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三角形“四心”定义与性质


三角形“四心”定义与性质
所谓三角形的“四心” 是指三角形的重心、 垂心、 外心及内心。当三角形是正三角形时, 四心重合为一点,统称为三角形的中心。 一、三角形的外心 定 义:三角形三条中垂线的交点叫外心,

即外接圆圆心。 ?ABC 的重心一般用字母 O 表示。 性 质:

1.外心到三顶点等距,即 OA ? OB ? OC 。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边,即 OD ? BC, OE ? AC, OF ? AB . 3. ?A ?

1 1 1 ?BOC , ?B ? ?AOC , ?C ? ?AOB 。 2 2 2

二、三角形的内心 定 义:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心。 ?ABC 的内心一

般用字母 I 表示,它具有如下性质: 性 质:

1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积=

1 ? 三角形的周长 ? 内切圆的半径. 2

3. AE ? AF, BF ? BD, CD ? CE ;

AE ? BF ? CD ? 三角形的周长的一半。
4. ?BIC ? 90 ?
?

1 1 1 ?A, ?CIA ? 90 ? ? ?B , ?AIB ? 90 ? ? ?C 。 2 2 2

三、三角形的垂心 定 性 义:三角形三条高的交点叫重心。 ?ABC 的重心一般用字母 H 表示。 质:

1.顶点与垂心连线必垂直对边, 即 AH ? BC, BH ? AC, CH ? AB 。 2.△ ABH 的垂心为 C ,△ BHC 的 垂心为 A ,△ ACH 的垂心为 B 。

1

四、三角形的“重心” : 定 性 义:三角形三条中线的交点叫重心。 ?ABC 的重心一般用字母 G 表示。 质:

1.顶点与重心 G 的连线必平分对边。 2.重心定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2 倍。 即 GA ? 2GD, GB ? 2GE, GC ? 2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值. 即 xG ?

x A ? xB ? xC y ? y B ? yC , yG ? A . 3 3

4.向量性质: (1) GA ? GB ? GC ? 0 ; (2) PG ? 5. S ?BGC ? S ?CGA

1 ( PA ? PB ? PC ) , 3 1 ? S ?AGB ? S ?ABC 。 3

五、三角形“四心”的向量形式: 结论1:若点 O 为 ?ABC 所在的平面内一点,满足 OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA , 则点 O 为 ?ABC 的垂心。 结论2: 若点 O 为△ABC 所在的平面内一点, 满足 OA ? BC ? OB ? CA ? OC ? AB , 则点 O 为 ?ABC 的垂心。 结论3:若点 G 满足 GA ? GB ? GC ? 0 ,则点 G 为 ?ABC 的重心。 结论4:若点 G 为 ?ABC 所在的平面内一点,满足 OG ? 则点 G 为 ?ABC 的重心。 结论5:若点 I 为 ?ABC 所在的平面内一点,并且满足 a ? IA ? b ? IB ? c ? IC ? 0 (其中 a, b, c 为三角形的三边) ,则点 I 为△ABC 的内心。 结论6:若点 O 为 ?ABC 所在的平面内一点,满足
2 2 2 2 2 2

1 (OA ? OB ? OC ) , 3

(OA ? OB) ? BA ? (OB ? OC) ? CB ? (OC ? OA) ? AC ,则点 O 为 ?ABC 的外心。
结论 7: 设 ? ? ?0,??? , 则向量 AP ? ? (

AB

| AB | | AC |

?

AC

), 则动点 P 的轨迹过 ?ABC 的内心。

2


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