当前位置:首页 >> 数学 >>

2014海淀区高二年级第一学期期末练习数学理


2014 海 淀 区 高 二 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习

数学(理科)
2014.01

学校

班级

姓名

成绩

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1) 抛物线 y 2 ? 2 x 的准线方程是 (A) x = ( (C) x = )

1 2

(B) y =

1 2

1 2

(D) y = -

1 2
( )

(2)若直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则实数 a ? (A) ?

1 2

(B) ?2

(C)

1 2

(D) 2

(3)在四面体 O - ABC 中,点 P 为棱 BC 的中点. 设 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,那么 向量 AP 用基底 {a, b, c} 可表示为(

??? ?

??? ?

????

??? ?

) (B) ?a +

C

1 1 1 a+ b? c 2 2 2 1 1 (C) a + b ? c 2 2
(A) ? (4)已知直线 l ,平面 ? .则“ l ^ (A)充分而不必要条件 (C)充要条件

1 1 b? c 2 2 1 1 1 (D) a + b ? c 2 2 2

P O A B ( )

? ”是“ $ 直线 m ? ? , l ^ m ”的
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(5) 若方程 mx ? (2 ? m) y ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则实数 m 的取值范围是 (
2 2



(A) (1, ??)

(B) (0, 2)

(C) (1, 2)

(D) (0,1)

(6)已知命题 p : 椭圆的离心率 e ? (0,1) ,命题 q : 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛 物 ( 线 ) (B) p ? (?q) 是真命题 的 切 线 , 那 么

(A) p ? q 是真命题

(C) (?p) ? q 是真命题

(D) p ? q 是假命题

(7) 若焦距为 4 的双曲线的两条渐近线互相垂直, 则此双曲线的实轴长为 (A) 4 2 (B) 4 (C) 2 2 (D) 2





(8)如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 是 棱 CC1 上的一个动点,平面 BED1 交棱 AA1 于点 F .则下 列 ( 命 )
F A D B C D1 A1 B1 C1 E





假 .

命 .

题 .



(A)存在点 E ,使得 A1C1 //平面 BED1 F (B)存在点 E ,使得 B1 D ? 平面 BED1 F (C)对于任意的点 E ,平面 A1C1 D ? 平面 BED1 F (D)对于任意的点 E ,四棱锥 B1 ? BED1 F 的体积均不变

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上. ( 9 ) 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 a = ( 2, , 1, 3 ) b = (- 4, 2, x) . 若 a ^ b , 则

x=

.
2 2

(10)过点 (1,1) 且与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切的直线方程是 (11)已知抛物线 C : y ? 4 x , O 为坐标原点, F 为 C 的焦
2

.

D1

点 , P 是 C 上 一 点 . 若 ?OPF 是 等 腰 三 角 形 , 则
A1

C1 B1

P

PO =

.
D C B

(12)已知点 F1 , F2 是双曲线 C 的两个焦点,过点 F2 的直线交
A

双曲线 C 的一支于 A, B 两点,若 ?ABF1 为等边三角形,则 双曲线 C 的离心率为 .

(13)如图所示,已知点 P 是正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 的棱 A 1 D1 上的一个动点,设异面 直线 AB 与 CP 所成的角为 ? ,则 cos? 的最小值是 .

(14) 曲线 C 是平面内与定点 F (2,0) 和定直线 x ? ?2 的距离的积等于 4 的点的轨迹.给出下 列四个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于 x 轴对称; ③曲线 C 与 y 轴有 3 个交点; ④若点 M 在曲线 C 上,则 MF 的最小值为 2( 2 ? 1) . 其中,所有正确结论的序号是___________.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题共 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(4, 0) ,动点 M 在 y 轴上的正射影为点 N ,且满足直 线 MO ? NA . (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)当 ?MOA ?

π 时,求直线 NA 的方程. 6

(16)(本小题共 11 分) 已知椭圆 C : 3x ? y ? 12 ,直线 x ? y ? 2 ? 0 交椭圆 C 于 A, B 两点.
2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的焦点坐标及长轴长; (Ⅱ)求以线段 AB 为直径的圆的方程.

(17)(本小题共 11 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正 方形, PB ? BC , PD ? DC ,且 PC ?

P

3.
A

B D

C

(Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B ? PD ? C 的余弦值; (Ⅲ)棱 PD 上是否存在一点 E ,使直线 EC 与平面 BCD 所成 的角是 30? ?若存在,求 PE 的长;若不存在,请说明理由.

(18)(本小题共 12 分) 已知椭圆 M :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过如下五个点中的三个点: P ) ,P2 (0,1) , 1 ( ?1, ? 2 2 a b

1 2 2 P3 ( , ) , P4 (1, ) , P5 (1,1) . 2 2 2
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ) 设点 A 为椭圆 M 的左顶点,B, C 为椭圆 M 上不同于点 A 的两点, 若原点在 ?ABC 的外部,且 ?ABC 为直角三角形,求 ?ABC 面积的最大值.

海淀区高二年级第一学期期末练习

数学(理科)
参考答案及评分标准
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 (1) C (2) D (3) B (4) A (5) D (6) B (7) C ( 8) B

2014.01

二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. (9)

10 3

(10) y ? 1 ? 0

(11)

3 或1 2

(12) 3

(13)

3 3

(14)①②④

注: (11)题少一个答案扣2分. 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)设 M ( x, y ) ,则 N (0, y ) , OM ? ( x, y ) , NA ? (4, ? y ) .????????2 分 因为 直线 MO ? NA , 所以 OM ? NA ? 4 x ? y 2 ? 0 ,即 y ? 4 x .
2

???? ?

??? ?

???? ? ??? ?

?????????4 分 ?????????5 分

所以 动点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x( x ? 0 ).
2

(Ⅱ)当 ?MOA ?

π π 时,因为 MO ? NA ,所以 ?NAO ? . 6 3 π 2π 所以 直线 AN 的倾斜角为 或 . 3 3 π 当直线 AN 的倾斜角为 时,直线 NA 的方程为 3x ? y ? 4 3 ? 0 ; ?????8 分 3 2π 当直线 AN 的倾斜角为 时,直线 NA 的方程为 3x ? y ? 4 3 ? 0 . ????10 分 3

(16) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)原方程等价于

x2 y2 ? ? 1. 4 12

由方程可知: a 2 ? 12 , b2 ? 4 , c 2 ? a 2 ? b2 ? 8 , c ? 2 2 . ????????3 分

所以 椭圆 C 的焦点坐标为 (0, 2 2) , (0, ?2 2) ,长轴长 2a 为 4 3 .?????5 分 (Ⅱ)由 ?

?3 x 2 ? y 2 ? 12, ? x ? y ? 2 ? 0,

可得: x ? x ? 2 ? 0 .
2

解得: x ? 2 或 x ? ?1 . 所以 点 A, B 的坐标分别为 (2, 0) , (?1, ?3) . 所以 A, B 中点坐标为 ( , ? ) , | AB |? ?????????7 分

1 2

3 2

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 . ?????9 分

所以 以线段 AB 为直径的圆的圆心坐标为 ( , ? ) ,半径为 所以 以线段 AB 为直径的圆的方程为 ( x ? )2 ? ( y ? ) 2 ?

1 2

3 2

3 2 . 2

1 2

3 2

9 . ???????11 分 2

(17) (本小题满分 11 分) (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, CD ? AD . 因为 CD ? PD , AD ? PD ? D , 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 PA ? 平面 PAD , 所以 CD ? PA . 同理, BC ? PA . 因为 ?????????2 分 ?????????1 分

BC ? CD ? C ,
?????????3 分

所以 PA ? 平面 ABCD . (Ⅱ)解:连接 AC ,由(Ⅰ)知 PA ? 平面 ABCD . 因为 AC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AC . 因为 PC ?

?????????4 分

3 , AC ? 2 ,

所以 PA ? 1 . 分别以 AD , AB , AP 所在的直线分别为 x , y , z
z

轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 由 题 意 可 得 : B( 0, 1, 0), D(1,0,0) , C (1,1, 0) ,

P y B

P(0, 0,1) .
所 以

???? DC ? (0,1, 0)



??? ? DP ? (?1, 0,1)

C D x



A

??? ? ??? ? BD ? (1, ?1, 0) , BP ? (0, ?1,1) .
设平面 PDC 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) ,

???? ? ?n ? DC ? 0, ? y ? 0, 则 ? ??? 即? 令 x ? 1 ,得 z ? 1. ? ? ? n ? DP ? 0, ?? x ? z ? 0.
所以 n ? (1, 0,1) . 同理可求:平面 PDB 的一个法向量 m ? (1,1,1) . 所以 cos ? n, m ?? ?????????6 分

n?m 1? 0 ?1 6 ? ? . | n || m | 3 2? 3
6 . 3
??? ?
?????????8 分

所以 二面角 B ? PD ? C 的余弦值为 (Ⅲ)存在.理由如下:

若棱 PD 上存在点 E 满足条件,设 PE ? ? PD ? (? , 0, ?? ) , ? ? [0,1] . 所以 EC ? PC ? PE ? (1,1, ?1) ? (? , 0, ?? ) ? (1 ? ? ,1, ? ? 1) .???????9 分 因为 平面 BCD 的一个法向量为 AP ? (0, 0,1) .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EC ? AP 所以 | cos ? EC , AP ?|? ??? ? ??? ? ? EC AP

? ?1
2(1 ? ? ) 2 ? 1





1 2 . ? sin 30? ? , 解得: ? ? 1 ? 2 2 2(1 ? ? ) 2 ? 1
2 ? [0,1] . 2

? ?1

经检验 ? ? 1 ?

所以 棱 PD 上存在点 E ,使直线 EC 与平面 BCD 所成的角是 30? ,此时 PE 的长为

2 ?1 .

?????????11 分

(18) (本小题满分 12 分)
2 ? ? 2? 2? 2? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (?1) 2 ? 2 ? 12 ? 2 ? 12 12 1 2 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 知,P3 ( , ) 解: (Ⅰ) 由 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b 2 2 2 2 2

和P 5 (1,1) 不在椭圆 M 上,即椭圆 M 经过 P 1 ( ?1, ? 于是 a ? 2, b ? 1 .
2 2

2 2 ) , P2 (0,1) , P4 (1, ). 2 2

所以 椭圆 M 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1. 2

?????????2 分

(Ⅱ)①当 ?A ? 90? 时,设直线 BC : x ? ty ? m ,由 ?

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? x ? ty ? m,



(t 2 ? 2) y 2 ? 2tmy ? (m2 ? 2) ? 0 . 设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) , 则 ? ? 16 ? 8m2 ? 8t 2 ? 0 ,

2tm ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? t ?2 ? 2 ?y y ? m ? 2. 1 2 ? t2 ? 2 ?
所以 k AB k AC ?

y1

x1 ? 2 x2 ? 2 y1 y2

?

y2

?

y1 y2 (ty1 ? m ? 2)(ty2 ? m ? 2)

?

t y1 y2 ? t (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2) 2
2

?

m? 2 ? ?1 . 2( m ? 2)

于是 m ? ?

2 2 16 ,此时 ? ? 16 ? . ? 8t 2 ? 0 ,所以 直线 BC : x ? ty ? 3 3 9

16 2 , 0) ,即原点在线段 AM 的延 因为 y1 y2 ? ? 2 9 ? 0 ,故线段 BC 与 x 轴相交于 M (? 3 t ?2 长线上,即原点在 ?ABC 的外部,符合题设. ?????????6 分
所以 S?ABC ?

1 2 | AM | ? | y1 ? y2 |? | y1 ? y2 | 2 3

2 16 2t 2 2 3 ? [( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? [( 2 ) 2 ? 4(? 2 9 )] 9 9 t ?2 t ?2
? 16 9t 2 ? 16 16 4t 4 ? 7t 2 8 ? 2 ? (4 ? )≤ . 2 4 2 81 (t ? 2) 81 t ? 4t ? 4 9
?????????9 分

8 . 9 ②当 ?A ? 90? 时,不妨设 ?B ? 90? .
当 t ? 0 时取到最大值

2 2 ? ? x ? 2 y ? 2, 2 2 设直线 AB : x ? ty ? 2(t ? 0) ,由 ? 得 (t ? 2) y ? 2 2ty ? 0 . ? ? x ? ty ? 2,

所以 y ? 0 或 y ?

2 2t . t2 ? 2

所以 B(

2t 2 ? 2 2 2 2t 2t 3 , ) BC : y ? ? tx ? ,由 ,可得直线 . AB ? BC t2 ? 2 t2 ? 2 t2 ? 2

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 8t 2 (t 2 ? 1) ? 2 2 2 3 3 得 (t ? 2)(2t ? 1) y ? 2 2t y ? 由? ? 0. 2t 2 t ? 2 y ? ? tx ? , ? t2 ? 2 ?
所以 yB yC ? ?

8t 2 (t 2 ? 1) ? 0. (t 2 ? 2)2 (2t 2 ? 1)

所以 线段 BC 与 x 轴相交于 N (

2t 2 , 0) . t2 ? 2

显然原点在线段 AN 上,即原点在 ?ABC 的内部,不符合题设. 综上所述, 所求的 ?ABC 面积的最大值为

8 . 9

????????12 分

注:对于其它正确解法,相应给分.


相关文章:
2014-2015海淀高三上学期期中理数及答案
2014-2015海淀高三上学期期中理数及答案 - 海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学(理) 2014.11 本 试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将...
北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)
北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科) - 北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)2009.01。 07 一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 5...
2014海淀高三二模数学理科
2014海淀高三二模数学理科 - 海淀区高三年级第学期期末练习 数学 (理科) 2014.05 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的...
2014海淀高三一模数学理科
2014海淀高三一模数学理科 - 海淀区高三年级第学期期中练习 数学 (理科) 2014.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的...
2018.1海淀区高三理科数学期末试卷及答案
2018.1海淀区高三理科数学期末试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。2018届高三一模理科数学试卷及答案 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(理科) 2018.1 第一...
2011-2012学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(理科)
2011-2012 学年北京市海淀区高二(上)期末数学 试卷(理科)一、选择题:本大题...2011-2012海淀区高二年级... 11页 免费 2013-2014学年北京海淀区... 暂无...
2014海淀区高三数学一模(理)
2014海淀区高三数学一模(理) - 海淀区高三年级第学期期中练习 数 要求的一项. 2 1.已知集合 A ? ?1, 2, ? , 集合B ? y y ? x , x ? A , ...
2017-2018学年北京市海淀区高二下学期期中数学理试题(...
2017-2018学年北京市海淀区高二学期期中数学理试题(解析版) - 2017-2018 学年北京市海淀区高二学期期中数学理试题(解析版) 一、选择题:本大题共 8 小题...
【2014海淀一模】北京市海淀区2014年高三一模数学(理科...
2014海淀一模】北京市海淀区2014年高三一模数学(理科)试题 - 中学独立教育 www.zxdljy.com 海淀区高三年级第学期期中练习 数学 (理科) 2014.4 本试卷共 ....
2015-2016学年北京海淀区高三数学(理)第一学期期中考试...
海淀区高三年级第学期期中练习 数学 (理科) 2015.11 本试卷共4页,150分....学而思初中数学课程规划 2014年学而思杯英语详解 学而思初一春季语文第二... 相关...
更多相关标签: