轮上段绳子出绳子的加速度为

a出 ? ? 2 2r ? aB? ? ? 2
由于绳子长度不变,所以 a入 ? a出

3 2 r 2

(3 分)

a0 2 ? ? 2 r
解得 a0 =2? 2 r ?

2 3 2 =? 2 r 2 2
(4 分)

(1 分)

v2 r

只要答案正确,方法没有明显错误给全分

第二题(20 分) 一个长度为 l 的扁平的水槽与水平夹角为 30o ,水槽的质量为 m ,在两端用细线将水槽吊起来。在 水槽最下端有一个质量为 m 的喷水机, 从水槽中抽水, 以速度 v0 将水沿着与水槽夹角为 ? ? 30o 的方向 喷出,水则刚好能喷到水槽上端,水落回水槽后受到水槽底部阻力的影响,匀速流到水槽底端,形成 稳定的水流。 (1)重力加速度为 g ,求出能将水刚好喷到水槽上端喷水机喷水的速度 v0 。 (2)喷水出口的面积为 S ,水密度为 ? ,水槽中水下流速度为 v1 ,为了保持平衡,两根绳上的拉力各 为多少?(两根绳子保持竖直方向)

第 29 届复赛模拟赛题

11

T2

T1 θ

θ

【解】 : (1)重力加速度沿水槽和垂直于水槽方向的分量分别为 g∥ ? g sin ? ? 和 g ? ? g cos? ?
3 g 2
1 g 2

1 沿水槽运动方程: l ? v0 cos? t ? g∥ t 2 (2 分) 2 1 垂直于水槽 ? : 0 ? v0 sin ? t ? g ?t 2 (2 分) 2

3 gl ? 1.22 gl (2 分) 2 (2)以整体为对象,水的冲量是内部作用,不必计算。 喷出的水在水平方向的分速度不变,故其中心在中间 水槽中的水匀速运动,故其重心也在中间 即:空中的水+水槽中的水+水槽的重心 在两绳中间所在的垂直线上。 (3 分) 求水的总量 v0 ?

单位时间爱你喷出的水质量为: m0 ? ? sv0 水在空中和在水槽中运行的时间分别为:
t1 ? l cos ? l l ? 3 ? 2 v0 cos 2? v0 g

t2 ?

l u1
2l l ? ) (3 分) g u1

故水的总质量为: M ? m0 (t1 ? t2 ) ? ? sv0 (
受力平衡:T1 +T2 ? ( M ? m ? m) g

? ? (2分) ? l l (T1 ? mg ) cos ? ? T2 cos ? ? 以水槽中间为参考点,力矩: 2 2 ?

M ? 3m ? T ? g (2分) ? ?1 2 ?? ?T ? M ? m g (2分) 2 ? ? 2
第 29 届复赛模拟赛题

12

其中 M ? ? sv0 (

3gl 2l l 2l l ? ) ? ?s ( ? ) g u1 g u1 2

第三题(20 分) 在光滑平面上放有一个质量为 m 的匀质圆环,内径为 r 。从圆环的三个三等分点上各连出一根轻 质弹簧,原长几乎为 0,劲度系数为 k ,三根弹簧连到一个质量为 m 的质点上。 (1)用一个恒力 F 沿着 x 方向作用于圆环,若质点与圆环保持相对静止,则 m 相对圆心位移为多少? (2)初态圆环和质点保持静止,沿着某根弹簧方向给圆环一个冲量,使得速度为 v0 ? 圆环和质点的运动方程。
y

2k r ,求之后 m

m

m

x

【解】 : (1)系统的加速度为: a ?
F 2m

设 m 相对圆心位移为 x0 ,设从原点到三个弹簧连接点的矢量为
a, b , c ,则质点受到的合外力为

F ? k (a ? x0 ) ? k (b ? x0 ) ? k (c ? x0 ) ? ?3kx0 (4 分)

等价于一个 3k 的弹簧 由牛顿第二定律
? x0 ?

3k x 0 ? ma

F (3 分) 6k

(2)质心运动方程为: xC ?

v0 k t? rt (3 分) 2 2m 由(1)知沿 x 轴方向的有效劲度系数为 3k 。 6k m ,故振动角频率为 ? ? (2 分) m 2 v r ? r (2 分) 振幅为: A ? 0 ? ? 3 k A r t ? sin(?t ? π) (3 分) 2m 2

折合质量为

故质点, x1 ?

第 29 届复赛模拟赛题

13

环的质点: x2 ? 其中 A ?
r 3

k A r t ? sin(?t ) (3 分) 2m 2

第四题(20 分) 有一个电中性的粒子静止在圆筒中心, 如图一个绝缘的刚性的固定圆筒, 沿着轴向有匀强磁场 B 。 粒子突然衰变成为两个带电量为 ? q 的粒子,粒子出射方向在平面内,动量大小为 P 。粒子之间发生 碰撞时交换动量,不考虑静电作用,电量各自保持不变。粒子与圆筒之间的碰撞是完全弹性的,圆筒 P 的半径满足 R = Bq (1)当衰变的两个粒子质量比为 m1 : m2 ? 1:1 时,求从初态到两个粒子的运动状态第一次还原到初态 经历的时间,并画出粒子轨迹。 (2)令 m1 : m2 ? 1: 2 重做上一问。

【解】 : (1) 虚线:正电荷 实线:负电荷 轨迹如图
B ① ② ② ① ④ ③ ③ ④

2 故时间为: t ? T0 T0 为粒子转一周的时间 3 2? R 2? m T0 ? ? (3 分) v Bq

(2)
m1 : m2 ? 1: 2 ? v1 : v2 ? 2 :1
第 29 届复赛模拟赛题

14

不失去一般性,令正电荷为 m1 ,在开始阶段走的是左上和右边两个花瓣 负电荷走左下一个花瓣。此时发生正碰,和初始状态相比,粒子速度方向转了 60 度。

4? m1 2 此时时间为: t ? T1 ? 3 3Bq

之后要重复走 6 次,粒子状态才能还原,周期
T? 8? m1 Bq

第五题(20 分) 非洲杀人湖 非洲有一个由火山口形成的湖泊,由于其特殊的地质结构而成为杀人湖。调查发现原因在于湖底 溶有大量 CO2 ,由于挠动 CO2 大量集中涌至湖面,造成人畜窒息。为了简单起见,假设温度恒定为 T0 时,CO2 达到溶解平衡时气相中 CO2 的分压 P 与液相中 CO2 的摩尔浓度 C 满足 P=? C 。其中 P 被称为 (溶解气体后密度几乎不变) CO2 的饱和气压。湖的深度为 H ,水密度为 ? 。 (1) 在湖底 CO2 浓度恒定为 C0 , 大气压为 P0 , 假设只要水中压强小于 CO2 的溶解平衡压强, 就有 CO2 逸出,计算出开始有 CO2 逸出的深度 h 。 (假设你算出的 0 ? h ? H ) (2) 实际上在 h 的位置并不会有 CO2 逸出。 由于涨落水中可能出现一些半径为 r 的小气泡, 气泡中 CO2 与溶液保持溶解平衡。 (水蒸气的饱和蒸汽压可以忽略)液体的表面张力为 ? ,若外压过大则气泡被 压回水中,否则气泡进一步长大,形成 CO2 集中快速逸出,对人畜构成危险,计算出 CO2 快出逸出的 最大深度 h ' (假设你算出的 0 ? h ' ? H ) (3)某人插了一根管子到水底,不断向内鼓气,解决了杀人湖的问题,解释这个原理。 【解】 : (1) P0 ? ? gh ? ? C0 (5 分)
?h?

? C0 ? P0 (2 分) ?g
2? r

(2)单层薄膜: ?P ?
P0 ? ? gh '?

2? ? ? C0 (6 分) r
第 29 届复赛模拟赛题

15

? h' ?

? C0 ?

2? ? P0 r (2 分) ?g

即达到 h ' 之前溶液是过饱和的。到达 h ' 的深度时,一旦出现一个气泡半径超过 r ,则附加压强变 小,气泡进一步变大,多溶解的 CO2 就会集中冒出。 (3)用管子鼓的气泡半径较大,产生的附加压可以忽略不计,故一但水中溶解的 CO2 溶度较大,就 会持续析出,而不会如第二问中集中冒出。 (5 分)

第六题(20 分) 。大正方形边长为 如图,用八根单位长度电阻为 r 的电阻线焊接成两个正方形(焊接点电阻为零)
l 。在正方形区域中有垂直于纸面向内随时间均匀变化的磁场

?B ?k。 ?t

(1)求 AC 、 AB 导线上的电流 (2)求 AC 两点电势差 U A ? U C 和 AB 两点电势差 U A ? U B 。
A

C B

【解】 : (1)大正方形的感应电动势为: ?1 ? l 2 k (以逆时针为正方向) (3 分) 小正方形感应电动势为: ? 2 ?

l2 k (3 分) 2 由对称性知外圆电流相等,内圈电流也相等,没有电流从内圈到外圈。 ? lk 故: AC 上电流: i1 ? 1 ? (3 分) (逆时针为正方向) 4rd 4r
AB 上电流为: i2 ?

(2) U AC

(3 分) 2 2rl 4 2r ? l ? ? 1 ? i1 r ? 0 (4 分) 8 2

?2

?

lk

U AC ? ?

?2
4

? i2

l 2

r ? 0 (4 分)

第七题(20 分) 井底之蛙 在一个圆柱形的井底中心有一只青蛙。当水注满整个井的时候,青蛙刚好能看见全部天空,水的 折射为 n ? 1.33 。 (1)若此时月亮位于天顶,则青蛙看见的月亮和此时地上的人看到的月亮的大小之比为多少? (2)当水漏掉一半的时候,青蛙看到的星星数目和此时地上的人看到的星星数目之比约为多少?(认 为星星很多,均匀的分布在天空中)
第 29 届复赛模拟赛题

16

(3)接上一问,青蛙的视野中, “天空”的边缘与“天空”的中心,星星的密度之比为多少?

【解】 : (1)地上的人看到的月亮的角宽度为 ? ,则青蛙看到的月亮的角宽度为 ? ' 满足:

? 'n ? ? ? ? ' ?

?

3 ? ? (3 分) n 4

故青蛙看到的月亮与地面人看到月亮的大小之比为 9 :16 (2 分)

i

γ h

R

(2)设井半径为 R ,则可得井深 h 满足: sin i ? n sin r
?1? n R h ?R
2 2

?h?

7 R 9

水漏掉一半时青蛙能看到的最大角度 ?C 满足:
?sin ?C ? n sin ? C ? (2 分) ?h h tan ?C ? tan ? C ? R ? ?2 2
第 29 届复赛模拟赛题

17

3 sin ?C 6 4 ? tan ?C ? ? 9 7 1 ? sin 2 ?C 16

数值解列表(2 分) 数值解得: ?C ? 55.9o (2 分) 星星数之比值为立体角的比值:
2π(1 ? cos?C ):(2π)=0.44:1 (2 分)

(3)令入射角为 ? ,折射角为 i , 令青蛙从 0 到 i 角度为看到的星星数为 N f (i ) 令人从 0 到 ? 角度为看到的星星数为 N h (? ) 显然 N f (i) ? N h (? ) , 令密度为 ? f (i), ?h (? ) 则有 ? f (i)d ?i ? ?h (? )d ?? 其中 ? 为立体角, d ?? ? 2? sin ? d? 因此 ? f (i ) ? ?h n (2 分) (1 分) (3 分)

d? cos i ? ?h n2 di cos ?

(1、人看到的密度是不变的,2、用了正弦定理) 由此 i ? 0 时

? f ? ?h n2

由此 i ? 38.4? 时

? f ? 1.40?h n2

(3 分)

第八题(18 分) 两面平行放置的镜子 A 、B 分别以 0.6c 和 0.8c 的速度相向运动, 在地面参照系中某时刻两镜相距
l ,此时从 A 镜面向着 B 发出一束激光,在 A 镜参照系中,激光频率为 f 0 ,激光在两面镜子间来回反

射。
l (1)在地面看来,当 A 、 B 间距变为 时,激光走过的路程为多少? 8

(2)从 A 镜为参照系,从激光发出到第一次被 A 镜面反射,经过了多长时间? (3)以 A 镜为参照系,激光先被 B 反射,之后第一次被 A 镜面反射后的频率为多少?
A 0.6c l 0.8c B

【解】 :

第 29 届复赛模拟赛题

18

7 (1)地面系中 A 、 B 走过的路程之和(不是相对速度! ! ! ) : (0.6c ? 0.8c)t ? l (2 分) 8

5 故激光走过的路程为: ct ? l (3 分) 8

(2)注意:AB 之间不是相对静止的,不能用尺缩! ! 在地面参照系看,经过 t1 ?

5l 2l l 5l ? ,此时 AB 距离 l ' ? l ? (0.6c ? 0.8c) ? 9c 9 (1 ? 0.8)c 9c

再次回到 A,进过时间 t2 ?

1 2l 5 l ? (1 ? 0.6)c 9 36 c
2

从 A 出发,回到 A,因而可以利用钟慢效应 t ' ? (t1 ? t2 ) 1 ? 0.6 ? 利用其它做法得到正确答案给全分 (3)地上看 A 发射频率为 f1 ? f 0

5l (7 分) 9c

1 ? 0.6 1 ? 0.6

在 B 上看 A 发射频率 f 2 ? f1

1 ? 0.8 1 ? 0.8 1 ? 0.8 1 ? 0.8 1 ? 0.6 1 ? 0.6

在地上看 B 反射频率 f3 ? f 2

在 A 上看 B 反射频率 f 4 ? f3 计算得到 f 4 ? 36 f 0

第 29 届复赛模拟赛题

19

第 29 届复赛模拟赛题 第二套
满分 160 分 时间 180 分钟 第一题(20 分) (1)如图 4 根轻杆之间铰接,左端铰接在墙上, A0 端挂有重物 P 。求出 A1 , B1 端和墙之间的作 用力。

B1

B0

A0 A1

P

(2)如图将上述结构复制 n 份,铰接起来,分别挂有重物 P , P / 2 ,…, P / 2 够大的时候,墙上两个端点与墙之间的相互作用力。

n ?1

。求出当 n 足

第 29 届复赛模拟赛题

20

第二题(20 分) 间距为 h , 叫做电偶极层。 一个电量为 q , 质量为 m 空间中有两层很薄的电荷, 电荷密度为 ?? , 的点电荷,只能和电偶极层间发生静电相互作用(而不会碰撞) 。 (1)粒子以速度 v0 ,角度 ? ,入射电偶极层,出射方向 i 。求出 sin i 和 sin ? 之间的关系。

v0

??

?
h

??

(2)将电偶极层弯成离心率为 e 的双曲面形状,两个焦点沿着 x 轴方向,要求所有平行于与 x 轴方向 入射的粒子都能汇交与焦点,则粒子速度,电偶极层厚度,电荷密度之间应当满足什么关系? 数学附录:双曲线方程: 之比为 e 。
x2 y 2 c a 2 ? b2 ,双曲线上一点到焦点的距离与到准线的距离 ? 2 ?1 ,e ? ? 2 a b a a

y

F1

F2

x

第 29 届复赛模拟赛题

21

第三题(20 分) 空间中有沿着 z 方向的磁场,磁场大小随着时间和空间变化,满足 B ? B0 cos(?t ? kx) 。一个桌 面在 z ? 0 平面上,平面上有一个沿着 x-y 方向正放的线框,线框边长为 l ,总电阻为 R 。 (1)假设线框相对于桌面静止,线圈的左端位于 x ? 0 的位置,求出线框中电动势随着时间的变化关 系。 (2)若线框质量为 m ,摩擦系数为 ? ,线框是否可能相对于桌面沿着 x 方向做匀速直线运动?如果 可能求出参数之间应当满足的条件,如果不可以,写明理由。 (以下不是考题:找到三个这样的线框,沿着 x 轴发成一排,相邻两个之间用长度为 l ' 的绝缘木棒连 接,问这三个线框是否可能一起做匀速直线运动,如果可以求出各参数应当满足条件,如果不可以写 明理由。 )

y

x

y

x

第 29 届复赛模拟赛题

22

第四题(20 分) 一个金属球壳,半径为 R ,质量为 M ,带电量为 Q ,初始时刻自由的静止在空间中。球壳的一 端有一个小洞。 球心与小洞的连线方向视为轴线方向。 在轴线上很远的地方有一个半径为 r 的金属球, 质量为 m ,带电量为 q ,以初速度 v0 向着球心飞去。 (假设飞行速度很慢,电荷产生电场可以拿静电 力公式计算,金属球壳外表面导电性能良好,不考虑电磁辐射)

(1)求出当金属球进入球壳后达到球心时,金属球的速度为多少? (2)金属球与球壳发生完全非弹性碰撞后连为一体,求整个过程中的发热 ? 。 ( 以 下 不 是 试 题 : 求 出 能 够 让 金 属 球 打 入 球 壳 所 需 的 最 小 速 度 v0 。 仔 细 想 哦 。 答 案 得 到

v0 ?

2kqQ(m ? M ) 的同学回去面壁) RmM

第 29 届复赛模拟赛题

23

第五题(20 分) 如图所示,一个信号源 S 以恒定的速度 v 向 x 正方向运动。信号在空中传播的速度为 u。信号源 本身的频率为 f 0 。在地面上的静止的观察者 P 所接受到的信号频率为 f 。在信号源的飞行轨迹上,O 点位最靠近 P 的点。以 O 原点建立坐标系。 f0 (1)证明在信号源距离观察者足够远的时候,有 f ? v cos ? 1? u

人类的第一颗人造卫星绕地飞行的时候,地面上的观察者测量卫星发出的光信号频率。纵轴为信 号频率,单位为赫兹;横轴为测量时间,单位为分钟。光速为 c ? 2.998 ?108 m / s 。 (2)请由此图估算卫星相对于观察者的速度。 (3)请由此图估算卫星距离观察者的最近距离。

(好吧..我承认用了一道台湾的赛题,不过大陆同学应该作过的人不多,将就做吧)

第 29 届复赛模拟赛题

24

第六题(18 分) 一个质量为 2m 的星体 A 和质量为 m 的星体 B ,绕着它们的质心分别做圆周运动。在质心系中观 察发现体系总角动量为 L (1)求体系的总能量 E0 (2) A 发生爆炸成为两个质量为 m 的星体 A 1 , A 2 ,爆炸瞬间体系总机械能增加了 E ,之后经历复 杂的三体运动(以下省略刘慈欣写的《三体》)最后 A 1 和 B 相互环绕着飞行, A 2 与二者远离。已知 这时候以 A1 为参照系 B 的角动量为 L0 以 A1 和 B 的质心为参照系,A1 和 B 构成的系统的能量最小值 Emin 为多少?这会对 E 有什么限制?

第 29 届复赛模拟赛题

25

第七题(20 分) 如图是两冲程柴油机的工作原理图。为了计算方便我们把工作流程化简如下: 假设气缸绝热光滑,活塞自身质量可以忽略。 的燃料(视为 C14 H 30 )喷入气缸中,此时缸内气压为 P 1 ? 350 K ,新注入的空 1 ? 2.00atm ,温度为 T 气占体积比为 80%。 已知这个温度和压强下,燃烧的焓变为 ? ? 40 ?10 J / kg ,即在这个温度和压强下,如果保持温度和
6

第一阶段,气缸体积达到最大为 V1 ? 1.5L ,将空气鼓入气缸,把部分废气赶出气缸,同时将雾化

第二阶段,气缸进行绝热压缩至最小体积 V2 ? 0.25L ,此时混合气体发生爆炸,恰好完全反应,

压强不变,则单位质量燃料燃烧放热为 ? 。假设燃烧速度很快,燃烧结束的时候气缸体积几乎没有改 变。 第三阶段,气缸绝热膨胀对外做功到最大体积 V1 ? 1.5L ,回到第一阶段。 为了简化计算,空气的成分视为 79%的 N 2 ,21%的 O2 (体积分数) ,各种气体的参数如下:

N2
摩尔质量 (g/mol) 28 2.5 定容摩尔热容量 (R)

O2
32 2.5
?

H 2O
18 3.0

CO2
44 2.5

假设满足理想气体状态方程,气体做绝热变化的时候满足 pV ? C ,其中 ? ? 容摩耳热容量。 (1)为了使得恰好完全反应,每次应当喷入多少质量的燃料? (2)求出压缩到最小体积,点燃前的温度 T2 ,以及排出废气的温度 T1 ' 。 (以下不是考题:计算这个内燃机的最大工作效率)

CV ? R ,CV 是定 CV

第 29 届复赛模拟赛题

26

第八题(22 分) 在 SLAC 中,一种产生高能 ? 射线(高能光子)的方式是拿高能电子与可见光(低能光子)对撞。 高能电子的总能量为 1.00GeV ,可见光的波长为 550nm , 可见光与电子动量方向相反。电子的静质 量为 0.51MeV 。电子与光子发生弹性碰撞,出射粒子仍然是一个电子一个光子。 (1)若光子在沿着原电子方向出射,则出射光子波长为多少?碰撞后电子能量变为多少? (2)若出射的光子方向与原电子方向有小角度偏差 ? ? 1? ,则出射光子的频率变为多少?

E ? 1.00GeV

? ? 550nm

第 29 届复赛模拟赛题

27

第 29 届复赛模拟赛题 第二套答案及评分标准
第一题(20 分) (1)如图 4 根轻杆之间铰接,左端铰接在墙上, A0 端挂有重物 P 。求出 A1 , B1 端和墙之间的作 用力。

B1

B0

A0 A1
【解】 : 对 B0 和 A0 点做力矢量和为零得到 B1 对墙拉力为 P , A1 点对象水平压力为 P ,竖直压力为 P (6 分) (2)如图将上述结构复制 n 份,铰接起来,分别挂有重物 P , P / 2 ,…, P / 2 够大的时候,墙上两个端点与墙之间的相互作用力。
n ?1

P

。求出当 n 足

【解】 : 将右方所有支架加重物视为一个整体。 以 An 为支点,写力矩平衡方程,令 Bn 对墙的拉力为 F 有:
Fl ? Pl ? P P P 2l ? 2 3l ? 3 4l ? ... ? 4Pl (乘以 2 之后错位相减) 2 2 2

F ? 4P 对整理合外力等于零得到:
An 对墙水平压力位 4 P ,竖直方向压力为 P ?
P P ? ? ... ? 2 P 2 22

第 29 届复赛模拟赛题

28

第二题(20 分) 间距为 h , 叫做电偶极层。 一个电量为 q ? 0 , 空间中有两层很薄的电荷, 电荷密度为 ?? , h 很小, 质量为 m 的点电荷,只能和电偶极层间发生静电相互作用(而不会碰撞) 。 (1)粒子以速度 v0 ,角度 ? ,入射电偶极层,出射方向 i 。求出 sin i 和 sin ? 之间的关系。

v0

??

?
h

??

(2)将电偶极层弯成离心率为 e 的双曲面形状,左边为正电荷,两个焦点沿着 x 轴方向,要求所有平 行于与 x 轴方向入射的粒子都能汇交与焦点,则粒子速度,电偶极层厚度,电荷密度之间应当满足什 么关系? 【解】 : 数学附录:双曲线方程,
x2 y 2 c a 2 ? b2 , ,双曲线上一点到焦点的距离与到准线的距离 1 ? ? ? ? e a 2 b2 a a
x y ?? 。 a b

之比为 e ,双曲线的渐近线为

y

F1

F2

x

(1)由高斯定理 ? ? 电场 E ? ,电势差 U ? Eh ? h ?0 ?0
1 2 1 由能量守恒,末态初速度 v1 满足: mv0 ? Uq ? mv12 2 2
2 解得: v1 ? v0 ?

2? hq ?0m

由沿面的切线方向动量守恒: v0 sin ? ? v1 sin i

sin i ? sin ?

v0 2? hq v ? ?0m
2 0

(10 分)

(2)经过定性分析,只能是经过减速度后汇交于另一支的焦点。

第 29 届复赛模拟赛题

29

由于本题已知双曲线能将粒子汇聚于焦点,则只需要通过特殊值验算参数见关系即可。 最简单的验算位置在距离 x 轴很远的地方,即在渐近线上。
1 此时入射角为 sin i ? ,出射角为 sin ? ? 1 (很远,所以到焦点和原点几乎是一条线) e

带入第一问方程得到(注意为减速) :
2 ? v0

1 ? e

2? hq ?0m

v0

(10 分) 解毕

(以下不是考题:证明第二问的双曲线能将粒子汇聚到焦点) (3)以下不是考题部分: 令曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

考虑两个相邻的入射轨迹 PA 和 PA' ,作 AM ? P'A' 于 M ; A'N ? AF1 于 N 由双曲线第二定义(准线定义)得:
1 |A'M|= | AN | e

作 A'H ? AF2 于 H ,有 |AM|=|AH| 由双曲线性质 ? | AF 1 |?|F 2 A |? 2a
?MAA' 与 ?HA'A 中

(双曲线线上点到两焦点距离之差不变)

1 1 | AA' | cos ?AA'M=|A'M|= | AH |? cos ?AA'H |AA'| e e 1 sin ? ? sin i e

第 29 届复赛模拟赛题

30

1 ? e

2 v0 ?

2? hq ?0m

v0

第三题(20 分) 空间中有沿着 z 方向的磁场,磁场大小随着时间和空间变化,满足 B ? B0 cos(?t ? kx) 。一个桌 面在 z ? 0 平面上,平面上有一个沿着 x-y 方向正放的线框,线框边长为 l ,总电阻为 R 。 (1)假设线框相对于桌面静止,线圈的左端位于 x ? 0 的位置,求出线框中电动势随着时间的变化关 系。 (2)若线框质量为 m ,摩擦系数为 ? ,线框是否可能相对于桌面沿着 x 方向做匀速直线运动?如果 可能求出参数之间应当满足的条件,如果不可以,写明理由。 (以下不是考题:找到三个这样的线框,沿着 x 轴发成一排,相邻两个之间用长度为 l ' 的绝缘木棒连 接,问这三个线框是否可能一起做匀速直线运动,如果可以求出各参数应当满足条件,如果不可以写 明理由。 )

y

x

y

x
【解】 : (1)变到以速度 v ?

?
R

的参照系中

对于线圈回路的总电动势 ? 不随参照系变化而变化(虽然动生和感生电动势分别可能发生变化) 此系中 B ? B0 cos(?kx) 左杆 x1 ? ?vt ,右杆 x2 ? ?vt ? l 左杆 ?1 ? B0 cos(vtk )lv 向上 右杆 ? 2 ? B0 cos(vtk ? kl )lv 向上 逆时针为正,回路电动势

? ? ?1 ? ? 2 ? B0lv[cos(vtk ) ? cos(vtk ? kl )] 其中 vk ? ?

(10 分)

在原系中积分计算磁通量再对时间求导数方法也给全分。

第 29 届复赛模拟赛题

31

(2) 设直线运动速为 v0 同第一问有: ? ? B0l (v ? v0 ){cos[(v ? v0 )tk ] ? cos[(v ? v0 )tk ? kl ]} 又电流 I ?

?
R
2 2 B0 l (v ? v0 )2 {cos[(v ? v0 )tk ] ? cos[(v ? v0 )tk ? kl ]}2 R

安培力 F ? B左 Il ? B右 Il ?

显然 F 与 t 有关只有 v ? v0 ,然后这会导致 F ? 0 不可能 (10 分)

1 1 2? (不是考题部分) l ? l ' ? (n ? )? ? (n ? ) ,类似三相交流电。 3 3 k

第四题(20 分) 一个金属球壳,半径为 R ,质量为 M ,带电量为 Q ,初始时刻自由的静止在空间中。球壳的一 端有一个小洞。 球心与小洞的连线方向视为轴线方向。 在轴线上很远的地方有一个半径为 r 的金属球, 质量为 m ,带电量为 q ,以初速度 v0 向着球心飞去。 (假设飞行速度很慢,电荷产生电场可以拿静电 力公式计算,金属球壳外表面导电性能良好,不考虑电磁辐射)

(1)求出当金属球进入球壳后达到球心时,金属球的速度为多少? (2)金属球与球壳发生完全非弹性碰撞后连为一体,求整个过程中的发热 ? 。 ( 以 下 不 是 试 题 : 求 出 能 够 让 金 属 球 打 入 球 壳 所 需 的 最 小 速 度 v0 。 仔 细 想 哦 。 答 案 得 到

v0 ?

2kqQ(m ? M ) 的同学回去面壁) RmM

【解】 :

kQ 2 kq 2 ? 2R 2r kQ kq kQ kq 末态 Q 电势为 uQ ? , q 电势为 uq ? ? ? R R R r
(1)初态电势能为 E1 ?
1 末态能量 E2 ? (uQ Q ? u1q) 2

?

1 kQ 1 kq 2 kQq ? ? 2 R 2 r R
第 29 届复赛模拟赛题

32

动能减少为 ?E ?

kQq R

设末态 m 速度为 vm ,末态 M 速度为 vM 由动量守恒, mvm ? MvM ? mv0
1 2 1 2 1 kQq 2 由能量守恒, mv0 ? mvm ? MvM ? 2 2 2 R

解得: vm ?

mv0 2kQq(m ? M ) M 2 (正根、负根舍去一个,或者不舍去均给分) v0 ? ? m?M m?M RmM (2)电荷全部到达外表面后:

电势能改变: ?E ? 由能量守恒得到:

k (Q ? q)2 kQ 2 kq 2 ? ? 2R 2R 2r

??

1 Mm 2 k (Q ? q)2 kQ 2 kq 2 ? ? v0 ? 2 m?M 2R 2R 2r

第五题(20 分) 如图所示,一个信号源 S 以恒定的速度 v 向 x 正方向运动。信号在空中传播的速度为 u。信号源 本身的频率为 f 0 。在地面上的静止的观察者 P 所接受到的信号频率为 f 。在信号源的飞行轨迹上,O 点位最靠近 P 的点。以 O 原点建立坐标系。 f0 (1)证明在信号源距离观察者足够远的时候,有 f ? v cos ? 1? u

人类的第一颗人造卫星绕地飞行的时候,地面上的观察者测量卫星发出的光信号频率。纵轴为信号频 率,单位为赫兹;横轴为测量时间,单位为分钟。光速为 c ? 2.998 ?108 m / s 。 (2)请由此图估算卫星相对于观察者的速度。 (3)请由此图估算卫星距离观察者的最近距离。

第 29 届复赛模拟赛题

33

(好吧..我承认用了一道台湾的赛题,不过大陆同学应该作过的人不多,将就做吧)

v

?
S
【解】 : (1)如图,初态距离为 l ,发出信号, t1 ?
l 到达 P 点 u
l' u

P

过 ?t 后,距离为 l ' ? l ? v cos??t ,信号到达时刻为 t2 ? ?t ?
v 接收时间间隔 ?t ' ? t2 ? t1 ? ?t (1 ? cos ? ) u

所以频率为

f 1 ? v f 0 1 ? cos ? u

(2) f max ? 2.000552 ?107 Hz
f min ? 2.000457 ?107 Hz

初态很远到末态很远处频率差为

f max ? f min ?f ? ? 4.75 ? 10?5 ( f max ? f min ) / 2 f

v v ?f 做小量近似有 ? (? ) ? ,则有 v ? 7.12 ?103 m / s c c f

(3)读出图中中间段的的斜率 k ? 8.25s ?2

v

?
当卫星飞过头顶时,经过 ?t 后,角度变化为 ?? ?
v?t , h 为高度 h

第 29 届复赛模拟赛题

34

频率变化 ?f ? f 解得: h ?

v?(sin ? ) v 2 ?t ? f c hc

fv 2 ? 4.1 ? 105 m kc 正负 20% 均视为正确,用曲线回归或者取多个点求平均的方法均视为正确。

第六题(18 分) 一个质量为 2m 的星体 A 和质量为 m 的星体 B ,绕着它们的质心分别做圆周运动。在质心系中观 察发现体系总角动量为 L (1)求体系的总能量 E0 (2) A 发生爆炸成为两个质量为 m 的星体 A 1 , A 2 ,爆炸瞬间体系总机械能增加了 E ,之后经历复 杂的三体运动(以下省略刘慈欣写的《三体》)最后 A 1 和 B 相互环绕着飞行, A 2 与二者远离。已知 这时候以 A1 为参照系 B 的角动量为 L0 以 A1 和 B 的质心为参照系,A1 和 B 构成的系统的能量最小值 Emin 为多少?这会对 E 有什么限制? 【解】 : (1)考虑两体问题折合质量做法, 2m 与 m 的折合质量为 ? ?
2 m ? m 2m ? 2m ? m 3

相对速度为 v0 ,相对距离为 l ,两体问题角动量等于原体系质心系角动量
L ? ? v0l

由牛顿第二定律
v0 2 G 2m ? m G ? (m ? 2m) ? ? l l2 l2 解得

?

l?

3L2 4Gm3
G 2m ? m 4G 2 m5 ?? 2l 3L0 2

两体问题能量等于 E0 ' ? Ek ? E p ? ?

由于两体问题动能等于原题体系质心动能,两体问题势能等于原体系势能 所以 E0 ? E0 ' ? ?
4G 2 m5 (10 分) 3L0 2

(1)对于 A 1 和 B 构成体系,当相对质心动能为 Ek ' ,相对质心角动量为 L ' ,这也等于两体问题的动 能和角动量。 可以证明当角动量一定时,圆轨道能量最低。 (4 分) 利用第一问结论
第 29 届复赛模拟赛题

35

注意应当带入的是质心角动量,而不是 A1 相对 B 角动量,差两倍!
l'? ( L0 / 2)2 Gmm G 2 m5 ,能量 E ? ? ? ? min ? ' Gm2 2l ' 4 L0 2 G 2 m5 4G 2 m5 ? L0 2 3L2

其他方法均给分(4 分)

由此可得 E ? E '? E0 ? ?

(2 分)

第七题(20 分) 如图是两冲程柴油机的工作原理图。为了计算方便我们把工作流程化简如下: 假设气缸绝热光滑,活塞自身质量可以忽略。 的燃料(视为 C14 H 30 )喷入气缸中,此时缸内气压为 P 1 ? 350 K ,新注入的空 1 ? 2.00atm ,温度为 T 气占体积比为 80%。 已知这个温度和压强下,燃烧的焓变为 ? ? 40 ?10 J / kg ,即在这个温度和压强下,如果保持温度和
6

第一阶段,气缸体积达到最大为 V1 ? 1.5L ,将空气鼓入气缸,把部分废气赶出气缸,同时将雾化

第二阶段,气缸进行绝热压缩至最小体积 V2 ? 0.25L ,此时混合气体发生爆炸,恰好完全反应,

压强不变,则单位质量燃料燃烧放热为 ? 。假设燃烧速度很快,燃烧结束的时候气缸体积几乎没有改 变。 第三阶段,气缸绝热膨胀对外做功到最大体积 V1 ? 1.5L ,回到第一阶段。 为了简化计算,空气的成分视为 79%的 N 2 ,21%的 O2 (体积分数) ,各种气体的参数如下:

N2
摩尔质量 (g/mol) 28 2.5 定容摩尔热容量 (R)

O2
32 2.5
?

H 2O
18 3.0

CO2
44 2.5

假设满足理想气体状态方程,气体做绝热变化的时候满足 pV ? C ,其中 ? ? 容摩耳热容量。 (1)为了使得恰好完全反应,每次应当喷入多少质量的燃料? (2)求出压缩到最小体积,点燃前的温度 T2 ,以及排出废气的温度 T1 ' 。 (以下不是考题:计算这个内燃机的最大工作效率)

CV ? R ,CV 是定 CV

第 29 届复赛模拟赛题

36

【解】 : (1)新入空气摩尔数 n0 ?
p1V1 ? 1.04 ? 10?1 mol RT1

O2 摩尔数 nO2 ? n0 80% ? 21% ? 1.75 ? 10?2 mol

反应方程式
C14 H30 ? 21.5O2 ? 14CO2 ? 15H 2O

燃料: nx ? 8.14 ? 10?4 mol , mx ? 0.161g (2)废气中摩尔比例 N 2 : CO2 : H 2O ? 0.79 :

(6 分)
14 15 ? 0.21: ? 0.21 21.5 21.5

由此算得压缩前 N2 : O2 : CO2 : H 2O ? 0.779 : 0.168 : 0.0255 : 0.0273 等效的 ? ? 1.3978 燃烧后 N2 : CO2 : H 2O ? 0.79 : 0.137 : 0.147 等效的 ? ' ? 1.3886 ,等效的 CV ' ? 2.573R 压缩至 V2 后 p1V1? ? p2V2? ' , p2 ? 24.48atm , T2 ? 燃烧后 n末 =n0 ? nO2
14 ? 15 ? 22.5 ? 1.10 ? 10?1 mol 21.5

(4 分)
p2V2 T1 ? 2.040T1 ? 713.9K p1V1

(4 分)

若等压燃烧每 mol 放热 ?mol ? ? ? 0.198g / mol ? 7.92 ?106 J / mol 按热力学第一定律:燃烧后(二氧化碳+水)的内能-原料(燃料+氧气)
?U mol ? ?(?mol ? p?V ) ? ?7.965 ? 106 J / mol

(4 分)

变成定题绝热燃烧后,由于吸热、做功等于 0, n (??U mol ) 由此得到 T2 ' ? T2 ? x ? 3.462 ? 103 K ,膨胀带入绝热方程得答案 n末CV '

第 29 届复赛模拟赛题

37

T1 ' ? T2 '(

V1 1?? ' ) ? 1.73 ? 103 K V2
W膨胀 -W压缩 nx ?mol =0.5

(2 分)

(1)不是考题部分 ? ?

第八题(22 分) 在 SLAC 中,一种产生高能 ? 射线(高能光子)的方式是拿高能电子与可见光(低能光子)对撞。 高能电子的总能量为 1.00GeV ,可见光的波长为 550nm , 可见光与电子动量方向相反。电子的静质 量为 0.51MeV 。电子与光子发生弹性碰撞,出射粒子仍然是一个电子一个光子。 普朗克常数 h ? 6.628Js ,电子电量 q ? 1.602 ? 10?19 C ,光速 c ? 2.998m / s (1)若光子在沿着原电子方向出射,则出射光子波长为多少?碰撞后电子能量变为多少? (2)若出射的光子方向与原电子方向有小角度偏差 ? ? 1? ,则出射光子的频率和第一问中频率的比 值为多少?

E ? 1.00GeV

? ? 550nm
【解】 : (1) ? ' ? 3.64 ?10?14 m , Ee ' ? 0.97GeV (10 分) (1)
E偏 E正 =1.74 ? 10?3

(10 分)

过程: 解法一: (1)令入射电子能量为 Ee ,电子静能量为 E0 ,入射光子能量为 E? ? 出射光子能量为 E? ' ?
h h

?

c,

?' 由能量守恒和动量守恒有:
Ee ? E? ? Ee '? E? '
Ee 2 E0 2 E? ? 2 ? ? c2 c c Ee '2 E0 2 E? ' ? 2 ? c2 c c

c

解得: ? ' ? 3.64 ?10?14 m , Ee ' ? 0.97GeV (2)由能量守恒和动量守恒有(动量使用余弦定理)
Ee ? E? ? Ee '? E? '

第 29 届复赛模拟赛题

38

2 Ee '2 E0 2 Ee 2 E0 2 E? ' Ee 2 E0 2 E? ' ? ? ? ? ? ? 2 2cos ? c2 c2 c2 c2 c2 c2 c c

和第一问相比,解得的能量比值为 解法二:

E偏 E正

=0.8 ? 10?3

换到质心系考虑,质心系相对地面系 ? c ?

p总c ,做多普勒效应得到入射光子能量。 E总

由于质心系弹性碰撞,所以入射光子能量等于出射光子能量,只是角度可能发生变化,然后再多普勒 效应换回地面系即可(相当于光子被一面运动的镜子反射)答案同上

第 29 届复赛模拟赛题

39

第 29 届复赛模拟赛题 第三套
满分 160 分 时间 180 分钟 第一题(20 分) 如图一个均匀的质量为 m 框架套在一根横截面为 L ? L 的正方形的固定木棒上,木棒只有棱与框 架接触,摩擦系数为 ? ,框架的尺寸与棒的位置如图所示。 在框架下方挂一个重力为 P 的重物,为了保持框架不滑动重物的位置 x 应满足什么条件?
L

D

L

L

x θ P

mg

第 29 届复赛模拟赛题

40

第二题(20 分) 绕柱子 某人用手拿着一个半径为 r 的圆柱,放在光滑水平面上。一个质量为 m 的小球,通过一根长度为 l 的绳子连在圆柱上。开始的时候绳子与圆柱相切,小球有大小为 v 的初始速度,方向垂直于绳子。 然后绳子就卷到了圆柱上,直到小球与圆柱相撞。求出为了保持圆柱不动,手应当给圆柱的作用力和 力矩随时间的关系。

v0

第 29 届复赛模拟赛题

41

第三题(20 分) 稳压电路 如图是一个稳压电路,电源的电动势 ? ? 15V ,内阻 r ? 10? ,负载 R ? 60? 。二极管的伏安曲 线如图所示,当反向电压超过 11V 时候,反向电流迅速增大,这个现象我们叫做反向击穿。如图所示 的电路能让电源电动势发生变化的时候,负载上的电压变化不大。 (1)求出电源电动势为 15V 时,负载上的电压,以及二极管上消耗的功率。 (2)如果要求负载上的电压变化小于 1mV ,则电源上的电压变化不能超过多少?

?,r

R

第 29 届复赛模拟赛题

42

第四题(18 分) 变化的磁场能产生电场,变化的电场也能产生磁场。回忆磁生电的电磁感应定律:对于封闭曲面 的磁通量变化率等于电动势的负值,电动势可以看作这个曲边上每一段感应电场与位移的乘积之和

?? 。类似于安培环路定律,对于封闭曲面的电通量变化率与这个曲面上的磁场相 ?t 1 ?? e 关。空间中没有电流的时候,可以写成: ? B ? ?l ? 2 。其中 ? e 是电通量。 c ?t 有一个半径为 R ,厚度为 d ?? R 的平行板电容器,两个极板电量都均匀分布,极板上的电量会

? ? ? E ? ?l ? ?

随着时间变化 Q ? Q0 cos(?t ) 。 (1)求出电容器中距离轴线距离为 x 的点,感应出来的磁场(不考虑这个变化的磁场产生的电场) 。 (2)有一束动量为 P ,接近光速运动的带电量为 q 的电子,沿着电容器直径方向入射,出射的时候 方向会有微小改变,求出改变的方向随时间的变化关系。 (其中 ? R ?? c )

第 29 届复赛模拟赛题

43

第五题(18 分) 某位同学为了卖萌,开始吹气球。气球初始状态的半径为 r0 。气球皮的表面张力系数 ? 与气球半 径 r 之间的关系为 ? (r ) ?

? 0r
r0

。大气压为 p 0 ,室温以及人体的温度都保持为 T0 不变,气球皮是绝热

的。同学每次能将空气中 V0 体积的空气吸入肺中,然后缓缓吹入气球,最后把气球半径吹到了 2r0 。 (不考虑水汽的问题,空气的等体热容量为 Cv ? (1)气球内空气最后的温度为多少? (2)同学要花几口气才能把气球吹到这么大?

5 R) 2

第 29 届复赛模拟赛题

44

第六题(20 分) 双筒望远镜的结构可以简化成这样:在潜望镜的基础上加上目镜和物镜。其中物镜的焦距为

f1 ? 12cm ,两个目镜之间的距离为 d ? 6.5cm ,两个目镜之间的距离为 D ? 12.5cm ,物镜到第一面
反射镜中心的距离为 l1 ? 4cm ,目镜到第二面反射镜中心的距离为 l2 ? 2cm 。 (1)为了能看清远方的物体,目镜的焦距为多少? (2)一个人高 1.7m,站在 200m 远的地方,用望远镜看的时候,这个人的在人眼中占的所占的视角 会被放大多少倍? (3)接第二问,人看用两只眼睛看物体的时候会通过两只眼睛看见的视觉形象不同而估计物体的远 近。在(2)中,人通过左右眼视觉形象差别而估计的物体的位置距离人有多远?

第 29 届复赛模拟赛题

45

第七题(20 分) 寻找 Higgs 粒子 在阿尔卑斯山脚下,在法国瑞士边界,一群人挖了一个周长 27 公里的大坑,在地下把质子加速 到了 7TeV 的高能, 然后让粒子对撞…他们的目标是-找到那个被标准模型预言, 赋予粒子质量的 Higgs 粒子。然后…他们居然以超过 99.9994%的置信度找到了一个看起来和预言中粒子性质差不多的粒子, 质量也在预言的范围内,大约 126GeV。Higgs 这年已然 85 岁了…老泪纵横(等了 40 年,就为了这一 天…) 这次发现是通过“gamma gamma fusion”到四个轻子的过程完成的。我们忽略一切具体细节,把 模型简化成这样: 先产生两个能量很高的光子, 它们对撞, 通过一些过程生成了 Higgs 粒子, 然后 Higgs 迅速就衰变了,比如先衰变到两个 Z 0 玻色子,然后再衰变到两对轻子,比如说一对正负电子,一对 正负 ? 子。 (由于某些复杂的原因, 这中间的 Higgs 粒子的质量其实不是 126GeV, 我们姑且当 126GeV 算吧…)

? ? ? ? h ? Z 0 ? Z 0 ; Z 0 ? e? ? e? ; Z 0 ? ? ? ? ? ?
你可能会用到这些常数 me ? 0.51MeV ; m? ? 106MeV ; mh ? 126GeV 普朗克常数 h ? 6.64 ?10?34 J ? s (1)为了让两个光子对撞能产生 Higgs 粒子,参与反应的两个光子频率最少为多少(假设两个光子频 率一样) (2)假设两个光子沿着一条直线对撞,两光子的能量分别为为 250GeV, (中间的 Higgs 粒子衰变很 0 快,不考虑中间过程 Higgs 粒子的能量问题,只考虑最后产生了两个 Z 玻色子)Z0 玻色子的质量为 120GeV。测得一个电子的质量为 E1 ,一个 ? 子的质量为 E2 ,这两个粒子速度方向之间的夹角 ? ,写 出 E1 、 E2 和 ? 之间应当满足的关系。并对 E1 ? 25GeV , E2 ? 35GeV 算出 ? 。

第 29 届复赛模拟赛题

46

第八题(24 分) 壁球室虽然在室内进行,却并不是宅男宅女的专利。如图一个直角的墙壁,某人将球在距离墙角 l ,距离地面高度 d 的地方扔出,经过反弹后能回到原点。 (1)假设地面和墙面都是光滑的,弹性的。为了保证小球能回到手里,小球水平抛出的速度 v0 应 但满足什么条件。 (2)假设地面是光滑的,墙面的摩擦系数为 ? ,碰撞都是弹性的(法向速度反向) ,于

d ? 1.0m l ? 2.0m , ? ? 0.25 , g ? 9.8ms ?2 。以与水平方向夹角 ? ? ?

?
6

v ? 4 3m / s 下抛出,让

小球依次与地面和墙面各碰撞一次后, 求人需将手放在什么高度才能接到球。 若速度变为 v ? 2 3m / s 是否还能在球仅与地面和墙面碰撞各一次的情形下接到球?

v0
l
d

第 29 届复赛模拟赛题

47

第 29 届复赛模拟赛题 第三套答案及评分标准
第一题(20 分) 如图一个均匀的质量为 m 框架套在一根横截面为 L ? L 的正方形的固定木棒上,木棒只有棱与框 架接触,摩擦系数为 ? ,框架的尺寸与棒的位置如图所示。 在框架下方挂一个重力为 P 的重物,为了保持框架不滑动重物的位置 x 应满足什么条件?
L

D

L

L

x θ P

mg

【解】 : 由受力分析,压力的合力为 N1 ? N 2 ? (mg ? P) cos ? ,摩擦力的合力为 f ? (mg ? P) sin ? 临界条件下必有 ? ( N1 ? N 2 ) ? f ? (mg ? P) sin ? (8 分) 故 N1 ?

? (mg ? P) cos ? ? (mg ? P) sin ? ? ? (mg ? P) cos ? ? (mg ? P) sin ? ; N2 ? (4 分) 2? 2?

由和力矩为 0,

P?(
x?

D L D L D L ? L ? x ? tan ? ) cos ? ? N1 ? ( ? L) ? ?N 2 ? ? N 2 ? ? ?N1 ? (6 分) 2 2 2 2 2 2

Dgm? ? gLm ? ? 2 DP? ? LP? ? gLm? 2 ? LP? 2 ? gLm tan ? ? LP tan ? ? LP? tan ? 2?P

由于当 x 变小时两侧的压力可以不断增大,故 x 需比上式小。 (2 分)

PS:临界条件分析

D L D L D L ? L ? x ? tan ? ) cos ? ? N1 ? ( ? L) cos ? ? ?N 2 ? ? N 2 ? cos ? ? ?N1 ? 2 2 2 2 2 2 D L L D 整理得 P ? ( ? L ? x ? tan ? ) cos ? ? ? f 2 L ? N 2 L ? f ? N ( ? L) 2 2 2 2 P?(
其中 N ? N1 ? N 2 ? (mg ? P) cos ? ,f1、f2 分别为两个地点的摩擦力。 式子左侧会随 x 增大而减小,故临界条件为 ? f 2 L ? N 2 L 最小时。 又 f 2 ? ?N 2 ? F ? ?N 2 ? ?N

第 29 届复赛模拟赛题

48

故临界条件下 ? f 2 L ? N 2 L ? (1 ? ? ) LN2 ,又 ?N 2 ? f 2 ? f ? ?N 2 ? ?N 故临界条件下 ?N 2 ? f ? ?N 2 ? ?N 从而 N 2 ?

f ? ?N f ? ?N ,此时显然有 N1 ? 及答案中的各式。 2? 2?

第二题(20 分) 绕柱子 某人用手拿着一个半径为 r 的圆柱,放在光滑水平面上。一个质量为 m 的小球,通过一根长度为 l 的绳子连在圆柱上。开始的时候绳子与圆柱相切,小球有大小为 v 的初始速度,方向垂直于绳子。 然后绳子就卷到了圆柱上,直到小球与圆柱相撞。求出为了保持圆柱不动,手应当给圆柱的作用力和 力矩随时间的关系。

v0
【解】 : 小球始终受到垂直于运动方向的力,故可认为小球速度始终不变。 (3 分)

mv0 又绳上受力提供向心加速度,故 T ? ,R 为绳子未绕在圆柱上的长度。 (3 分) R
只需求 R-t 的关系式。 ?R ? r?? ? ?r 故 R?R ? v0 r?t ,积分得 故T ?

2

v0 ?t R

l 2 R2 ? ? v0 rt (6 分) 2 2

mv0

2

l 2 ? 2v0 rt

从而绳给与圆柱的力和力矩可求, (6 分)
2

由于圆柱合力与和力矩均为 0,故手给圆柱的合力大小为 T ?

mv0

l 2 ? 2v0 rt

(方向与圆柱-球连线方向

相反) ,力矩(相对于圆柱心)为 Tr ?

mv0 r l 2 ? 2v0 rt

2

(方向使得圆柱逆时针转动) (2 分)

第三题(20 分) 稳压电路 如图是一个稳压电路,电源的电动势 ? ? 15V ,内阻 r ? 10? ,负载 R ? 60? 。二极管的伏安曲 线如图所示,当反向电压超过 11V 时候,反向电流迅速增大,这个现象我们叫做反向击穿。如图所示 的电路能让电源电动势发生变化的时候,负载上的电压变化不大。 (1)求出电源电动势为 15V 时,负载上的电压,以及二极管上消耗的功率。 (2)如果要求负载上的电压变化小于 1mV ,则电源上的电压变化不能超过多少?

第 29 届复赛模拟赛题

49

?,r

R

【解】 : (1)设流经 R 的电流为 I,反向流经二极管为 I',二极管上正向电压为 U。 则 ? ? IR ? ( I ? I ' )r 即 I ' ?

3 ? 14 I 90 ? 7U ? (4 分) 2 60

作图得交点为(-12V,-100mA) 故二极管上功率为 1.2W(5 分)

(2)如图所示,二极管电压变化 1mV,电流约变化 0.1mA(3 分) ,而负载的电流变化 0.017mA(3 分) 故电源电压变化 ?? ? ?IR ? (?I ? ?I ' )r ? 2.17mV 即电源上的电压变化不能超过 2.17mV(5 分)

第四题(18 分)
第 29 届复赛模拟赛题

50

变化的磁场能产生电场,变化的电场也能产生磁场。回忆磁生电的电磁感应定律:对于封闭曲面 的磁通量变化率等于电动势的负值,电动势可以看作这个曲边上每一段感应电场与位移的乘积之和

?? 。类似于安培环路定律,对于封闭曲面的电通量变化率与这个曲面上的磁场相 ?t 1 ?? e 关。空间中没有电流的时候,可以写成: ? B ? ?l ? 2 。其中 ? e 是电通量。 c ?t 有一个半径为 R ,厚度为 d ?? R 的平行板电容器,两个极板电量都均匀分布,极板上的电量会

? ? ? E ? ?l ? ?

随着时间变化 Q ? Q0 cos(?t ) 。 (1)求出电容器中距离轴线距离为 x 的点,感应出来的磁场(不考虑这个变化的磁场产生的电场) 。 ,沿着电容器直 (2)一束动量为 P ,接近光速运动的带电量为 q 的电子(不考虑电子只想相互作用) 径方向入射,出射的时候方向会有微小改变,求出改变的方向随时间的变化关系。 【解】 : (1)由于对称性,各个距电容器中心距离相等的点处的感应磁场相等。 考虑某个半径为 r 的园,有 B ? 2?r ? 解得 B ? ?

1 ?r 2 ?E ?r 2 ?Q ?r 2 ? Q0? sin(?t ) ? 2 ? ?? R 2 c 2 ?t c Cd?t c 2

?rQ0 sin(?t ) (9 分) 2?c 2?R 2

(2)改变的方向垂直于速度方向和磁场方向,故电子始终在直径上运动。 总冲量

I ? ? Bqv?t ? ? Eq?t ? ??

( R ? vt)Q0? sin(?t ) Q q cos(?t ) qv?t ? ? 0 ?t (3 分) 2 2 ??R 2 2?c ?R

由于电子速度很快,认为电场变化很慢和磁场几乎不变(磁场的效果和电场变化的效果是同阶小量, 通过计算发现,两项的效果均为 0)。

I ??

?RQ0 ?vQ0 T 2 Q0 q cos(?t ) ? ? qv t T qv t ? ? T sin( ) sin( ) ??R 2 2?c 2?R 2 2?c 2?R 2 2

I ??

?Q0 ?Q 2Q q cos(?t ) 2Q0 q cos(?t ) q sin(?t ) ? 2 0 q sin(?t ) ? 0 (4 分) ? 2 ?c ? ?c ? ??Rv ??Rv
?1

从而改变方向为 ? ? tan

I (1 分) P

? ? tan ?1

2Q0 q cos(?t ) 2Q q cos(?t ) c 2 m 2 ? P 2 ? tan ?1 0 (1 分) ??RvP ??RcP 2

(直接将上式中 v 写成 c 是正确的,由于速度接近光速) 由于接近光速,上式可以简化为 ? ?

2Q0 q cos(?t ) ?? RcP

第五题(18 分) 某位同学为了卖萌,开始吹气球。气球初始状态的半径为 r0 。气球皮的表面张力系数 ? 与气球半
第 29 届复赛模拟赛题

51

径 r 之间的关系为 ? (r ) ?

? 0r
r0

。大气压为 p 0 ,室温以及人体的温度都保持为 T0 不变,气球皮是绝热

的。同学每次能将空气中 V0 体积的空气吸入肺中,然后缓缓吹入气球,最后把气球半径吹到了 2r0 。 (不考虑水汽的问题,空气的等体热容量为 Cv ? (1)气球内空气最后的温度为多少? (2)同学要花几口气才能把气球吹到这么大? 【解】 : (1)半径为 r 时,气球内外的压强差为 ?P ? 考虑人吹入气体时的情形,

5 R) 2

2? r? 2? 0 (2 分) (气球皮只有一个面) ? ? r2 r0

5 5 5 (n ? ?n) R(T ? ?T ) ? nRT ? ?nRT0 ? PV?n ? 4?r 2 P?r 2 2 2

5 5 7 ?nRT ? nR?T ? ?nRT0 ? 4?r 2 P?r 由于小量,ΔnΔT 项舍去 2 2 2
由 P ?r ? nRT ,可得 ?n ?
3

4 3
2

4?r 2 P?r ? nR?T RT

14?r 2 PT0 ?r 7nRT0 ?T 14?r P?r ? ? T 2T
由于最初 T=T0 故 ?T ? 0 ,从而 T=T0 恒成立。(4 分) (2)由

5 5 7 ?nRT ? nR?T ? ?nRT0 ? 4?r 2 P?r (以气体为对象) 2 2 2
4 P?r 3 (4 分) 3RT0
P0V0 (4 分) RT0

4?r 2 P?r ? ?nRT0 ,故函数关系式 n ?

每次从空气中吸入 V0 ,吸入的摩尔数为 n ?

4 P? (2r0 )3 4 P? r03 ? 3RT0 3RT0 28P? r03 28? ( P0 r03 ? 2? 0 r0 2 ) 故需吹 N ? (4 分) ? ? PV 3PV 3PV 0 0 0 0 0 0 RT0

第六题(20 分) 双筒望远镜的结构可以简化成这样:在潜望镜的基础上加上目镜和物镜。其中物镜的焦距为

第 29 届复赛模拟赛题

52

f1 ? 12cm ,两个目镜之间的距离为 d ? 6.5cm ,两个目镜之间的距离为 D ? 12.5cm ,物镜到第一面
反射镜中心的距离为 l1 ? 4cm ,目镜到第二面反射镜中心的距离为 l2 ? 2cm 。 (1)为了能看清远方的物体,目镜的焦距为多少? (2)一个人高 1.7m,站在 200m 远的地方,用望远镜看的时候,这个人的在人眼中占的所占的视角 会被放大多少倍? (3)接第二问,人看用两只眼睛看物体的时候会通过两只眼睛看见的视觉形象不同而估计物体的远 近。在(2)中,人通过左右眼视觉形象差别而估计的物体的位置距离人有多远?

【解】 : (1)目镜到物镜的等效距离为 故目镜的焦距为 f 2 ? s ? f1 ? ?3cm (5 分) (2)

600 1 1 1 v 3 ? ? ,可得 v1 ? m ,像的放大率为 ? 1 ? ? u1 v1 f1 u1 4997 4997 15027 m 499700

第二次成像 u2 ? s ? v1 ? ?

1 1 1 v 4997 5009 ? ? ,可得 v2 ? ? m ,像的放大率为 ? 2 ? u 2 v2 f 2 u2 12 400

1 ? 200 1 ? 3.99 (10 分)直接通过放大率公式也算正确 故像的总放大率为 ,视角放大率为 4 4 ? v2
(3)原物体左右视角差为 ?0 ?
65mm 200m 125mm 200m

物体到达两个镜筒的视角差为 ?1 ? 这个视角被望远镜放大后为 ?1 ' ?

125mm ?4 200m

125mm 于是人认为的距离为 65mm / ( ? 4) ? 26m (5 分) 200m

第七题(20 分) 寻找 Higgs 粒子
第 29 届复赛模拟赛题

53

在阿尔卑斯山脚下,在法国瑞士边界,一群人挖了一个周长 27 公里的大坑,在地下把质子加速 到了 7TeV 的高能, 然后让粒子对撞…他们的目标是-找到那个被标准模型预言, 赋予粒子质量的 Higgs 粒子。然后…他们居然以超过 99.9994%的置信度找到了一个看起来和预言中粒子性质差不多的粒子, 质量也在预言的范围内,大约 126GeV。Higgs 这年已然 85 岁了…老泪纵横(等了 40 年,就为了这一 天…) 这次发现是通过“gamma gamma fusion”到四个轻子的过程完成的。我们忽略一切具体细节,把 模型简化成这样: 先产生两个能量很高的光子, 它们对撞, 通过一些过程生成了 Higgs 粒子, 然后 Higgs 迅速就衰变了,比如先衰变到两个 Z 0 玻色子,然后再衰变到两对轻子,比如说一对正负电子,一对 正负 ? 子。 (由于某些复杂的原因, 这中间的 Higgs 粒子的质量其实不是 126GeV, 我们姑且当 126GeV 算吧…)

? ? ? ? h ? Z 0 ? Z 0 ; Z 0 ? e? ? e? ; Z 0 ? ? ? ? ? ?
你可能会用到这些常数 me ? 0.51MeV ; m? ? 106MeV ; mh ? 126GeV 普朗克常数 h ? 6.64 ?10?34 J ? s (1)为了让这个反应能进行,参与反应的两个光子频率最少为多少(假设两个光子频率一样) (2)假设两个光子沿着一条直线对撞,两光子的能量分别为 250GeV,Z0 玻色子的质量为 120GeV。 测得一个电子的质量为 E1 ,一个 ? 子的质量为 E2 ,这两个粒子速度方向之间的夹角 ? ,写出 E1 、E2 和 ? 之间应当满足的关系。并对 E1 ? 25GeV , E2 ? 35GeV 算出 ? 。 【解】 : (1)要生成 Higgs 粒子,参与反应的光子能量至少 计算得(4 分) (2) E ? mc ?
2

mh ? 63GeV 2

m0 c 2 1?
2

v c2

2

; P ? mv ?

m0v 1?
2

v c2

2

? E?

v c2



v 1 m0 c 2 ? ? ,故 P ? c2 c2 E2

E 2 ? m0 c 4 c2

故正负电子的动量分别为

P 1 ?
正负 ? 子的动量分别为 P3 ?

E1 ? me c2
E2 ? m? c2
2 2

2

2

P2 ?
P4 ?

(250 ? E1 ) 2 ? me c2
(250 ? E2 ) 2 ? m? c2

2

(2*2 分)

2

(2*2 分)

(由于属于极端相对论效应,所以上面各个动量表达式中的 me , m? 均可以忽略) Z0 的动量为 P 0 ?

(250)2 ? mZ0 2 c
2

?

48100 (2 分) c2

(由于 Z0 不属于极端相对论效应,所以 mZ0 不可以忽略)

第 29 届复赛模拟赛题

54

由于正负电子,正负 ? 子的动量和分别与 Z0 的动量相等,故电子与 Z0 的夹角为

P ? P0 ? P2 ? 7200 ? 250 E1 cos ? ? 1 ? 2 2 2P 1P 0 48100( E1 ? me )
P ? P0 ? P4 ? 7200 ? 250 E2 (4 分) ? ? 子与 Z0 夹角为 cos ? ' ? 3 2 2 2 P3 P0 48100( E2 ? me )
对 E1 ? 25GeV , E2 ? 35GeV
2 2 2

2

2

2

? ? 100?;? ' ? 78.3? 故夹角为 1.7?;158.3? (2 分)
第八题(24 分) 壁球室虽然在室内进行,却并不是宅男宅女的专利。如图一个直角的墙壁,某人将球在距离墙角 l ,距离地面高度 d 的地方扔出,经过反弹后能回到原点。 (1)假设地面和墙面都是光滑的,弹性的。为了保证小球能回到手里,小球水平抛出的速度 v0 应但 满足什么条件。 (2)假设地面是光滑的,墙面的摩擦系数为 ? ,碰撞都是弹性的(法向速度反向) ,于

d ? 1.0m l ? 2.0m , ? ? 0.25 , g ? 9.8ms ?2 。以与水平方向夹角 ? ? ?

?
6

v ? 4 3m / s 下抛出,让

小球依次与地面和墙面各碰撞一次后, 求人需将手放在什么高度才能接到球。 若速度变为 v ? 2 3m / s 是否还能在球仅与地面和墙面碰撞各一次的情形下接到球?

v0
l
【解】 : (1)打在墙上反弹的轨迹应该与没有墙的轨迹完全关于墙对称。故设没有墙时反弹至最高的时候, 水平位置据原位置 x,则必有 kx ? 2l (k ? 1,2,3...) 。 由平抛的性质, x ? 2

d

2d ? v0 g

从而 v0 ?

l k

g (k ? 1,2,3...) (6 分) 2d

(2)①撞上墙的时间为 t ?

l 1 ? s vx 3
2

? v y ? v y ? 2 gd 1 2 撞地面时, v y t '? gt ' ? d ,解得 t ' ? (2 分) ? 0.22s 。 2 g
设弹起后至高度 h 与墙相碰,则
第 29 届复赛模拟赛题

55

1 2 , h ? ? g (t ? t ' ) 2 ? (t ? t ' ) v y ? 2 gd ? 0.5735m (2 分) 2
此时速度为 v y ? 2 gd ? g (t ? t ' ) ? 4.512m / s (向上) (2 分) 故碰后切向速度为 vy ? 2 gd ? g (t ? t ') ? 2?vx ? 1.512m / s (2 分)
2

2

经过时间 t 后,高度为 h ? v ' t ? gt ? 0.533m
2

1 2

(1 分)

( ? ? 0.25 ;0.03m)

②撞上墙的时间为 t ?

l 2 ? s vx 3
2

? v y ? v y ? 2 gd 1 2 (2 分) 撞地面时, v y t '? gt ' ? d ,解得 t ' ? ? 0.308s 。 2 g
设弹起后至高度 h 与墙相碰,则

1 2 (2 分) h ? ? g (t ? t ' ) 2 ? (t ? t ' ) v y ? 2 gd ? 1.074m , 2
(2 分) 此时速度为 v y ? 2 gd ? g (t ? t ' ) ? 1.24m / s (向上) 由于 vy ? 2 gd ? g (t ? t ') ? 2?vx ? 0 ,故碰后切向速度为 0。 (2 分)
2

2

经过时间 t 后,高度为 h ? gt ? 0 故无法回到手里。 (1 分)
2

1 2

第 29 届复赛模拟赛题

56

第 29 届复赛模拟赛题 第四套
满分 160 分 时间 180 分钟 第一题(20 分) 一个质量为 m 的质点,从静止开始,在一个可变的外力作用下做直线运动,从 0 到 t 时间段内质 t 点的平均加速 a(t ) ? a0 (1 ? ) 如下图所示, (1)请定性画出质点瞬时速度 v(t ) 与瞬时加速度 a(t ) 的函数 t0 图像; (2)求出外力功率最大的时刻 t1 ,并求此最大功率 P 1。
a

a0

0

t0

t

a

0

t

v

0

t

第 29 届复赛模拟赛题

57

第二题(20 分) 我们把太空站想象成为一个半径为 r ? 20m 的均匀质量圆环,总质量为 m 。一只兔子就住在圆环 上(兔子的质量和大小可以忽略不计) ,拿着一个质量为 m /10 的陨石,开始体系静止。兔子为了感 觉舒服一些,将陨石沿着太空站平面以速度 v 扔出去,结果圆环高速旋转,使得兔子感觉跟地面附近

g ? 9.8ms ?2 一样。然而陨石于太空站发生完全弹性碰撞,撞了 4 次后,第 5 次把兔子砸死了(空间
站表面光滑)…求兔子扔出陨石的时候,陨石相对于兔子的速度的可能值,并定性画出兔子看到的陨 石的轨迹。

第 29 届复赛模拟赛题

58

第三题(20 分) Chinese Box 如图一个面积为 S ,厚度为 d 的平行板电容器,上下极板带电 ?Q 。在两个电容器之间加入再放 入一个小电容器,面积为

S d Q ,厚度为 ,上下极板各自带电 。不考虑重力,忽略一切边缘效应。 2 2 2

电容器作为一个整体,上下极板不会相对运动,电容器的极板视为正方形。 (1)将小电容器放在大电容器正中间,求静电平衡时大电容器上下极板之间的电势差 (2) 保持各块金属板的总电量不变, 慢慢地把小电容器水平抽出大电容器, 当抽出部分面积达到 时候,求出为了保持小电容器受力平衡所需要的外力。

S 的 4

第 29 届复赛模拟赛题

59

第四题(18 分) 真空环境下,金属的尖端在一定温度下会向外发射电子,发射电流和尖端的形状相关。如图在真 空环境下,有两块金属平板,间距为 d ,其尖端都向外发射电子,两个尖端的面积和形状不同,导致 两端的发出的电流大小分别为 I 0 和 I 0 ' 。为了计算简单,在侧视图中观察,我们认为电子只能在这个 平面中向各方向均匀发出,速度大小为 v ,电子质量为 m ,电量为 e ,电子一旦与金属相撞就被金属 吸收。在垂直于电子速度方向加有均匀的静磁场 B 。 求两个极板之间形成的电流与极板间距 d 的关系,以及电阻 R 上的发射功率。 (以下不是考题:考虑如果电子能在空间中均匀发射会怎么样?电阻上的功率由谁来提供?这个 体系能否持续工作而不产生其他影响?)
B

R

侧视图

v

R
斜视图

第 29 届复赛模拟赛题

60

第五题(18 分) 闪闪的红星 一个五角星的线框由 5 根长度为 l ,电阻为 r 的金属棒构成。在中间的五边形的顶点上,金属棒 交叉单不接触。线框整体能绕着如图所示的轴线以角速度 ? 旋转。在垂直于纸面方向由匀强磁场 B 。 (1)求出线框从当前位置,旋转半圈之后流过的电量为多少? (2)初始时刻线圈的位形如图所示,请计算 t 时刻为了保持匀速旋转需要的外力力矩?

B

第 29 届复赛模拟赛题

61

第六题(20 分) 做太空行走的时候,一件很重要的事情是保温。我们先把宇航员假象成一个半径为 R 的球形黑体 (囧 rz) ,满足黑体辐射公式:单位面积上辐射的功率为 j ? ? T 4 ,其中 T 为物体温度。然后把宇航 服当作一个球壳,能向内外两面辐射,单位面积辐射的功率和温度相关,但是能将入射的辐射一部分 反射回去,反射率为 r (由于宇航服内部导热很快,可以认为宇航服各处温度近似相等)。人的发热功 率为 P 。太阳半径为 Rs ,太阳表面温度为 Ts ,将太阳是为黑体,太阳距离地球 Re 。 (1)如果人躲在地球阴影里,则人能保持的温度为多少? (2)如果人走出阴影,开始晒太阳,则人能保持的温度为多少?

第 29 届复赛模拟赛题

62

第七题(20 分) 按照广义相对论的预言, 加速运动的物体会引起引力场的变化, 从而激发引力波, 向外辐射能量。 引力波的探测一直以来是非常困难的。一种判定引力波存在的证据是观察大质量双星系统的运动周期 (或者中子星的脉冲) 。我们把模型作如下简化:两个质量为 m 的星体绕着其质心作圆周运动,开始 的时候双星之间的间距为 l 。当星体的加速度为 a 时,其引力波辐射功率为 P ? ka 2 ,其中 k 是一个很 小的常数。 (万有引力常数为 G ,双星之间的引力作用可以用牛顿的万有引力公式计算) 。 (1)双星体系的周期变化 0.01% 需要经过多长时间 (2)按照这个理论双星越来越近,最后几乎相撞。估算相撞需要的时间。

第 29 届复赛模拟赛题

63

第八题(24 分) 超声光栅是现代光学的一项技术,先利用超声波产生驻波。驻波不同的位置空气密度不同,从而 导致折射率随空间周期变化。当光线垂直与驻波方向入射的时刻,经过不同位置的光走过光程不同, 从而导致干涉现象出现。 (1) 超声波频率为 f 0 ,声速为 u 。在容器中约形成了 N ? 2 ? 104 个波节,估算容器长度; (2)接上一问,声波是纵波,可以用波函数 u( x, t ) ? A0 sin(?t ? kx) 代表一束向 x 轴正方向传播的声波, 其中 u( x, t ) 代表初始时刻在 x 位置的空气在 t 时刻相对初始时间发生的位移。没有声波时空气密度为

? 0 ,空气折射率与密度之间的关系为 n( ? ) ? 1 ? ?? , (??0 ?? 1) ,由此计算出,当两列振幅为 A0 ,周 期为 T0 ,波长为 ?0 的声波分别沿 x 正方向和 x 轴负向同时传播相互叠加时,空气折射率随 x 和 t 的函
数关系 n( x, t ) 。 (3)接上一问,有波长为 ? 的单色光如图垂直入射透明的容器,按照惠更斯原理,若经过一定厚度 的空气后,不同点可以视为初始相位不同的点光源,向各方向发出子波。写出不同点初相位随着 x 的 变化关系。 (4)接上一问,若在某方向上观察,初相位相差 2k? ( k 为整数)的点光源形成的光程差恰好为波长的 整数倍,则相干加强成为亮条纹, 在距离容器足够远的 L 的位置观察,求相邻两条纹的间距。 (声波 波长远长于光波波长)
单色光 超声波发射器 容器 x

θ L

观察屏 x

第 29 届复赛模拟赛题

64

第 29 届复赛模拟赛题 第四套答案及评分标准
第一题(20 分) 一个质量为 m 的质点,从静止开始,在一个可变的外力作用下做直线运动,从 0 到 t 时间段内质 t 点的平均加速 a(t ) ? a0 (1 ? ) 如下图所示, (1)请定性画出质点瞬时速度 v(t ) 与瞬时加速度 a(t ) 的函数 t0 图像; (2)求出外力功率最大的时刻 t1 ,并求此最大功率 P 1。 【解】 : (1) a ?

v ? v0 v t ? ? a0 (1 ? ) (2 分) t t t0
t ) (2 分) t0

v ? a0t (1 ?

a?

2t ?v ? a0 (1 ? ) (2 分) t0 ?t

图像略(4 分) (2) P ? FV ? mav ? ma0 t (1 ?
2

3t 2t 2 ? ) (5 分) t0 t0

求导得 P' ? ma0 (1 ?

2

6t 6t 2 ? ) t0 t0

从而当 t ?

3? 3 3 t0 时最大功率 P ? ma0 2t0 (5 分) 6 18

第二题(20 分) 我们把太空站想象成为一个半径为 r ? 20m 的均匀质量圆环,总质量为 m ? 100kg 。一只兔子就 住在圆环上(兔子的质量和大小可以忽略不计) ,拿着一个质量为 m /10 的陨石,开始体系静止。兔 子为了感觉舒服一些,将陨石沿着太空站平面以速度 v 扔出去,结果圆环高速旋转,使得兔子感觉跟 地面附近 g ? 9.8ms ?2 一样。然而陨石于太空站发生完全弹性碰撞,撞了 4 次后,第 5 次把兔子砸死 了(空间站表面光滑)…求兔子扔出陨石的时候,陨石相对于兔子的速度的可能值,并定性画出兔子 看到的陨石的轨迹。 【解】 : 由向心加速度为 g, ? r ? g (1 分)
2

令相对于初态的陨石速度沿切线分量为 vx ,大小为 v ,与法线夹角为 ?

10 gr m v ? vx r , vx ? 10 gr , 由角动量守恒,相对于初态 m? r ? sin ? (2 分) 10
2

由于动量守恒,相对于初态,太空站的速度为 vx ' ?

gr gr , v ' ? sin ? (2 分)

第 29 届复赛模拟赛题

65

相对于圆环质心的速度为 vx '' ? 11 gr ; v '' ?

11 gr (2 分) sin ?

相对于兔子, vx兔子 ? 12 gr , v y 兔子 ?

11 gr cos ? sin ?

由于每次碰撞都是弹性的,有能量守恒+动量守恒得到,每次碰撞之后,相对速度大小不变,方向相 对于圆环满足镜面反弹(2 分) 假设进过 t 时刻相遇, 则在圆环质心系看来 (注意: 不是兔子的旋转参考系! ) , 兔子走了一段圆弧 ?t , 陨石走过一段弦,角度为 ? ? 2? 。由于第五次要撞上,则有

? ? 2? ? ?t ?

2n? 5
n 不可被约分,因为前面 4 次没有撞) (3 分) 5

(其中 n 为整数,因为第 5 次要撞上去; 将 v '' t ? 2r cos ? 带入得到

? ? 2? ?

2sin ? cos ? 2n? ? 11 5

数值计算得到 情况一 n ? 1 , 相对地面, ? ? 0.98438rad ? 56.40? , (1 分) 相对兔子 v ?

11 gr cos ? 2 (12 gr ) 2 ? ( ) ? 196.7m / s (1 分) sin ?

相对于兔子角度 ? ' ? arctan

12 ? arctan( tan ? ) ? 56.9? (1 分) 11 11 gr cos ? / sin ?

12 gr

情况二 n ? 2 , 相对地面, ? ? 0.3430rad ? 19.65? ,然后带入算 vx,vy) (1 分) 相对兔子 v ?

11 gr cos ? 2 (12 gr ) 2 ? ( ) ? 462.9m / s (1 分) sin ?

相对于兔子角度 ? ' ? arctan

12 ? arctan( tan ? ) ? 21.3? (1 分) 11 11 gr cos ? / sin ?

12 gr

图略 一个是曲边五边形,一个是曲边五角星(2 分)

想不清楚为啥带圈的同学可以考虑相对速度方向的变化;喜欢做受力分析的同学考虑科里奥利力;喜 欢写代码的同学自行编程;喜欢兔子的同学自行扔球…

第 29 届复赛模拟赛题

66

第三题(20 分) Chinese Box 如图一个面积为 S ,厚度为 d 的平行板电容器,上下极板带电 ?Q 。在两个电容器之间加入再放 入一个小电容器,面积为

S d Q ,厚度为 ,上下极板各自带电 。不考虑重力,忽略一切边缘效应。 2 2 2

电容器作为一个整体,上下极板不会相对运动,电容器的极板视为正方形。 (1)求静电平衡时大电容器上下极板之间的电势差 (2) 保持各块金属板的总电量不变, 慢慢地把小电容器水平抽出大电容器, 当抽出部分面积达到 时候,求出为了保持小电容器受力平衡所需要的外力。

S 的 4

【解】 : (1)如图设左侧电场为 E1,上下电场为 E2,中间电场为 E3.

?SE2

2 2 ?SE2 ?SE1 ? ? Q (2 分) 2 2 Ed Ed U ? E1d ? 2 ? 3 (2 分) 2 2 3Q 5Q Q 解得 E1 ? ; E2 ? ; E3 ? ? 4?S 4?S 4?S 3Qd 故电势差为 U ? (1 分) 4?S
(2)设小电容在内部面积为 Ss。

?

?SE3

?

Q (2 分) 2

?S s E2 ? ?

S Q E3 ? (1 分) 2 2

?Ss E2 ? ?SE1 ? ?Ss E1 ? Q (1 分)
U ? E1d ?
解得 E1 ? 当 Ss ?

E2 d E3d ? (1 分) 2 2
2

Q

S ? Ss S ? 3Ss 3S ? Ss Q Q (3 分) ; E2 ? ; E3 ? 2 2 2 2 ? S ? 3SSs ? 2Ss ? S ? 3SSs ? 2Ss ? S ? 3SSs ? 2Ss 2

S 10Q 22Q 2Q 时 E1 ? ; E2 ? ; E3 ? 4 13?S 4?S 4?S Q 1 Q 1 竖直受力为 Fy ? E2 ? E2 (? ) ? 0 (1 分) 2 2 2 2

电场的总能量为

第 29 届复赛模拟赛题

67

d ?E S d W? Ss ? 3 ( S ? S s )d ? 2 2 2 2 22 (1 分) 2 5S ? S s dQ ? 8? S 2 ? 3SS s ? 2S s 2

?E12

?E2 2

2

?W dQ 2 7 S 2 ? 10SS s ? S s W 关于 Ss 的导数为 (2 分) ?? ?S s 4? ( S 2 ? 3SS s ? 2S s 2 ) 2

2

S dQ 2 7 S 2 ? 10SS s ? S s ?W ?W Fx ? ? ?? ? ?? 2 4? ( S 2 ? 3SS s ? 2S s 2 ) 2 ?x ?S s
S 2 (3 分) 2

2

S 71dQ 2 S 2 (向右) ?? 2 2 169?S

Fx ? 0.42

dQ 2

?

S

第四题(18 分) 真空环境下,金属的尖端在一定温度下会向外发射电子,发射电流和尖端的形状相关。如图在真 空环境下,有两块金属平板,间距为 d ,其尖端都向外发射电子,两个尖端的面积和形状不同,导致 两端的发出的电流大小分别为 I 0 和 I 0 ' 。为了计算简单,在侧视图中观察,我们认为电子只能在这个 平面中向各方向均匀发出,速度大小为 v ,电子质量为 m ,电量为 e ,电子一旦与金属相撞就被金属 吸收。在垂直于电子速度方向加有均匀的静磁场 B 。 求两个极板之间形成的电流与极板间距 d 的关系,以及电阻 R 上的发射功率。 (以下不是考题:考虑如果电子能在空间中均匀发射会怎么样?电阻上的功率由谁来提供?这个 体系能否持续工作而不产生其他影响?)
B

R

【解】 : 由向心加速度公式及牛二律,解得 R ?

mv (右转)(5 分) Be

由几何知识,当圆心越过中心线与发射点连线时,电子能到达对面。

2 arccos
故到达电子占总电子数的比例为

2?

d d arccos 2R ? 2 R (5 分)

?

从而电流为 I ? I 0 ? I 0 '

arccos

?
2

Bed d arccos 2mv I ? I ' (5 分) 2R ? 0 0

?

电阻上的发热功率为 P ? I R ? (

arccos

?

Bed 2mv ) 2 ( I ? I ' ) 2 R (3 分) 0 0

不是考题的部分请同学先在贴吧先讨论着
第 29 届复赛模拟赛题

68

第五题(18 分) 闪闪的红星 一个五角星的线框由 5 根长度为 l ,电阻为 r 的金属棒构成。在中间的五边形的顶点上,金属棒 交叉单不接触。线框整体能绕着如图所示的轴线以角速度 ? 旋转。在垂直于纸面方向由匀强磁场 B 。 (1)求出线框从当前位置,旋转半圈之后流过的电量为多少? (2)初始时刻线圈的位形如图所示,请计算 t 时刻为了保持匀速旋转需要的外力力矩?

B

【解】 : (1)计算磁通量减少。可以把每个棒子的电动势拆成三段,一共 15 段,外面 10 段构成一个五角星 面积,里面 5 段构成一个正 5 边形面积,由此可见算面积的时候把中间算两次就可以了。 (得数见下 面) 令解:构造一个新的体系,还是这个形状,但是磁场垂直于平面,不断变小。两个体系的磁通量是一 样的,因此回路电动势是一样的(每根棒子电动势不一样!但是回路加起来是一样的! )

?B 由于对称性,每一根金属棒在减小的磁场里产生的电动势为 ? 1 ? ?S ? ?t
到导体两端与导体所组成部分面积) (5 分) 故总电动势为 ? ? 5? 1 ?

l 2 tan

10 ?B (S 为从中心 4 ?t

?

5l 2 tan

10 ?B (1 分) 4 ?t

?

故q ?

? I ?t ? ? 5r ?t ? ?
5l 2 tan

2?

l 2 tan 2r

?
10 ?B ?

Bl 2 tan 2r

?
10 (4 分) (磁通量正面通过到反向通过要算

两倍)

(2)由 ? ? 5? 1 ?

10 ?B ; i ? ? ? 4 ?t 5r

?

l 2 tan

10 ?B 4r ?t

?



?W ? ?i ? ?t

5l 4 tan 2 16r

?
10 B 2? 2 sin 2 ?t (4 分) 0 5l 4 tan 2 16r

从而力矩为

?W ?W 1 ? ? ? ?? ?t ?

?
10 B 2? sin 2 ?t (4 分) 0

第六题(20 分) 做太空行走的时候,一件很重要的事情是保温。我们先把宇航员假象成一个半径为 R 的球形黑体 (囧 rz) ,满足黑体辐射公式:单位面积上辐射的功率为 j ? ? T 4 ,其中 T 为物体温度。然后把宇航
第 29 届复赛模拟赛题

69

服当作热的良导体,能向内外两面辐射,但是能将入射的辐射一部分反射回去,反射率为 r 。人的发 热功率为 P 。太阳半径为 Rs ,太阳表面温度为 Ts ,将太阳是为黑体,太阳距离地球 Re 。 (1)如果人躲在地球阴影里,则人能保持的温度为多少? (2)如果人走出阴影,开始晒太阳,则人的温度保持为多少? 【解】 : (1)记保持温度为 T,如下图所示 人向宇航服辐射功率为 J1 ,宇航服向外辐射为 J 3 ,宇航服向人辐 射为 J 2 ? J 3 ? rJ1 , (宇航服自身辐射部分+反射部分 1 分) 由黑体辐射公式 J1 ? S? T 4 .(2 分) 由人体热平衡 由整体热平衡

J1 ? P ? J 2 (2 分)

J3 ? P
2P

(2 分)

解得 S? T ? 1 ? r ; T ?
4

4

2P (1 分) 4? R ? (1 ? r )
2

J3

J1

J2

(2)太阳的总辐射为 J s ? S? Ts ? 4? Rs
4

2

? Ts 4 (2 分)

吸收的辐射为 J吸 ? (1 ? r ) ? 由人体热平衡 由整体热平衡 解得

(1 ? r )? R 2 Rs 2? Ts 4 ? R2 2 4 (3 分) ? ? ? ? 4 R T s s 4? Re 2 Re 2

J1 ? P ? J 2 ? P ? J 3 ? J1r (2 分)

P ? J吸收 =J 3 (2 分)

S? T 4 (1 ? r ) ? 2 P ?

(1 ? r )? R 2 Rs 2? Ts 4 Re 2

T?

4

2 PRe 2 ? (1 ? r )? R 2 Rs 2? Ts 4 (3 分) 4? R 2 Re 2? (1 ? r )

第 29 届复赛模拟赛题

70

第七题(20 分) 按照广义相对论的预言, 加速运动的物体会引起引力场的变化, 从而激发引力波, 向外辐射能量。 引力波的探测一直以来是非常困难的。一种判定引力波存在的证据是观察大质量双星系统的运动周期 (或者中子星的脉冲) 。我们把模型作如下简化:两个质量为 m 的星体绕着其质心作圆周运动,初态 (万有引 间距为 l,当星体的加速度为 a 时,其引力波辐射功率为 P ? ka 2 ,其中 k 是一个很小的常数。 力常数为 G ,双星之间的引力作用可以用牛顿的万有引力公式计算) (1)双星体系的周期变化 0.01% 需要经过多长时间 (2)按照这个理论双星越来越近,最后几乎相撞。估算相撞需要的时间。 【解】 : (1)双星的势能为 E p ? ?

Gm2 2R

向心加速度 a ?

v 2 Gm ? R 4R 2 Gm2 kG2 m 2 E 2 ? , (5 分) k 4R 8R 4

从而 P ? 2ka ?
2

轨道总能量为 E ? E p ? 2 Ek ? ?

Gm2 Gm2 ?? (5 分) 4R 2l

随着轨道总能量变小,v 变大,R 变小,T 变小。

Gm2 Gm2 ?? 由于 E ? E p ? 2 Ek ? ? 4R 2l
由 T ? l 3/2 , 能量 ?E ?
?t ?
?T 3 ?l ? T 2 l

Gm2 G 2 m2 2 ? l ? k ?t 2l 2 l4

l 3 ?l l 3 ?T l3 0.01% (5 分) ? ? 4kG l 6kG T 6kG

Gm2 2kG 2 m2 ?l ? P?t ? ? ?t (2) ?E ? 2l 2 l4
l 2 ?l ? ?4kG?t
利用 ?(l ) ? 3l ?l ,得到下面答案(不要跟我 argue 说复赛不考查解微分方程,去年复赛就用的
3 2

这个式子…)

t总 ?

l3 (5 分) 12kG

第八题(24 分) 超声光栅是现代光学的一项技术,先利用超声波产生驻波。驻波不同的位置空气密度不同,从而
第 29 届复赛模拟赛题

71

导致折射率随空间周期变化。当光线垂直与驻波方向入射的时刻,经过不同位置的光走过光程不同, 从而导致干涉现象出现。在某些方向上经过相同折射率的空气的那些光线的光程差恰好为波长的整数 倍,从而形成亮条纹。 (1)超声波频率为 f 0 ,声速为 u 。在容器中约形成了 N ? 2 ? 104 个波节,估算容器长度; (2)接上一问,声波是纵波,可以用波函数 u( x, t ) ? A0 sin(?t ? kx) 代表一束向 x 轴正方向传播的声波, 其中 u( x, t ) 代表初始时刻在 x 位置的空气在 t 时刻相对初始时间发生的位移。没有声波时空气密度为

? 0 ,空气折射率与密度之间的关系为 n( ? ) ? 1 ? ?? , (??0 ?? 1) ,由此计算出,当两列振幅为 A0 ,周 期为 T0 ,波长为 ?0 的声波分别沿 x 正方向和 x 轴负向同时传播相互叠加时,空气折射率随 x 和 t 的函
数关系 n( x, t ) 。 (3)接上一问,有波长为 ? 的单色光如图垂直入射透明的容器,按照惠更斯原理,若经过一段厚度 为 h 的空气后,不同点可以视为初始相位不同的点光源,向各方向发出子波。写出不同点初相位随着 x 的变化关系。 (4)接上一问,若在某方向上观察,初相位相差 2m? ( m 为整数)的点光源形成的光程差恰好为波长 的整数倍,则相干加强成为亮条纹, 在距离容器足够远的 L 的位置观察,求相邻两条纹的间距。 (声 波波长远长于光波波长) 【解】 : (1)由 N ?? 1 , l ?

uN (4 分) 2 f0

(2)两列波叠加得 u ? u' ? 2 A0 sin ?t cos kx (4 分) 原位置叠加波产生的位移,计算新位置得 x' ? x ? u ? u' ? 2 A0 sin ?t cos kx ? x (2 分) 空气密度为 ? ?

?0

?x ?x 1 ? ?0 ? ?0 ?x' ?(2 A0 sin ?t cos kx ? x) 1 ? 2kA0 sin ?t sin kx 1 ? 1 ? ??0 ? 2??0 kA0 sin ?t sin kx (2 分) 1 ? 2kA0 sin ?t sin kx
? 2? h

折射率 n( x) ? 1 ? ?? ? 1 ? ??0 (3)相位差 ? ( x) ? n( x)h

2?

?

?

(1 ? ??0 ? 2??0 kA0 sin ?t sin kx) (4 分)

(4)按照题中提示,对于超声光栅,光栅常数是两个等折射率点之间的距离,因此 d ? 令条纹间距为 H ,带入光栅方程有 H d ? ? (由于声波波长远小于光波波长,因此可以用小角近似) L ? L ? Lf0 ? H? (4 分) d u

u f0

第 29 届复赛模拟赛题

72

第 29 届复赛模拟赛题 第五套
满分 160 分 时间 180 分钟 第一题(22 分) 一个质量为 m 的人站在长度为 l 质量为 M 的木板上,木板和地面摩擦系数为 ? 。要求人在不同 的位置都能将自己和木板拉离地面(即木板绕着右方端点转起来,假设人的脚和木板之间用胶水黏起 来,不会分离和滑动) 。问摩擦系数 ? 应当满足的关系。取 m/M=2。

l

x
l

第 29 届复赛模拟赛题

73

第二题(20 分) 【梯子不用时请横放】 一个梯子用完了,靠在墙上,小明同学不小心一脚踢到了梯子上,将梯子踢飞了,脚肿了不要紧, 要紧的时砸到了花花草草,甚是不安。现在我们来粗略还原一下现场。为了简化问题,将梯子视为质 量为 M、长度为 L 的匀质棒子,竖直靠在墙上。梯子与地面、墙面的摩擦系数忽略不计,小明同学的 脚视为质量为 m 的质点。脚的初速度方向也平行于墙与地面的交线,脚踢到梯子时,碰撞点为梯子的 最下方,视为完全非弹性碰撞,且碰撞时间非常短,之后由于小明疼痛难耐,脚不再与梯子接触。 (均 2 匀棒绕质心的转动惯量为 I=ML /12) (1)求小明以初速 v0 踢完梯子瞬间梯子的运动状态。 (2)若小明这一脚踢得很重,刚刚踢完,梯子就直接“飞”起来了(即接触点与地面分离) ,问脚的 初速度至少为多少。

第 29 届复赛模拟赛题

74

第三题(20 分) 某军用无线电技术利用干涉可以保证通讯的安全性,某指挥部的无线电发射基地设在 A 处,B、 C 为两不同作战单位,可接收无线电信号,为防止泄密,指挥部希望与其中一个作战单位通讯时,另 一个作战单位不能同时收到信号。因此指挥部架设了两根发射天线 S1 和 S2,可以同时发出信号,并 且两天线所发出信号的相位差可在每次发射前调整,采用的无线电波波长为 ? ,如图所示,AB 方向 线朝 AC 方向线逆时针转角 ? ? ? 。图中 A、S1、S2 三点共线,连线长度为 r,AB 方向线沿逆时针方 向到 S1S2 方向线的转角记为 ? (顺时针方向为负) ,A、B 间距和 A、C 间距都远大于 r 和 ? 。 (1)取不同的 ? ,找出 r 可取的最小值 rmin 。 (2)取 rmin ,画出 S1S2 连线相对 AB 连线和 AC 连线的方位图,标出相应的 ? 角旋转方向。 (3)取 rmin ,对给定的发射功率,为使 B 处收到的信号最强,试求输入 S1S2 之间信号的相位差。

第 29 届复赛模拟赛题

75

第四题(20 分) 三叶草 一根特殊的弹簧,原长为 0,当长度 0 ? x ? R 时,弹力为 F ? ?6kx ,当长度 R ? x ? 2R 时,弹 力 F ? ?kx 。将弹簧一端连在在光滑水平桌面上的固定点上,可自由转动,另一端系着质量为 m 的小 球。现在将小球拉至 2R 位置,并以垂直于弹簧的初速 v0 ? 0.7877

k R 释放。 m

(1)求出小球最靠近原点的时候的速度大小,以及和原点的距离。 (2)求出从释放小球到小球第一次最靠近原点的过程中,弹簧的方向转过了多少角度。 (3)定性描绘小球的轨迹。

第 29 届复赛模拟赛题

76

第五题(20 分) 【某萝莉的超电磁炮】 御坂美琴的绝招之一是高速射出硬币以打击目标,现在我们建立简单模型对其进行分析。 设美琴产生的高压击穿空气,产生两条很长的半径为 r,电流密度为 J 的等离子柱,中间是通有电流 的半径为 R、质量为 m 的硬币,电流 I 穿过硬币,I 远小于等离子柱中的电流(如图) 。 (1)若硬币最左侧所在位置的磁感应强度与硬币中心处磁感应强度的差别小于 10%,即可视为匀强 磁场,试问可以将其视为匀强磁场的 r、R 之间关系。 (2)在(1)问的条件下,以硬币中心处的磁感应强度近似表示这个准均匀磁场。若美琴的能力能够 使等离子柱长达 20m,沿着竖直方向分布,要求能将硬币以速度 v ? 20m / s 发射,则等离子体柱中的
2 电流密度至少为多少?取 g=9.8m/s , r=30mm, R=11.3mm, m=4.8g, I=10A, ?0 ? 4? ? 10?7 H / m

第 29 届复赛模拟赛题

77

第六题(20 分) 如图是一个老式的蒸汽机。右边是一个体积为 V0 的气缸,内部存有一些水,下方有火炉加热。左 边也是一个体积为 V0 的气缸,上方是一个活塞,忽略活塞质量和摩擦。活塞上方是一个传动杆,连接 到机械上。蒸汽机的工作流程是这样:某时刻左右气缸内均为温度为 T0=373K 的饱和水蒸气,封闭中 间的阀门,将传动杆练到负载上,通过冷却器将左边活动温度迅速降到 T1=343K,然后活塞开始向下 运动,拉动传动杆做功。几乎平衡之后,将左边气缸水排出,将传动杆与负载断开,打开中间的阀门, 饱和蒸汽将活塞顶起来,使得左边气体积到达 V0 ,回到初始状态,反复循环。请计算此蒸汽机的热机 等于 373K 的饱和蒸汽压。 343K 效率的最大值, 以及一个循环中蒸汽机做功的最大值。 (大气压为 p0 , 的水蒸气饱和蒸气压为 ? p0 , 水的密度远大于水蒸气密度, 活塞底面积为 S , 水蒸气的摩尔质量为 ? , 普适气体常量为 R ,373K 温度下,单位质量的水的汽化热为 L )

第 29 届复赛模拟赛题

78

第七题(20 分) 一个质子以速度 v 撞向一个静止的质子,结果撞完之后变成了三个质子加一个反质子。为了让反 应能够进行,入射的质子速度至少应当为多少。如果改为两个质子对撞,两个质子的速度相同,则速 度 v ' 至少应当为多少?(质子和反质子质量相同,仅电量相反,忽略反应产物之间的相互作用)

第 29 届复赛模拟赛题

79

第八题(18 分) 如图,在两根水平放置的间距为 l 的无电阻的金属光滑轨道上,垂直放置了 n 根质量为 m,电阻 为 r 的导体棒,初始状态第 i 根棒的速度为 vi ,当作已知量。假设每根棒之间的间距都足够远,直到 各棒相对静止的时候都没有发生碰撞。求从初始状态开始到各棒相对静止,第 1 根棒跟第 n 根棒之间 的相对位移为多少?
v1

v2

vn

第 29 届复赛模拟赛题

80

第 29 届复赛模拟赛题 第五套答案及评分标准
第一题(22 分) 一个质量为 m 的人站在长度为 l 质量为 M 的木板上,木板和地面摩擦系数为 ? 。要求人在不同 的位置都能将自己和木板拉离地面(木板绕着右方端点转起来,而不发生滑动,人的脚和木板之间用 胶水黏起来,不会分离和华东) 。问摩擦系数 ? 应当满足的关系。取 m/M=2。

l

x
l
【解】 : 力和力矩平衡得 以右方点为支点,对木板写力矩方程: Tl ? Mg

l ? (mg ? T cos ? )(l ? l tan ? ) ? 0 (4 分) 2

竖直方向受力平衡 N ? T ? T cos ? ? mg ? Mg (3 分) 水平方向受力平衡 f ? T sin ? (3 分) 不滑动 ? N ? f (2 分) 解得 ? ?

5 sin ? ? 4 sin ? tan ? (5 分) 1 ? cos ? ? 2 sin ? ? 4 tan ?

数值解得:

??

5sin ? ? 4sin ? tan ? ? 0.455 ,当 ? ? 0.4061取到(5 分) 1 ? cos ? ? 2sin ? ? 4 tan ?

第二题(20 分) 【梯子不用时请横放】 一个梯子用完了,靠在墙上,小明同学不小心一脚踢到了梯子上,将梯子踢飞了,脚肿了不要紧, 要紧的时砸到了花花草草,甚是不安。现在我们来粗略还原一下现场。为了简化问题,将梯子视为质 量为 M、长度为 L 的匀质棒子,竖直靠在墙上。梯子与地面、墙面的摩擦系数忽略不计,小明同学的 脚视为质量为 m 的质点。脚的初速度方向也平行于墙与地面的交线,脚踢到梯子时,碰撞点为梯子的 最下方,视为完全非弹性碰撞,且碰撞时间非常短,之后由于小明疼痛难耐,脚不再与梯子接触。 (均 2 匀棒绕质心的转动惯量为 I=ML /12) (1)求小明以初速 v0 踢完梯子瞬间梯子的运动状态。 (2)若小明这一脚踢得很重,刚刚踢完,梯子就直接“飞”起来了(即接触点与地面分离) ,问脚的 初速度至少为多少。

第 29 届复赛模拟赛题

81

【解】 : 设撞击之后梯子的质心速度为 v ,角速度为 ? ,撞击之后脚的速度为 v
x 1

由动量守恒: mv1 ? Mvx ? mv0 以地面为参照系,以初态梯子的质心为参照点写角动量守恒:

(3 分)

l 1 l mv1 ? Ml 2? ? mv0 2 12 2
由非弹性碰撞

(4 分)

?r ? vx ? v1
解得

(4 分)

??

mv0 4mv0 6mv0 , v1 ? , vx ? (5 分) 4m ? M 4m ? M (4m ? M )l
l (4m ? M ) ? g ,所以 v0 ? 2 gl (4 分) 2 6m

要求开始的时候能飞起来,需 ?

2

第三题(20 分) 某军用无线电技术利用干涉可以保证通讯的安全性,某指挥部的无线电发射基地设在 A 处,B、 C 为两不同作战单位,可接收无线电信号,为防止泄密,指挥部希望与其中一个作战单位通讯时,另 一个作战单位不能同时收到信号。因此指挥部架设了两根发射天线 S1 和 S2,可以同时发出信号,并 且两天线所发出信号的相位差可在每次发射前调整,采用的无线电波波长为 ? ,如图所示,AB 方向 线朝 AC 方向线逆时针转角 ? ? ? 。图中 A、S1、S2 三点共线,连线长度为 r,AB 方向线沿逆时针方 向到 S1S2 方向线的转角记为 ? (顺时针方向为负) ,A、B 间距和 A、C 间距都远大于 r 和 ? 。 (1)取不同的 ? ,找出 r 可取的最小值 rmin 。 (2)取 rmin ,画出 S1S2 连线相对 AB 连线和 AC 连线的方位图,标出相应的 ? 角旋转方向。 (3)取 rmin ,对给定的发射功率,为使 B 处收到的信号最强,试求输入 S1S2 之间信号的相位差。

第 29 届复赛模拟赛题

82

【解】 : (1)干涉时,由于要求其中一处的信号是完全加强的,另一处是完全相消的,则两信号源发射信号 到 B 的相位差与到 C 的相位差之差,应为正负半波长
r cos ? ? r cos(? ? ? ) ? ?

?
2

(4 分)

考虑到 r 为正值,得到
r?

?
2 cos ? ? cos(? ? ? )

利用和差化积公式得到 ? (4 分) r? ? ? 4sin sin( ? ? ) 2 2 当? ?
rmin ?

? ??
2

? 0 时,有

?
4sin

?
2

(2 分)

(2)由于 ? ? 0 如图

(2 分) (3)此时在 B 点接收到的相位差为 L ? r cos ? (3 分) 设 S1 超前 ? 相位,则

? ? ? k ? (3 分) 2? 解得
L?

??

4k ? 1 2? (2 分) 4

第四题(20 分) 三叶草 一根特殊的弹簧,原长为 0,当长度 0 ? x ? R 时,弹力为 F ? ?6kx ,当长度 R ? x ? 2 R 时,弹力 将弹簧一端连在在光滑水平桌面上的固定点上, 可自由转动, 另一端系着质量为 m 的小球。 F ? ?kx 。
第 29 届复赛模拟赛题

83

现在将小球拉至 2R 位置,并以垂直于弹簧的初速 v0 ? 0.7877

k R 释放。 m

(1)求出小球最靠近原点的时候的速度大小,以及和原点的距离。 (2)求出从释放小球到小球第一次最靠近原点的过程中,弹簧的方向转过了多少角度。 (3)定性描绘小球的轨迹。 【解】 : (1)写出势能函数

1 E p ? 6kx 2 (0 ? x ? R) 2 (2 分) 1 1 E p ? kx 2 ? 5kR 2 ( R ? x ? 2 R) 2 2
总能量 E ?

1 9 mv0 2 ? kR 2 (2 分) 2 2
2v0 R b0

假设在最近点距离为 b0 ,由角动量守恒,此时速度为 由能量守恒: E ?

1 2v0 R 2 1 1 9 m( ) ? 6kb0 2 ? mv0 2 ? kR 2 b0 2 2 2 2

解得 b0 ? 0.5684R (2 分) (3 分) (2)在 x ? R 和 x ? R 区域分别在两个正交的方向上做简谐振动。 在 x ? R 区域,假设初态相位为 0,到达 x ? R 相位为 ?1 (2 分) 则有 (2R cos ?1 )2 ? (0.7877 R sin ?1 )2 ? R2 有 ?1 ? 70.42? , 此时转过的角度为 ?1 ? arctan(
0.7877sin ?1 ) ? 47.91? (2 分) 2cos ?1

在 x ? R 区域,假设最近点相位为 0,反向到达 x ? R 相位为 ?2 两个方向振幅分别为 b0 ? 0.5684R , a0 ?
v 6k / m ? 2 Rv0 b0 6k / m ? 1.1315R (2 分)

有 (b0 cos ?2 )2 ? (a0 sin ?2 )2 ? R2 有 ?2 ? 57.24? ,从 x ? R 到最近点转过的角度

?2 ? arctan(

a0 sin ?2 ) ? 72.09? (2 分) b0 cos ?2

总共转过角度 ?1 ? ?2 ? 120.00? (1 分) (3)画出三叶草(2 分)

第 29 届复赛模拟赛题

84

p.s.传说中四片叶子的三叶草常常作为幸运的代表, 其实仔细想想应当是变异的产物。 换句话说变态产 物常幸运,智障儿童欢乐多

第五题(20 分) 【某萝莉的超电磁炮】 御坂美琴的绝招之一是高速射出硬币以打击目标,现在我们建立简单模型对其进行分析。 设美琴产生的高压击穿空气,产生两条很长的半径为 r,电流密度为 J 的等离子柱,中间是通有电流 的半径为 R、质量为 m 的硬币,电流 I 穿过硬币,I 远小于等离子柱中的电流(如图) 。 (1)若硬币最左侧所在位置的磁感应强度与硬币中心处磁感应强度的差别小于 10%,即可视为匀强 磁场,试问可以将其视为匀强磁场的 r、R 之间关系。 (2)在 1)问的条件下,以硬币中心处的磁感应强度近似表示这个准均匀磁场。若美琴的能力能够使 等离子柱长达 20m,沿着竖直方向分布,要求能将硬币以速度 v ? 20m / s 发射,则等离子体柱中的电
2 流密度至少为多少?取 g=9.8m/s , r=30mm, R=11.3mm, m=4.8g, I=10A, ?0 ? 4? ? 10?7 H / m

【解】 : (1)感应强度反比于与离子柱中心的距离,

第 29 届复赛模拟赛题

85

2 1 1 2 ?110% ? ? ? ? 90% R?r r r ? 2R R ? r 另一个计算得到 2.32 也算正确 故 r ? 2.16R (6 分) (2) F ? BIL ? 2BIR ; (3 分)

B ? 2?

?0 J ? r 2 (3 分) 2? (r ? R)
v2 ? 10m / s 2 (3 分) 2S IR ? m(amin ? g ) (2 分)
7 2

加速度 amin ?

故F ?2

?0 Jr 2
r?R

解得 J ? 1.5 ?10 A / m 第六题(20 分)

(3 分) 另一个计算有偏差也算正确

如图是一个老式的蒸汽机。右边是一个体积为 V0 的气缸,内部存有一些水,下方有火炉加热。左 边也是一个体积为 V0 的气缸,上方是一个活塞,忽略活塞质量和摩擦。活塞上方是一个传动杆,连接 到机械上。蒸汽机的工作流程是这样:某时刻左右气缸内均为温度为 T0 ? 273K 的饱和水蒸气,封闭 中间的阀门,将传动杆练到负载上,通过冷却器将左边活动温度迅速降到 T1 ? 243K ,然后活塞开始 向下运动,拉动传动杆做功。几乎平衡之后,将左边气缸水排出,将传动杆与负载断开,打开中间的 阀门,饱和蒸汽将活塞顶起来,使得左边气体积到达 V0 ,回到初始状态,反复循环。请计算此蒸汽机 的热机效率的最大值,以及一个循环中蒸汽机做功的最大值。 (大气压为 p0 , 243K 的水蒸气饱和蒸 气压为 ? p0 ,水的密度远大于水蒸气密度,活塞底面积为 S ,水蒸气的摩尔质量为 ? ,普适气体常量 为 R , 273K 温度下,单位质量的水的汽化热为 L )

【解】 : 由于左侧温度始终为 343K,故压强始终为 ? p0 (4 分) 从而有效功为 W ? Fh ? ( p0 ? ?p0 ) Sh ? (1 ? ? ) p0V0 (5 分) 每次循环,蒸汽机做功使得 n ?

P0V0 的液体变成气体。 (4 分) RT0
第 29 届复赛模拟赛题

86

故总功 W总 ? ?nL ?

?LP0V0
RT0

(5 分)

故热机效率为? ?

(1 ? ? ) RT0 W (2 分) ? W总 ?L

第七题(20 分) 一个质子以速度 v 撞向一个静止的质子,结果撞完之后变成了三个质子加一个反质子。为了让反 应能够进行,入射的质子速度至少应当为多少。如果改为两个质子对撞,两个质子的速度相同,则速 度 v ' 至少应当为多少? 【解】 : (1)一个动的质子撞静质子,相对质心看,与前者相同,故能量最小的情形下,三个质子和一个反 质子速度相同。 故 mpc ?
2

P 2 2 P 2c 2 ? m p c 4 ? 4 ( ) 2 c 2 ? m p c 4 其中 P ? 4

mpv v2 1? 2 c

(7 分)

解得 v ?

4 3 c (3 分) 7
mpv v2 1? 2 c

(2)两个质子相同速度对撞时,应有总动量为 0. 故 2 P c ? m p c ? 4m p c 其中 P ?
2 2 2 2 4

(7 分)

解得 v ?

3 c (3 分) 2

第八题(18 分) 如图,在两根水平放置的间距为 l 的无电阻的金属光滑轨道上,垂直放置了 n 根质量为 m,电阻 为 r 的导体棒,初始状态第 i 根棒的速度为 vi ,当作已知量。假设每根棒之间的间距都足够远,直到 各棒相对静止的时候都没有发生碰撞。求从初始状态开始到各棒相对静止,第 1 根棒跟第 n 根棒之间 的相对位移为多少?
v1 v2 vn

【解】 : 考虑两金属导轨的电势差,应有 U ? Blv i ? I i r (I 为从下到上的电流) (4 分)

第 29 届复赛模拟赛题

87

由基尔霍夫定律

?I
1

n

i

? 0 (4 分)

故 nU ?

? Blv
1

n

i

, U ? Blv (2 分)

带入得 I i r ? Bl (vi ? v ) 故由受力分析及牛二律 ai ? ?

B 2l 2 (vi ? v ) (2 分) mr

B 2l 2 (vi ? v ) B 2l 2 由加速度定义 ?vi ? ? ?t ? ? ?xi 其中 xi 为相对质心的位置改变量。 mr mr
两侧求和得 v ? vi ? ?

B 2l 2 xi (5 分) mr

故第 1 根棒跟第 n 根棒之间的相对位移为 x1n ? xn ? x1 ? 分)

mr(vn ? v ) mr(v1 ? v ) mr(vn ? v1 ) (1 ? ? B 2l 2 B 2l 2 B 2l 2

第 29 届复赛模拟赛题

88

第 29 届复赛模拟赛题 第六套
满分 160 分 时间 180 分钟 第一题(20 分) Andy Riley 画了《找死的兔子》 ,该书中的兔子精通各种物理原理,从而成功自杀。一个轻质的跷 跷板,长度为 l ? 1.000m ,支点在中间,高 0.200m ,兔子从一定高度 h ? 2.000m 做自由落体运动,与 跷跷板发生完全非弹性碰撞,之后落地时与地面发生完全非弹性碰撞,问兔子是否可能自杀成功?如 果可能兔子与石头的质量比 m / M 应当为多少? g ? 9.80m / s 2

第 29 届复赛模拟赛题

89

第二题(20 分) Andy Riley 画了《找死的兔子》 ,该书中的人们精通各种物理原理,从而帮助兔子成功自杀。 巨石的质量为 1 ? 105 kg ,巨石下有 10 根圆木,人们拉着巨石缓缓移动。圆木的质量可以忽略,所 有地方均不滑动。由于压力巨大,圆木被压扁了 0.2%,圆木滚动之后被压扁的地方又恢复了原状。假 设圆木滚动的时候作用力集中在 A、B 两点。重力加速度取 g ? 9.8N / kg (1)原始人至少需要多大的拉力才能将巨石拉动? (2)各处摩擦系数至少达到多少才能保证不滑动?

A

B

第 29 届复赛模拟赛题

90

第三题(20 分) 空间中有沿着 z 轴的静磁场,磁场强度和到 z 轴的距离成正比 B(r ) ? B0
r 。一个带电为 q ,质量 r0

为 m 的粒子,在 x ? y 平面内绕着 z 轴在洛仑兹力作用下做圆周运动,半径为 r0 。 (1)写出粒子速度大小 v0 应当满足的式子 (2)在粒子做匀速率圆周运动的时候,给一个沿着半径方向的扰动,求解粒子之后的运动。

第 29 届复赛模拟赛题

91

第四题(20 分) 找一个理想的电容 C ,直接接到一个内阻可以忽略的电压为 U 的电池上,会迅速充电,很显然充
1 电完成的时候,电容器储存能量为 CU 2 ,而电源做功为 CU ,多出的能量,在没有电阻的情况下会 2

以其它的方式耗散掉(例如电磁辐射等) 。 如图所示电路中,电源电动势为 ? ,电阻为 R ,电容为 C 。开始电容不带电。开关闭合后,电容 会迅速充电,然后再慢慢达到平衡。 (1) 计算从闭合开关到电荷稳定过程中,电阻上发热为多少? (2)画出电阻上求过的电量和电阻两端电压的图像,并计算当电阻上发热量累计达到最大发热量一 半时,各电容器上电压为多少。

第 29 届复赛模拟赛题

92

第五题(20 分) 在那个很遥远的年代,在生活很美好的时候,有人出选择题:把一根均匀的筷子竖直插入圆柱形 装水的烧杯中,从侧面观察烧杯,看到的应当是哪一幅图?经过若干次错误和面壁思考,我们的终于 发现答案是 D。现在的问题是,筷子到底变粗了多少倍?

俯视图如下,筷子距离轴心 R / 2 ,水折射率为 n ? 1.33 ,玻璃厚度不记,筷子视为扁平状,人从 如图方向很远的地方观察。

R
h? R 2

x

视线方向

第 29 届复赛模拟赛题

93

第六题(22 分) 月亮离地球越来越远了,以后看到的月亮就越来越小了。其原因在于地球现在的自转角速度比月 亮公转的角速度快, 受到潮汐的影响, 一部分地球自转的动能转化成了地月体系的平动动能和势能 (另 一部分变成了热量) 。这个过程将不断进行,直到月球公转周期和地球自转周期相等,或者月亮飞离 地球(月亮总是用一个面冲着地球) 。我们想关心的问题是月球的命运到底如何?月亮是否会飞离地 球?如果不飞离地球,最后地球上的人看到的月亮大小是现在的多少倍? 当前地球的自转周期为 1 天,月亮公转周期为 27.32天,月亮半径为 1.738 km ,月球质量为
7.350 ? 1022 kg ,当前地月距离为 3.84 ? 108 m ,地球质量为 5.98 ? 1024 kg ,地球半径为 6.37 ? 106 m 。将
2 地球和月亮均视为均匀球体,球体绕过球心的轴定轴转动的转动惯量为 I ? mr 2 ,其中 m 为质量, r 5

球的半径,定轴转动的角动量为 L ? I ? ,定轴转动的动能为 E ?

1 2 I ? ,其中 ? 为角速度。 2

第 29 届复赛模拟赛题

94

第七题(20 分) , 如图一个轻质绝热的可以自由滑动的活塞,下方封有体积为 V0 的水蒸气(初始状态没有液态水) 大气压为 P0 ? 1atm ,水蒸气的温度为 T1 ? 0.98T0 ,其中 T0 为 P0 压强下水的沸点, T0 ? 373.15K 。由于 没有扰动,虽然水蒸气温度低于沸点,但是并不液化,这样的水蒸气被称为过冷蒸汽。这时给蒸汽扰 动,水蒸气就会迅速液化。已知 T0 温度下水的汽化热为 L ? 2256.6852kJ / kg ,水蒸气和水的定压比热 近似为不变量,分别为 2.1kJ ? kg ?1 ? K ?1 和 4.2kJ ? kg ?1 ? K ?1 。 (1)估算在 T1 ? 0.98T0 ,保持压强为 P0 时候水的汽化热。 (2)设气缸是绝热的,问当气体受到扰动液化,最后达到平衡的时候,气体体积 V1 为多少。 (认为液体密度原大于气体)

P0
T1 ? 0.98T0

第 29 届复赛模拟赛题

95

第八题(18 分) 质子的静质量记为 E0 ,一个质子以 3E0 的总能量沿着 x 轴的方向撞向另一个静止的质子。假设碰 撞之后仍然是两个质子,速度方向在 x ? y 平面内。以 px 为横轴,以 p y 为纵轴,画出出射质子的动量 的可能状态。 (以下不是考题:如果撞击后的产物是两个质子加一个 ? 介子,求出射质子动量的可能状态。 ? 介 子的静质量为 0.138E0 )

第 29 届复赛模拟赛题

96

第 29 届复赛模拟赛题 第六套答案及评分标准
第一题(20 分) Andy Riley 画了《找死的兔子》 ,该书中的兔子精通各种物理原理,从而成功自杀。一个轻质的跷 跷板,长度为 l ? 1.000m ,支点在中间,高 0.200m ,兔子从一定高度 h ? 2.000m 做自由落体运动,与 跷跷板发生完全非弹性碰撞,之后落地时与地面发生完全非弹性碰撞,问兔子是否可能自杀成功?如 果可能兔子与石头的质量比 m / M 应当为多少? g ? 9.80m / s 2

画出物理情景 【解】 :

h

v

θ

ω

ω

v ? 2 g (h ? 2h0 ) ? 5.6m / s (式中 h0 ? 0.2m )

(2 分)

在支点看来角动量守恒
l L1 ? mv cos ? ? I? 2

(5 分)

式中 ? 满足 sin ? ?

h0 2h0 ? 1 l 2

I 表示质点看来的转动惯量

第 29 届复赛模拟赛题

97

1 I=(M +m)( )2 2

??

mvl cos ? 2mv cos ? ? 2I ( M ? m)l

(其实拿质点写角动量是一样的) (5 分)

1 1 由能量守恒, I ? ' 2 ? I ? 2 ? (M ? m) grc 2sin ? 2 2 ml l (m ? M ) ? = l 是质心到支点的距离 式中 rC ? M ? m 2 (M ? m)

? ' 2? ?2 ? 2

2h0 (m ? M ) 2 g 2I l l 2

由运动学关联 v ? ? '

其中 v 为抛射速度

?v sin ? t ? l cos ? ? 由运动学知 ? 1 v cos ? t ? gt 2 ? ?l sin ? ? ? 2

(4 分)

得 v' ?

gl cos2 ? ? 3.207m / s sin ?
m ?k M

(2 分)

? ' ? 6.415rad / s ,记
由 ? ' 2? ?2 ?
?

4h0 4 g ( M ? m)l (M ? m)l 2 l

4m2 v 2 cos2 ? 16h0 g (k ? 1) ? ( M ? m)2 l 2 (k ? 1)l 2

?

4k 2 2 g (h ? 2h0 )cos 2 ? 16h0 g (k ? 1) ? (k ? 1)2 l 2 (k ? 1)l 2
k ? 1.402

(2 分)

第二题(20 分) Andy Riley 画了《找死的兔子》 ,该书中的人们精通各种物理原理,从而帮助兔子成功自杀。巨石 的质量为 1 ? 105 kg ,巨石下有 10 根圆木,人们拉着巨石缓缓移动。圆木的质量可以忽略,所有地方均 不滑动。由于压力巨大,圆木的直径被压扁了 0.2%(假设地面没有形变) ,圆木滚动之后被压扁的地 方又恢复了原状。假设圆木如图顺时针滚动的时候作用力集中在 A 、 B 两点。重力加速度取 g ? 9.8N / kg (1)原始人至少需要多大的拉力才能将巨石拉动? (2)各处摩擦系数至少达到多少才能保证不滑动?

第 29 届复赛模拟赛题

98

A

f

N

?

N
f
B

【解】 : 由合外力等于 0,重力可以忽略,两个作用点支持力、摩擦力各自等大。 由于力矩为 0,所以两边支持力与摩擦力的合力过圆心。 (5 分) 摩擦角至少为 ? 。 cos? ? 1 ? 0.2% 解得 ? ? 3.6? 得到 f ? mg tan ? ? 6.2 ? 104 N 摩擦角大于等于 ? ,所以 ? ? tan ? ? 0.063 (5 分) (5 分) (5 分)

第三题(20 分) 空间中有沿着 z 轴的静磁场,磁场强度和到 z 轴的距离成正比 B(r ) ? B0
r 。一个带电为 q ,质量 r0

为 m 的粒子,在 x ? y 平面内绕着 z 轴在洛仑兹里作用下做圆周运动,半径为 r0 。 (1)写出粒子速度大小 v0 应当满足的式子 (2)粒子在做圆周运动的时候收到一个径向扰动,略微偏离了原来的轨道,求解粒子之后的运动。 【解】 : rBq (1) v0 ? 0 0 (2 分) m (2)取极坐标 ? ,? 考虑角动量的变化
?L ? M ?t ? ? ? qvr B(r )?t ? qB0

?
r0

??? ?

qB0 ?? 3 3r0

可见 m? 2? ?

qB0 3 ? 是常数 3r0

(6 分)

qB0 m qB B q qB 得到 mr02 (1 ? x)2 ? ? 0 r03 (1 ? x)3 ? mr02 0 ? 0 r03 3r0 m 3r0

有扰动的时候,令 ? ? r0 (1 ? x) , ?0 ?

1 1 小量近似有 ? ? ?0 ((1 ? x)?2 ? (1 ? x) ? (1 ? x)?2 ) ? ?0 (1 ? x) 3 3

(2 分)

带入径向牛顿第二定律:

第 29 届复赛模拟赛题

99

m( ? ? ?? 2 ) ? ?q?? B

(2 分)

得到
x ? ?2?02 x (等式两边消去 m , r0 )

(4 分)

类比简谐振动得到: 径向做频率为 2?0 的简谐振动 (4 分) (用能量守恒精确到 2 阶,同样给分)

切向几乎保持原角速度转动(偏差为一阶小量) 。

第四题(20 分) 找一个理想的电容 C ,直接接到一个内阻可以忽略的电压为 U 的电池上,会迅速充电,很显然充
1 电完成的时候,电容器储存能量为 CU 2 ,而电源做功为 CU ,多出的能量,在没有电阻的情况下会 2

以其它的方式耗散掉(例如电磁辐射等) 。 如图所示电路中,电源电动势为 ? ,电阻为 R ,电容为 C 。开始电容不带电。开关闭合后,电容 会迅速充电,然后再慢慢达到平衡。 (1)计算从闭合开关到电荷分布稳定过程中,电阻上发热为多少? (2)画出电阻上求过的电量和电阻两端电压的图像,并计算当电阻上发热量累计达到最大发热量一 半时,各电容器上电压为多少。

i1 i2

i1 ? i2 i1
1 ? ? ,电容器储能 E0 ? 3 ? C ( )2 2 3 3

解: (1)迅速充电之后三个电容器上的电压均为 这时候电源通过电量 Q0 ?

C? 2 C? ,电源做功 W0 ? ? Q0 ? 3 3 稳定之后三个电容器的电压均为 ? ,但中间的电容器正负极反向
1 电容器储能 E0 ' ? 3 ? C? 2 2

这时候电源通过电量 Q0 ' ? 3C? ,电源做功 W0 ' ? ? Q0 ' ? 3C? 2
4 电阻发热 ? ? W0 '? W0 ? ( E0 '? E0 ) ? C? 2 3

(8 分)

(2)过一个电阻的电流为 i1 (t ) ,电量为 Q1 (t ) 过中间的电容的电流为 i2 (t ) ,从迅速充电结束之后开始,流过的电量为 Q2 (t ) 这样中间电容器左极板比右极板电势高 U 2 ? 右方方电容器上极板比下极板电势高 U1 ? 对上面的圈写基尔霍夫方程有:
第 29 届复赛模拟赛题

Q2 ? ? (因为开始突然充上了电) C 3

Q1 ? Q2 ? ? C 3

(2 分)

100

i1 R ? U 2 ? U1

对电源回路写基尔霍夫方程有:
2i1 R ? U 2 ? U

(2 分)

两方程消去 Q2 得到
Q 2 i1 R ? ? ? 1 3 3C

得到一个线性函数,

2? 3

i1 R

2C? Q1

(5 分)
2? 3

这个函数下方面积就是左边电阻上的发热。可见当发热量达到总热量一半的时候, i1 R ? 由此可以计算出上下两个电容上的电压为 ? (1 ?
2 2 2 ) ,中间电容器电压为 ? (1 ? ) 3 3

(3 分)

第五题(20 分) 在那个很遥远的年代,在生活很美好的时候,有人出选择题:把一根均匀的筷子竖直插入圆柱形 装水的烧杯中,从侧面观察烧杯,看到的应当是哪一幅图?经过若干次错误和面壁思考,我们的终于 发现答案是 D。现在的问题是,筷子到底变粗了多少倍?

俯视图如下,筷子距离轴心 R / 2 ,水折射率为 n ? 1.33 ,玻璃厚度不记,人从如图方向很远的地方观 察。

第 29 届复赛模拟赛题

101

R
R h? 2 R h? i 2

?

x

视线方向

解:远处看需出射沿“ ? ”方向光线 如左图,由折射定律 n sin i ? sin ? 令筷子到圆心的距离为 h 另入射角为 i , 由正弦定理

(4 分)

h R ? sin i sin( π ? ? ? i ) 2
视线位置 x ? R sin ? 整理的得到
1?

(4 分)

(2 分)

x2 x2 x x x 1? 2 2 ? ? ? 2 R n R R nR nh

对于 h ? R / 2 解得 ? ? 40.7976o (4 分) o i ? 29.3433 令 h ? h ? ?h , x ? x ? ?x 带入上式,计算数值得到 ?x ? 1.23?h 即放大率为 1.23 (6 分)

第六题(22 分) 月亮离地球越来越远了,以后看到的月亮就越来越小了。其原因在于地球现在的自转角速度比月 亮公转的角速度快,受到潮汐的影响,一部分地球自转的动能转化成了地月体系的平动动能和势能, 我们假设这个转化的效率为 50%。这个过程将不断进行,直到月球公转周期和地球自转周期相等,或 者月亮飞离地球(月亮总是用一个面冲着地球) 。我们想关心的问题是月球的命运到底如何?月亮是 否会飞离地球?如果不飞离地球,最后地球上的人看到的月亮大小是现在的多少倍? 当前地球的自转周期为 1 天,月亮公转周期为 27.32 天,月亮半径为 1.738 ? 103 m ,月球质量为
7.350 ? 1022 kg ,当前地月距离为 3.84 ? 108 m ,地球质量为 5.98 ? 1024 kg ,地球半径为 6.37 ? 106 m 。将
3 地球和月亮均视为均匀球体,球体绕过球心的轴定轴转动的转动惯量为 I ? mr 2 ,其中 m 为质量, r 5

球的半径,刚体定轴转动的角动量为 L ? I ? 。 解:基本假设是,质心不受外力,两星球的质心角动量在系统质心和守恒
第 29 届复赛模拟赛题

102

初 态 地 球 自 转 角 速 度 ?e ?
r0 ? 3.84 ? 108 m

2? 2? , 月 球 自 转 和 公 转 的 角 速 度 为 ?0 = ,初态地月距离 27.32天 1天

写两体问题的牛顿第二定律有: G(M e ? M m ) ?0 2 r0 ? r0 2

(2 分)

(用 M e , M m 表示地球和月球质量,用其他方式写出等效方程同样给分) 地球和月亮绕着其质心转动的角动量为 Mm Me MeMm ?0 M e (r0 )2 ? ?0 M m (r0 )2 ? ?0 r0 2 Mm ? Me Mm ? Me Me ? Mm 末态地球和月球达到共同的公转和自转角速度 ? ' G(M e ? M m ) ?0 '2 r0 ' ? r0 '2 初态角动量
L ? ?e
1 2 ? MmMe MmMe 2 2 2 2 ? ?e M e re 2 ? ?0 M m rm 2 ? ?0 3 [G(M e ? M m )]3 M e re 2 ? ?0 M m rm 2 ? ?0 r0 2 5 5 5 5 Mm ? Me Mm ? Me

(4 分)

(4 分) 等于末态角动量
1 2 ? MmMe MmMe 2 2 2 2 L ? ? ' M e re 2 ? ? ' M m rm 2 ? ? ' r '2 ? ? ' M e re 2 ? ? ' M m rm 2 ? ? ' 3 [G( M e ? M m )] 3 Mm ? Me Mm ? Me 5 5 5 5

(4 分) 带入数值,解得:
2? 52.46 2 , r ' ? r0 ? ( ) 3 ? 1.545r0 52.46天 27.32 可见月亮大小变为(视角的平方) r ?re 2 (2 分) (0 ) ? 0.41 r '? re

?'?

(4 分)

第七题(20 分) 如图一个轻质绝热的可以自由滑动的活塞,下方封有体积为 V0 的水蒸气(初始状态没有液态水) , 大气压为 P0 ? 1atm ,水蒸气的温度为 T1 ? 0.98T0 ,其中 T0 为 P0 压强下水的沸点, T0 ? 373.15K 。由于 没有扰动,虽然水蒸气温度低于沸点,但是并不液化,这样的水蒸气被称为过冷蒸汽。这时给蒸汽扰 动,水蒸气就会迅速液化。已知 T0 温度下水的汽化热为 L ? 2256.6852kJ / kg ,水蒸气和水的定压比热 近似为不变量,分别为 2.1kJ ? kg ?1 ? K ?1 和 4.2kJ ? kg ?1 ? K ?1 。 (1)估算在 T1 ? 0.98T0 ,保持压强为 P0 时候水的汽化热。 (2)设气缸是绝热的,问当气体受到扰动液化,最后达到平衡的时候,气体体积 V1 为多少。 (认为液

第 29 届复赛模拟赛题

103

体密度原大于气体)

P0
T1 ? 0.98T0

(1)构造如下的等压循环, ?m 的水温度为 0.98T0 ,等压汽化,再升温到 T0 ,最后等温等压液化,然 后降温到 0.98T0 。由于初末态完全相同,循环做功等于 0,所以有总吸热等于 0
0.98T0气 Q2 T0 气

Q1

Q3 T 0液

0.98T0



?Q1 ? L0.98T0 ?m ? ?Q2 ? C p气 ?m ?T ? ?Q3 ? ? LT0 ?m ?Q ? ?C ?m ?T p液 ? 4

?T ? 0.02T0

? L0.98T0 ? LT0 ? (C p液体 ? C p气体) 0.02T0 =2272.36kJ / kg

(1)假设有 ?n 质量的气体液化,由等压放热平衡:
?n ? L0.98T0 ? (n ? ?n) ? C p气 ? ?T ? ?n ? C p液 ? ?T

解得

C p气 ?T C p气 ?T ?n =6.95 ? 10?3 ? ? n L0.98T0 ? C p气?T ? C p液 ?T LT0

由此

V 1 n ? ?n T0 ? ? 1.013 V0 n 0.98T0

即体积会膨胀 1.3%

第八题(18 分) 质子的静质量记为 E0 ,一个质子以 3E0 的总能量沿着 x 轴的方向撞向另一个静止的质子。假设碰 撞之后仍然是两个质子,速度方向在 x ? y 平面内。 以 px 为横轴,以 p y 为纵轴,画出质子可能的出射状态。 (以下不是考题:如果撞击后的产物是两个质子加一个 ? 介子,求出射质子动量的可能状态。 ? 介

第 29 届复赛模拟赛题

104

子的静质量为 0.138E0 ) 【解】 : 入射质子动量 P
2 由只能关系 E0 ? ( pc)2 ? (3E0 )2

p1 θ p

p2

Pc ? 2 2E0

画出动量守恒对应矢量图
P1 sin ? ? Py , P1 cos? ? Px

由余弦定理 P2 ? P12 ? P1Px ? P22 将 P12 ? Px2 ? Py2 代入 P2 ? Px2 ? 2P1Px ? P22 写出 2 个出射质子的动量一能量关系
2 2 E12 ? E0 ? (P1c)2 ? E0 ? (Px c)2 ? (Py c)2

2 2 2 E2 ? E0 ? (P2 c)2 ? E0 ? (Pc)2 ? (Px c)2 ? (Py c) 2 ? 2P1Px c2

由能量守恒, E1 ? E2 ? 4E0
2 2 E2 ? 4E0 ? E1 ? E2 ? 16E0 ? E12 ? 8E0 E1 化简有

2 2 2 9E0 ? 4 2Px cE0 ? 16E0 ? E0 ? 8E0 E1

2 8E0 E1 ? 8E0 ? 4 2Px cE0

2E1 ? 2E0 ? 2Px c 4E12 ? (2E0 ? 2Px c)2
2 2 4[ E0 ? (Px c)2 ? (Py c)2 ] ? 4E0 ? 4 2Px ( E0 ? 4Px c)2

2(Px c)2 ? 4 2(Px c) E0 ? 4(Py c)2 ? 0
x?

Py c Px c ,y? E0 E0

2( x ? 2)2 ? 4 y 2 ? 4

( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 如右图 2

第 29 届复赛模拟赛题

105

Py/(E0/c)

1 2

2 2

Px/(E0/c) -1

(正常的做法是现在质心系写,显然是一个圆,然后换回地面系,用洛仑兹变换,拉长了 ? ,于是就 是椭圆了,整个过程基本口算。不是考题部分:口算的实心椭圆)

第 29 届复赛模拟赛题

106


相关文章:
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案(完整Word版)
(数值结果允许 有 5% 的相对误差) 6 第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 三、 (25 分) 如图所示, 两根刚性轻杆 AB 和 BC 在 B 段牢固粘接在一起, AB...
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案(完整Word版)
第29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共 8 题,满分 160 分。 一、 (17 分)设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静...
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案(完整Word版)(1)
由(5) 、(6) 、(14) 、(16) 、(18) 、(21) 、(22)和(23)式得 8 第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 ? ? arctan 即 3 1? ? (24) (25) ...
第29届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
第29届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。 第 29 ...第 1 问 13 分, (2)式 1 分, (5)式 2 分, (6) 、(7) 、(10)...
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。第29届全国...第 1 问 13 分, (2)式 1 分, (5)式 2 分, (6) 、(7) 、(10)...
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及参考答案 精美WORD高清版
6页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请...第29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考答案一、 由于湖面足够宽阔而物块体积很小...
第29届全国中学生物理竞赛复赛精简WORD版
第29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共 8 题,满分 160 分。 一、 (17 ...第 1 问 13 分, (2)式 1 分, (5)式 2 分, (6) 、(7) 、(10)...
第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第1套答案
第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第1套答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第1套答案2013 年物理竞赛复赛模拟试题—第一套...
2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案 第29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考...
更多相关标签:
中学生物理竞赛复赛 | 31届物理竞赛复赛试题 | 33届物理竞赛复赛试题 | 高中物理竞赛复赛试题 | 2016物理竞赛复赛试题 | 32届物理竞赛复赛试题 | 物理竞赛复赛试题 | 30届物理竞赛复赛试题 |