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2015市高中数学竞赛试卷(终稿)


2015 年丽水市高中数学竞赛试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知 x0 为函数 f ?x ? ? log1 x ? 3x 的零点,则
2

?1 1? ?1 1? ?1 1? B. x0 ? ? , ? C. x 0 ? ? , ? ?5 4? ? 4 3? ?3 2? 2 2.函数 y ? l

og1 ? x ? 3x ? 2 的单调递增区间为
A. x 0 ? ? , ?

D. x0 ? ? ,1?

?

?

?1 ? ?2 ?

2

3? ? 3? ?3 ? ?3 ? B. ?1, ? C. ? ,?? ? D. ? ,2 ? 2? ? 2? ?2 ? ?2 ? 2 3. 已知集合 A ? x x ? ?2a ? 4?x ? a ? 0 , 若 A ? B ? ?0,3? , 则a ? b B ? ?x x ? 2 ? b?,
A. ? ? ? , ?

? ?

?

?

的值为 A. 1

B. 2

C. 4

D. 5

4. 将 函 数 y ? 3 s i n 2x ? c o 2 sx 的 图 象 向 右 平 移

? ?? ? 0? 个 单 位 可 得 到 函 数

y ? 3s i n 2x ? c o 2 s x 的图象,则 ? 的最小值为 ? ? ? ? A. B. C. D. 12 6 4 3 5. 命题 P: “ a ? b ? 1” ;命题 Q: “对任意的 x ? R ,不等式 a sin x ? b cos x ? 1 恒成立” ,
则P是Q的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知函数 f ?x ? ? sin ??x ? ? ? ?? ? 0, ? ? 0? 在 ? 时, ? 的最小值为 A.

?? ? ? , ? 上单调递增,则当 ? 取得最大值 ?4 3?

? 3? ? 5? B. C. D. 2 4 2 4 7. 已知 ?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 S 7 ? S n
公差 d 的取值范围是 A. ? ?

min

,则

? 2 2? ? 1 1? ? 13 15 ? C. ? ? , ? ? D. ?? ,? ? ,? ? ? 3 6? ? 5 7? ? 36 49 ? ?4 x 2 ? y 2 ? 0 ? 8.已知实数 x , y 满足条件 ? x ? ay ? b ? 0 , z ? x ? y 的最大值、最小值分别为 M 、m , ?x ? 0 ?
B. ?? 且 M ? m ? 1,则 a ? b 的取值范围为 A. ?

? 13 1 ? ,? ? ? 36 6 ?

?3 3 3? ? ? 2, ? 2 2 ? ?

B. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

C. ? 6 ? 3, ?

? ?

1? 2?

D. ? ,

? 1 23 ? ? ? 2 10 ?

3 9 . 若 直 线 y ? 2 x ? a 与 曲 线 y ? x ? ax ? 1 从 左 到 右 依 次 交 于 A, B, C 三 点 , 且

AB ? 2 BC ,则满足条件的实数 a 的个数为
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

10. 已知 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 A 、 B 、 C 满足条 件 cos?sin A? ? sin?cos B? ? sin?sin C ? , 有以下四个结论: ①a ? c ? b; ②a ? b ? c ; ③ c ? b ? a ;④ c ? a ? b ,有可能成立的是 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分.

1 2 ? 1 ,则 ? 2 y 的最小值为_______. x y 12. 若 log2 3 ? log3 4 ? log4 5 ? ? ? ? ? logn ?n ? 1? ? 5 ,则 n ? ___________.
11. 已知正数 x, y 满足 x ?

13.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 2, an ? an?1 ? an?2 ? an an?1an?2 n ? N ? ,数列 ?an ?

?

?

? x ? 1; ?1 ? x ? 2? ? 14.已知函数 f ?x ? ? ? ? x ? 的定义域为 ?1,2015 ? ,则方程 f ? x ? ? 1 的所有根之 2 ? f ? 2 ?; ?x ? 2? ? ? ?
和为______.

的前 n 项和为 S n ,则 S 2015 ? ______________.

a ?? ? ? b cos? x ? ? 2 , f 1 ? 2 ? 2 ,则 f 1 ? 2 ? ___________. x ?1 ?2 ? 16.已知 M ? ? ?x, y? 0 ? y ? ? x ? 1 ? 1?,若 ?x, y ? ? M ,则 z ? x 2 ? 2xy ? 2 y 2 ? 2 y 的
15.已知 f ?x ? ? 最小值为___________ . 17.已知 A、B、C 是半径为 1 的圆 O 上的三点, AB 为圆 O 的直径, P 为圆 O 内一点(含 圆周) ,则 PA? PB ? PB ? PC ? PC ? PA 的取值范围为_____________________ . 三、解答题:本大题共 3 小题,每小题 17 分,满分 51 分. 18. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 2n?1 n ? N ? . (1)求证 ?

?

?

?

?

?

?

? an ? 为等差数列,并求通项公式 an ; n ? ?2 ?

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 19.已知 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c , ?ABC 的面积为 S ,

4 3S ?

? 3 ?1??a

2

? b2 ? c2 .

?

(1) 求角 C 的取值范围; (2) 若 c ? 1 ,求 ?ABC 周长 y 的最小值. 20. 已知函数 f ?x? ? x x ? a ?a ? 0? (1)不等式 f ?x ? ? 1 在 ?0, n? 上恒成立,当 n 取得最大值时,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,若对于任意的 x ? R ,不等式 f ?x ? t ? ? f ?x ? ? t ?t ? 0? 恒成立, 求 t 的取值范围.

答案:
一、选择题:CDDBA ADCCD

分析:1、 f ? ? ? 0 , f ? ? ? 0 ,故选 C 2、函数的定义域为 ?1,2? ,且 y ? log1 t 为单调递减函数,又 t ? ? x ? 3x ? 2 的单
2

?1? ? 3?

?1? ?2?

2

调递减区间为 ? ,2 ? ,故选 D 3、若 x ? 0 是方程 x 2 ? ?2a ? 4?x ? a ? 0 的根,则 a ? 0 , A ? ?? 4,0?不合题意。 故 x ? 0 为 x ? 2 ? b 的根,? b ? 2 ,? B ? ?0,4? ,? x ? 3 为方程 x 2 ? ?2a ? 4?x ? a ? 0 的根,? a ? 3 ,故选 D 4、 y ?

?3 ?2

? ?

?? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin? 2 x ? ? , 6? ?

?? ? y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin? 2 x ? ? ,故选 B 6? ?
5 、“对任意的 x ? R ,不等式 a sin x ? b cos x ? 1 恒成立”

b
P

? a ? b sin ?x ? ? ? ? 1 恒成立 ? a ? b ? 1
2 2
2 2

Q

o

由图可知, P ? Q ,故选 A

a

T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 2 3 4 12 ? 12 ? ? 7? ? ? ? ? 2k? ? ? ? min ? ,故选 A 又 12 ? ? ? ? 2k? ? 4 2 2 2
6、由已知 7、由已知 ?

? ? S7 ? S6 ? ? S 7 ? ?S8

?? 6 ? 15d ? 7 ? 21d ? 6 ? 15d ?? ?8 ? 28d ? 7 ? 21d ? ?8 ? 28d
1 ? 13 ? ? d ? ? ? 36 13 15 ? 6 ?? ? d ? ? ,故选 D ?? 36 49 ?d ? ? 15 ? 49 ?

?b ? 0 ? 8、由已知, ? 1 1 ? ?a 2 ?
由?

y A

x? y ? z

? y ? 2x ? ? b ? 2b ? ? A? , ? ? 1 ? 2a 1 ? 2a ? ? x ? ay ? b ? 0
?m? b 1 ? 2a

x ? ay ? b ? 0

o
B

x

由? 由

? y ? ?2 x ? 3b 2b ? ? ?b , ? B? , ??M ? 1 ? 2a ? 1 ? 2a 1 ? 2a ? ? x ? ay ? b ? 0
? 3b b 4a 2 ? 1 ? ?1? b ? 1 ? 2a 1 ? 2a 4?a ? 1?
3 3? ? 1? ?1 ? 3? ? a ? 1 ? ? ? ? 6 ? 3, ? ,故选 C 4?a ? 1? ? 2 2? ? 2?
得 x 3 ? ?a ? 2?x ? ?1 ? a ? ? 0 ? ? ? ?1?,设 A, B, C 三点的横坐标

M ?m?

? a ? b ? 2?a ? 1? ?

9、由 ?

? y ? 2x ? a ? y ? x ? ax ? 1
3

分别为 x1 , x2 , x3 ?x1 ? x2 ? x3 ? ,则方程 ?1? 可化为 ?x ? x1 ??x ? x2 ??x ? x3 ? ? 0

? x 2 ? x1 ? 2? x3 ? x 2 ?????? ?2 ? ?? x ? x ? x ? 0 ?????? ?3? ? x1 ? ?5 x 2 ? 1 2 3 ?? ,由 ?2?, ?3? 得 ? ,代入 ?3?, ?4? 得 ? x3 ? 4 x 2 ? x1 x 2 ? x 2 x3 ? x1 x3 ? a ? 2 ?? ?4 ? ? ?? x1 x 2 x3 ? 1 ? a ??????? ?5?
2 ? ?? 21x 2 ? a ? 2 3 2 ? 20x2 ? 21x2 ? 1 ? 0 ? ?x2 ? 1??4x2 ? 1??5x2 ? 1? ? 0 ? 3 ? 20 x ? 1 ? a 2 ?

5 ? ? ? x1 ? ? 4 ? x1 ? 1 ? x1 ? ?5 ? ? 1 1 ? ? ? ? ? x2 ? 1 或 ? x2 ? 或 ? x 2 ? ? ?不合题设,舍去 ? ,? a ? ?19或 11 ,故选 C 4 16 5 ? ?x ? 4 ? ? 3 ? x3 ? 1 4 ? x3 ? ? ? ? 5 ? ?
10、? sin A ? ?0,1?, cos B ? ?? 1,1? ,? cos?sin A? ? 0 ,? sin ?cos B ? ? 0

? cos B ? ?0,1?,? B 为锐角

由 sin ?cos B ? ? cos?sin A? ? sin?

? ?? ? ? sin A ? ? cos B ? ? sin A 2 ?2 ?

? sin A ? cos B ?

?
2

? 2 ? sin B ? cos B ? sin A ? sin B ? a ? b

由 sin?cos B? ? sin?sin C ? ? cos B ? sin C (1) 若 B ? C ?

?
2

,则 A ?

?
2

cos B ?

?
2

? sin A ?

?
2

?1 ?

2 ? ? B ? ,? a ? b ? c 2 4

(2) 若 C ? B ? 答案:D 二、填空题:11、9; 16、 ?

?
2

,则 C 为钝角,? c ? a ? b

12、31; 17、 ??

13、4029;

14、

6141 2

15、 ? 6 ;

1 ; 5

? 4 ? ,4 ? 3 ? ?

1 ? 1 2? 2 ?x ? ?1 ?? 分析:11、 ? 2 y ? ? ? 2 y ?? 3 时取到等号 ?x ? y? ? ? 5 ? 2 xy ? xy ? 9 , ? x ?x ?? ? ? ?y ? 3
12、 log2 3 ? log3 4 ? log4 5 ? ? ? ? ? logn ?n ? 1? ?? log2 ?n ? 1? ? 5 ? n ? 31 13、由递推关系,数列各项为:1,2,3,1,2,3,?,

? S 2015 ? ?1 ? 2 ? 3? ? 671? 1 ? 2 ? 4029
14、方程的根为

3 ? 2 n ?1 2

3 3 n ?1 , 3 , 6 ,?形成公比为 2 的等比数列,第 n 个根为 ? 2 ,由 2 2 3 6141 ? 2015 ? n ? 11 ,? 所有根的和为: 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 210 ? 2 2

?

?

15、 f ?x ? ? 由奇函数 y ?

a a ?? ? ?? ? ? b cos? x ? ? 2 ? ? b sin ? ?x ? 1?? ? 2 , f ?x ? 的图像可以 x ?1 x ?1 ?2 ? ?2 ?

a ? ? b sin x 向右平移一个单位,向下平移两个单位得到,? f ?x ? 的图像关 x 2

于 ?1,?2? 对称,? f 1 ? 2 ? f 1 ? 2 ? ?4 ,? f 1 ? 2 ? ?6 16、由已知: y ? x ? 2 ? y?0 ? y ? 1? ,? z ? 5 y 2 ? 2 y ? 5? y ? ? ?

?

? ?

?

?

?

? ?

1? 5?

2

1 1 ?? 5 5

1 5 17、解:设 G 为 ?ABC 的重心,
答案: ? 则 PA? PB ? PB ? PC ? PC ? PA

? GA ? GP ? GB ? GP ? GB ? GP ? GC ? GP ? GC ? GP ? GA ? GP
? GA ? GB ? GB ? GC ? GC ? GA ? 2 GA ? GB ? GC ? GP ? 3GP

?

??

??

??
2

??

??

?

?

?

2

? GA? GB ? GB ? GC ? GC ? GA ? 3GP

??

2 1 2 a ? b 2 ? c 2 ? 3GP 6

?

?

2 4 ? 4 ? ? ? ? 3GP ? ?? ,4? 3 ? 3 ?

答案: ?? 三、解答题:

? 4 ? ,4 ? 3 ? ?
a n ?1 a n a ?1 a n a ?a ? ? n ?1 ? n ? n ? 1, 是以 1 ? 1 为首项, 以d ?1 ?? n n ?1 n ?1 n ? 2 2 2 2 2 ?2 ?

18、 (1) 由已知得:

为公差的等差数列;????????????????????????? 5 ?

?

an ? n ? an ? n ? 2 n ??????????????????????? 8 ? 2n
(2) S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ? ? ?n ? 1? ? 2 n?1 ? n ? 2n

2S n ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? ?n ? 2? ? 2n?1 ? ?n ? 1? ? 2n ? n ? 2n?1
两式相减得: ? S n ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n?1 ? 2 n ? n ? 2n?1 ? ?1 ? n?2 n?1 ? 2

? S n ? ?n ? 1?2 n?1 ? 2 ???????????????????????? 17 ?
19、 (1)由已知: 2 3absin C ? 3 a 2 ? b 2 ? 2abcosC

?

?

?? ? ? 2ab 3 sin C ? cosC ? 4absin? C ? ? ? 3 a 2 ? b 2 ??????? 4? 6? ?

?

?

?

?

?? 3 a2 ? b2 2 3ab 3 ? ????????????? 6? ? sin? C ? ? ? ? ? 6? 4ab 4ab 2 ?

?

?

?

?
3

?C?

?
6

?

2? ? ? ? ? C ? ?????????????????? 8 ? 3 6 2

(2) 由(1) : 3 a 2 ? b 2 ? 2 3 sin C ? 2 cosC ab 又: 1 ? a ? b ? 2ab cosC
2 2

?

? ?

?

? 2 3 sin C ? cosC 2 ?a ? b ? 3 sin C ? 1 ? 3 cosC ? ?????????????? 11? ?? 3 ?2ab ? ? 3 sin C ? 1 ? 3 cosC ?

?

?

?

?

? ?a ? b ?

2

C? ? C C? ? C 3? sin ? cos ? ? ? cos2 ? sin 2 ? 3 ? 3 sin C ? cosC 2 2? ? 2 2? ? ? ? C C C C? ? 3 sin C ? 1 ? 3 cosC 2 3 sin cos ? 1 ? 3 ? cos2 ? sin 2 ? 2 2 2 2? ?

2

?

?

?

?

C? ? C? ? 3?1 ? tan ? ? ?1 ? tan2 ? 2? ? 2? ? ? ? C ? 2 C? 2 3 tan ? 1 ? 3 ?1 ? tan ? 2 2? ?

2

?

?

? ?

3 ? 1 tan2
2

? 3 ? 1?tan

C C ? 2 3 tan ? 1 ? 3 2 2 C C ? 2 3 tan ? 1 ? 3 2 2

? 1?

?
?

2 3 ??????????????? 15? C C 2 3 ? 1 tan ? 2 3 tan ? 1 ? 3 2 2

?

? 1?

3 ? 1 tan

?

2 3
2

?
4

? 2 3 tan

?
4

?2 ?1? 3

? y ? 1 ? 2 ????????????????????????????? 17 ?
2 ? 2 a? a2 ? x ? ax ? x ? ? ;x ? a y ? ? ? 2? 4 ? ? 20、 (1)解一、 f ? x ? ? x x ? a ? ? 2 a? a2 ? ? 2 ? x ? ax ? ? x ? ? ;x ? a ? ? ? 2? 4 ? ?



a2 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,由 x 2 ? ax ? 1 4

o

a

x

解得 x ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ,? n ? ? 1? 2 2 2



a2 a ? a2 ? 4 ? 1 , 即 a ? 2 时 , 由 ? x 2 ? ax ? 1 解 得 x ? 4 2
a ? a2 ? 4 2 ? ?1 2 a ? a2 ? 4



?n ?

? nmax ? 1 ? 2 ,此时 a ? 2 ???????????????????? 8 ?
1 解二、不等式 f ?x ? ? 1 ? x ? a ? x 1 由图可知,当 y ? ? x ? a 与 y ? 相切时, x 1 n 能取到最大值,由 ? x ? a ? 得 x 2 ? ax ? 1 ? 0 , x
y

o

an

x

? ? a 2 ? 4 ? 0 ? a ? 2 ??????????????? 8 ?
(2)解一: f ?x ? t ? ? f ?x? ? t ? ?x ? t ? x ? t ? 2 ? x x ? 2 ? t ? 0 当 x ? 2 时, ?x ? t ??x ? t ? 2? ? x?x ? 2? ? t ? 2tx ? t 2 ? t ? t 2 ? 3t ? 0 恒成立,

? 对任意 t ? 0 原不等式在 ?2,??? 上恒成立。??????? 10 ?
当 2 ? t ? x ? 2 时, ?x ? t ??x ? t ? 2? ? x?x ? 2? ? t ? 2x 2 ? 2(t ? 2) x ? t 2 ? t ? 0

2?t ? 2 ? t 即 0 ? t ? 2 时, 2?2 ? t ?2 ? 2?t ? 2??2 ? t ? ? t 2 ? t ? t 2 ? t ? 0 2 ? 1 ? t ? 2 时,不等式恒成立 2?t ? 2 ? t 即 t ? 2 时, 当 2


2?t 2 t ?2?t ? 2? ?t ?t ? ?t ?2 ? 2 ? 0 ? ? 2?t ? 2? 2 2 ? 2 ?
2

2

不等式恒成立

? 当 t ? 1 时原不等式在 ?2 ? t , t ? 上恒成立??????????14 ?
2 2 当 x ? 2 ? t 时, ? ?x ? t ??x ? t ? 2? ? x?x ? 2? ? t ? ?2tx ? t ? 3t ? ?2t ?2 ? t ? ? t ? 3t

? t 2 ? t ? 0 ? t ? 1时,不等式恒成立

? 当 t ? 1 时原不等式在 ?? ?,2 ? t ? 上恒成立???????? 16 ? ? 不等式 f ?x ? t ? ? f ?x ? ? t ?t ? 0? 恒成立时 t 的取值范围为 ?1,??? ??? 17 ?

解二:原不等式等价于 f ?x ? t ? ? t ? f ?x ??t ? 0? , 即函数 y ? f ?x ? 的图像沿直线 y ? ? x ? 2 向左上方 移动 2t 个单位后,所得的图像要位于原函数图像的 上方,由图可知, t ? 1 ??????????? 17 ?

y

1

o

1

2

x


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