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江苏省南通市通州区石港中学2014届高一上学期期末复习(4)(数学)


南通市通州区石港中学期末复习高一数学试卷四
班级 姓名
时间:120分钟 总分:160分

学号

一、填空题:本大题共14小题,每题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
? 1. sin 300 =



.

U 2. 设集合 U

? {1,2,3,4,5},A ? {1,2},B ? {2,4} ,则 ? ( A ? B) ? ___▲___.

x ? f ( x) ? 3sin( ? ) 2 4 ( x ? R )的最小正周期为 3.函数
4. 已知向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且



. ,则 ? = . ▲ .

a ?3



b ?4



a?b ?5


5. 若函数 f ( x) ? a sin x ? 3cos x 是偶函数,则实数 a ? 6.
3

(lg5 ? 1)3 ? (lg 2 ? 1)2 =



. ▲ .

x 7. 已知函数 f ( x) ? (2a ? 1) ,当 m ? n 时, f (m) ? f (n) ,则实数 a 的取值范围是

8. 已知

tan(? ? ? ) ? ?

1 2 2 ,则 sin ? cos ? ? 2sin ? ?




1 , 2 2 3 )

9.在平面直角坐标系中,已知单位圆与 x 轴正半轴交于 A 点,圆上一点P ( ? 则劣弧AP的弧长为
1




2

.

10、设 a ? 2 5 , b ? ( ) , c ? log2

1 5

1 ,则 a、b、c 的大小关系为 5



. ▲

x 11、若函数 y ? a 与函数 y ? 2 ? 1 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是

.

12. 已知函数 f ( x) ? log a (1 ? x) ? log a ( x ? 3) ,若函数 f ( x ) 的最 的值为 ▲ .

B

小值为 ?2 ,则实数 a

13.如图,已知 Rt△BCD 的一条直角边 BC 与等腰 Rt△ABC 的斜边 BC 重合,若 ???? ??? ? ???? ? AB ? 2 , ?CBD ? 30 , AD ? mAB ? nAC , 则 m?n = ▲ .

D

A

C

1

? 14.若函数 f ( x) ? x ? 13 ? 2mx (m ?N ) 的最大值是正整数 M ,则 M =





二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)

A ? ?x x ? 0? B ? x ?1 ? x ≤1} { 已知全集 U ? R ,集合 , ,求:
(1) A ? B ; (2) A ? B ;
U (3) A ? ? B .

16.(本小题满分14分) 已知向量 a ? (1, ?2) , b ? (3, 4) . (1) 若 (3a ? b) ∥ (a ? kb) ,求实数k的值; (2) 若 a ? (ma ? b) ,求实数 m 的值;

2

17.(本小题满分14分)

1 13 ? cos? ? ,cos(? ? ? ) ? 0 ? ? ?? ? 7 14 ,且 2. 已知
⑴ 求 tan 2? 的值; ⑵ 求 ? 的值.

18. (本小题满分16分) 已知向量: a ? (2 3sin x,cos x ? sin x), b ? (cos x,cos x ? sin x) ,函数 f ( x) ? a ? b . (1)若 f ( x) ? 1 ,求 x ; (2)写出函数 y ? f ( x) 的单调增区间; ? ?? x ? ?0, ? ? 2 ? ,求函数 y ? f ( x) 的值域. (3)若

3

19.(本小题满分16分) 某汽车生产企业,上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆,出厂价为10万元/辆,年销 售量为12万辆.本年度为节能减排,对产品进行升级换代.若每辆车投入成本增加的比

1 x (0 ? x ≤ ) 2 , 例为 则出厂价相应提高的比例为 0.75x , 同时预计年销售量增加的比例
为 0.5x . (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式;? (2)当投入成本增加的比例 x 为何值时,本年度比上年度利润增加最多?最多为多少?

20.(本小题满分16分) 已知函数

f ( x) ? x ? a , g ( x) ? ax,(a ?R)



(1)若函数 y ? f ( x) 是偶函数,求出的实数 a 的值; (2)若方程 f ( x) ? g ( x) 有两解,求出实数 a 的取值范围;

1,2 (3)若 a ? 0 ,记 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ,试求函数 y ? F ( x) 在区间 ? ? 上的最大值.

4

高一数学试卷四答案
一、填空题:

?
1.

3 2

2.

?3,5?

3. 4?

4. 90

?

5. 0

6. ?1

?1 ? ? ,1? 7. ? 2 ?

8. 0

2? 9. 3

10. a>b>c

1 11. (0,1) 12. 2

13. ?1

14. 7

二、解答题: 15.(1) (2) (3)

A ? B ? ?x 0 ? x ≤1? A ? B ? ?x x ? ?1?

. ……………………………………………………………4分

.………………………………………………………………8分 ……………………………………………………………14分

A ? ? B ? ?x x ? 1? U

16.(1) 3a ? b ? (0, ?10) , a ? kb ? (1 ? 3k , ?2 ? 4k ) ,

………………………………4分

因为 (3a ? b) ∥ (a+kb) , 所以 ?10 ? 30k ? 0 ,所以

k??

1 3 . …………………7分

(2) ma ? b ? (m ? 3, ?2m ? 4) ,………………………………………………………10分 因为 a ? (ma ? b) ,所以 m ? 3 ? 2(?2m ? 4) ? 0 , 所以 m ? ?1 .…………………………………………………………………………14分

1 ? cos? ? ,0 ? ? ? 7 2, 17.⑴由
4 3 ?1? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? 7 , …………………………………………2分 ?7? 得
2 2

5



tan ? ?

sin ? 4 3 ? ?7 ? 4 3 cos ? 7 ,………………………………………………………4分

tan 2? ?
于是

2 tan ? 2? 4 3 8 3 ? ?? 2 2 1 ? tan ? 1 ? (4 3) 47 .…………………………………………7分

⑵由

0 ? ? ?? ?

? ?? ? 0 ?? ? ? ? 0 ? cos(? ? ? ) ? 2 ,又∵ 14 , 2 ,得
2

3 3 ? 13 ? sin(? ? ? ) ? 1 ? cos2 (? ? ? ) ? 1 ? ? ? ? 14 ,………………………………11分 ? 14 ? ∴
∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? ] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )

?

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? 7 14 7 14 2,



??

? 3 . ………………………………………………………………………………14分

2 2 18. f ( x) ? 2 3sin x cos x ? cos x ? sin x

? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 . ………………………………………………4分 = 2sin(2 x ? ) ? 1 6 (1) f ( x) ? 1 , 即 , 2x ? ? 5? ? ? ? ? 2k ? 2x ? ? ? 2k ?,(k?Z) 6 6 6 6 ,或 , x? ? ? k ?,(k ?Z) 3 .………………………………………………8分 ?



所以 x ? k ? ,或

2x ?
(2) 当

? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2k ? ? ,2 k ? ? ? x ? ? k ? ? , k? ? ? 6 ? 2 2 ?, 3 6 ? 时, ? ? 即 函数 y ? f ( x) 为增函数,

? ?? ? ? k ? ? 3 , k ? ? 6 ? ,(k ? Z) ? 所以,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ? .………………12分

? ? ? 7? ? ? ?? 1 ? x ? ?0, ? 2x ? ? ? , ? ? ≤ sin(2 x ? ) ≤1 6 ? 6 6 ? , 所以 2 ? 2 ? 所以 6 (3)因为 ,

6

??1, 2? .……………………………………………………………16分 故 f ( x ) 的值域为
19.(1)由题可知,本年度每辆车的利润为 10(1 ? 0.75 x) ? 8(1 ? x) 本年度的销售量是 12(1 ? 0.5 x) ,故年利润

y ? 12(1 ? 0.5x) ?10(1 ? 0.75x) ? 8(1 ? x)?
? 1? ? ?3x 2 ? 6 x ? 24, x ? ? 0, ? ? 2 ? .………………………………………………………6分
(2)设本年度比上年度利润增加为 f ( x ) ,则

f ( x) ? ( ? 3x2 ? 6 x+24) ? 24 ? ?3( x ? 1)2 ? 3 , 因为

? 1? x ? ? 0, ? ? 2? ,

1 ? 1? 9 x? ? 0, ? y ? f ( x) 有最大值为 4 . 2 ? 上 f ( x) 为增函数,所以当 2 时,函数 在区间 ?
x? 1 2 时,本年度比上年度利润增加最多,最多为 2.25 亿元 .……………16分
f ( x) ? x ? a
为偶函数,所以 f (? x) ? f ( x) ,

故当

20. (1)因为函数 即

?x ? a ? x ? a

,所以 x ? a ? x ? a 或 x ? a ? a ? x 恒成立,故 a ? 0 .……4分

(2)方法一: 当 a ? 0 时,

x ? a ? ax ? 0

有两解,

2 2 2 等价于方程 ( x ? a) ? a x ? 0 在 (0, ??) 上有两解, 2 2 2 即 (a ? 1) x ? 2ax ? a ? 0 在 (0, ??) 上有两解,………………………………6分 2 2 2 令 h( x) ? (a ? 1) x ? 2ax ? a ,

2 因为 h(0) ? ?a ? 0 ,所以

?a 2 ? 1 ? 0, ? ? 2 2 2 ?? ? 4a ? 4a (a ? 1) ? 0, ?

故 0 ? a ? 1 ;…………8分

同理,当 a ? 0 时,得到 ?1 ? a ? 0 ; 当 a ? 0 时,不合题意,舍去. 综上可知实数 a 的取值范围是 (?1,0) ? (0,1) .…………………………………10分

7

方法二:

x ? a ? ax

有两解,

即 x ? a ? ax 和 a ? x ? ax 各有一解分别为

x?

a a x? 1 ? a ,和 1 ? a ,…………6分

a
若 a ? 0 ,则 1 ? a

?0

a ?0 且 1? a ,即 0 ? a ? 1 ;………………………………8分

a a ?0 ?0 若 a ? 0 ,则 1 ? a 且 1? a ,即 ?1 ? a ? 0 ;
若 a ? 0 时,不合题意,舍去. 综上可知实数 a 的取值范围是 (?1,0) ? (0,1) .…………………………………10分 方法三:可用图象,视叙述的完整性酌情给分. (3)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x)
2 ①当 0 ? a ≤ 1 时,则 F ( x) ? a( x ? ax) ,

x?
对称轴

a ? 1? ? ? 0, 2 ? 2 ? ,函数在 ?1,2? 上是增函数, ?
2

所以此时函数 y ? F ( x) 的最大值为 4a ? 2a .

??a( x 2 ? ax),1 ? x ≤ a a ?1 ? F ( x) ? ? x ? ? ? ,1? 2 2 ?2 ?, ? a( x ? ax), a ? x ≤ 2 ,对称轴 ②当 1 ? a ≤ 2 时,
所以函数 y ? F ( x) 在 ?

1,a ?

上是减函数,在 ?

a, 2 ?

上是增函数,

F (1) ? a 2 ? a , F (2) ? 4a ? 2a2 ,
1)若 F (1) ? F (2) ,即

1? a ?

5 2 3 ,此时函数 y ? F ( x) 的最大值为 4a ? 2a ;

5 ≤a≤2 2 F (1) ≥ F (2) ,即 3 2)若 ,此时函数 y ? F ( x) 的最大值为 a ? a . a x ? ? ?1,2? 2 ③当 2 ? a ≤ 4 时, F ( x) ? ?a( x ? ax) 对称轴 ,
2

a a3 F ( x) max ? F ( ) ? 2 4 , 此时

8

a x ? ? ? 2, ?? ? 2 2 ④当 a ? 4 时,对称轴 ,此时 F ( x)max ? F (2) ? 2a ? 4a
综上可知,函数 y ? F ( x) 在区间 ?

1,2?

上的最大值

[ F ( x)]max

5 ? 2 ? 4a ? 2a , 0 ? a ? 3 , ? ? a 2 ? a, 5 ≤ a ≤ 2, ? 3 ?? ? a3 2 ? a ≤ 4, ? , ?4 ? 2a 2 ? 4a, a ? 4. ?

……………………………………………………16分

9


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