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第48届IMO试题解答


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2O 年第 9期 07

2 1

第 4 届 I O试 题 解 答 8 M
1给定实数 a ,2… , 对每个 (≤ . .a , a . 1
i ) 定义 : ≤n , (a 4 b一1 I4 ). ) ( 口 一1

d=mxaI≤ } i{j i a{j1 ≤i一wnaI 『 t, ≤_ } ≤r 且令 d=m )d I≤ a { 1 ≤r} ( t.

证明: =b 口 . ( 英 国 6 设 n是 一个 正整数 . . 考虑
+Y+z } >0

供题 )

S={ Y z I Y z {,, , } ( ,) , , , ∈ 0 1… n , 这样一 个三 维 空 间 中具 有 ( n+1. 个 点 ) 一1

() 明: 1证 对任 意实数 .≤ :≤…≤
,



·

m ) I 一口I1 ≤n ≥— a{ ( i £I≤ } ;


q )

的集合 . 最少要多少个平面 , 问: 它们 的并集 才能包含 s 但不含( ,,) , 000 ? ( 荷 兰 供题)

() 明: 2证 存在实数 】 2≤… ≤ , ≤ 使得式① 中的等号成立 . ( 新西兰 供题) 2 设 , ,C, . D,E 五 点 中 , 边 形 四 A C 是 平 行 四边 形 , BD 四边 形 B E 是 圆 内 CD 接四边形 . z 设 是通过点 的一条直线 , 与 z 线段 D C交 于点 F( F是线 段 D C的 内点 )且 , z 与直线 B C交于点 G 若 E . F=E G=E , C 求 证 : 是 D B的平分线 . ( z A 卢森堡 供题 ) 3在一次数学竞赛活动中, . 有一些参赛 选 手是朋 友 , 友关 系是相 互 的 . 果 一群参 朋 如 赛选手中的任何两人都是朋友 , 就称这一群 选手为一个" ( 团"特别地 , 人数少于 2 的一群 也是 一个 团) . 已知在这次竞赛中, 最大的团( 人数最多 的团 ) 的人 数 是 一个 偶 数 . 明 : 能 把参 赛 证 总 选 手分配 到 两个 教 室 , 得一 个 教 室 中的最 使 大团的人 数等于另一个教室 中的最大 团的 人数 . ( 罗斯 供 题 ) 俄 4在△ A C中, B A的平分线与△ A C . B C B 的外接圆交 于点 尺 与边 B , C的垂直平分线 交于点 P, 与边 c的垂直平分线交于点 Q. 设 K 分 别 是 边 B , C 的 中点 . 明: , CA 证 △ R K 和△ R L的面积相 等 . P Q ( 捷 克 供题 ) 5设 a b . , 为正整数 . 已知


参 考 答 案
1() d .1 设 =喀(≤g )并记 1 ≤ ,
=m x a I≤ a {j l ≤g}n =v n a I ≤ } ,, a {jg ≤ . i 则 1 p ≤r ≤. ≤g ≤ , d= 一n . 且 对任意 实数 ≤ ≤… ≤ , . : 注意到
( 一 ) 一a ) 一n) 一 ) +(, r =( +( ,
≥ 一 n = d, ,

所 ,一 ≥ 或 一 ≥ . 以 导 号
故 m x I 一n I1 ≤ } a{ I≤i
~ a{ >m x I 一 I I 一n I , , , }

≥】 一p n≥孚 l【 X 一, . a 】 { , }
( ) 法 l定义序列 { } 2解 : 如下 :

ln ' x 一 一 }≤≤ ) =1要, m l 1 }毫鼍 . 一 :a l - ( = , yL ' ' d2 一 z
,: n1一

下 面证 明对这个序列式①取等号 . 由{ } 的定 义知 , } { 是不 减 的 , 且 一 ≥

要, 所 ≤} 立. 对 有1 j 成 ≤
下面我们证 明: 对所有 1 } , ≤j ≤ 有

机一 ≤ 要.
最小下标 , 则要 么 Z , =1要么 Z 2 1 > 且 > 一 . ,



对任意 1 } ≤j ≤ , z z ) 设 ( ≤k 是使得 以 = 的 在这两种情况下都有

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中 等 数 学
钆 = = 一

要.



故 B G= C D. A A

3我们 给出分配选手 的一种 算法 . . 记这两 间教 室分别为 A, 我们从 某 一个初 始排 列开 始 , . 靠每
次调整一人从一个教室到另一个教室作若干次修改

ya ≤ 旺吩1 一.吩 n= ≤ , Lj m {I ≤ }m{I≤≤ } d 一 ≤ m
此时 由式③可得

机 一 ≤一 = . 一 一 d导 导 导r ' -
机 一 = 一 一

来达到 目标 . 在这种 算法 的任何 一 步 , , 分 别表 A 示 教室A, 教室 中选手 的集合 , A) c ) 别 c( , ( 分 表 示教 室 A, 教室 中最大团的人数 .

这就是式② . 从而 , 对所有 1 } l有 ≤J , ≤,


号 一≤ . 导
=

第一步 : M 是所有参赛选 手中的最大 团,MI 设 I
2m .

故 n x If f I≤ l { 一0 I1 ≤, ≤— a l . } 再 由() { 确使式①取等号 . 1知 机} 解法 2 对每一个 i1 ≤, , : (≤ 1 令 ) M =m x I≤. } m =ln I≤. l. a{ 1 , , f { , } ≤i ≤,

将 M 中的所有 成员 分配 到教室 A中, 然后 , 把
另外 的所有成员分配到教室 中 . 因为 M 是所有参

赛选手 中的最大 团, 以, ( ) MI ( . 所 c A =I ≥c ) 第二步 : 只要 c( )>C ) 我 们就从 教 室 A A ( ,
中派一人到教室 中 . 注 意到 C A) ( ) 这说 明 A非空 . ( >C B ,

则 M: {l , ≤ {l , l- l i衄【 , }衄【 , +}M+, 口… 口 …, m { , l , <f +,, }m+. 吼 +, 口}n{ l 口 - i1 … ~m …
这说 明序列 { } { i都是不 减的 , 由它的 M 和 m} 且
定义知 m ≤ ≤M . i

在操作 的每一步 , ( ) c A 减少 1而 c( 至多增

加 1这样在操作结束 时 , , 一定有
C A ≤C ) ( ) ( ≤C( ) . A +1

令 =

, =Mi 由 一帆 可得

在操作结 束时 , 也一定 有 c A) AI m, ( =I ≥ 否
则 , 中的至少 m+1 选手 在教 室 中 , 中的 M 个 M 至多 m一1 个选手在教室 A中, 因此 , C ) ( ≥( ( 一C A) m+1 一(t ) 2 ) 1一1 = , 7 不可能 .



睾 : 邯 i:m . 半 Ti M: i睾 -

故【一 ≤n 【 n粤 衄 } { } . … ≤≤ 粤 - 衄 ≤
再 由() { 使得式①等号成立 . 1知 钆} 2 如 图 1 作 等 腰 . ,
△ E F和等 腰 △ EC C G

第三步 : C A) , 设 ( =k 如果 c( =k 则结论 已 B) ,
成立.

否则 , ( ) +1从上面估计知 c B =k ,
k= I =I AI AnM I m, nM I m. ≥ I ≤

的高 E K和 皿 . 由条 件易

△ A F∽ △ C F D , C
DF — G —C c F
一 一

第 四步 : 如果 存在 一个选手 ∈BnM 和一 个 团 cc 使得 I =k 但 cI +1 C 于是 , 调 整 , 将
到教室 A, 则结 论 已成 立 . 事实 上 , 调整 到 教室 A 后, 教室 A中有 M 的 k+1 个成员 , 因此 , ( =k C A)

+1但 .

等 —

C, )=I 不减 的 , 以 , A) C( I c是 所 c(


— —

=

C B) +1 ( =k .

B C+ C D + F L F K

如果不存在这样 的选 手 , 教室 中 的所 有 则 k 元 团都包含 n M作 为其子集 , +1 这时我们进 行
① 第 五步 .

B D L K 8 C L L

等瓦
.



'

第五步 : 如果 c B :k , ( ) +1选择 中的一个 团 c使得 I =k+1并 移动 c—M 中的一个元 到教 cI ,

~F hLL E: B

E K知 D

R △ B E∽ R △ D E. l L t K

室 A 注意到 I I + >m I n I所以 c—M . =k 1 ≥ , c
② 是非空 的.

所以 , L=藤 藤 E B L
.

我们每次仅 调整一个 人从教 室 到教室 A 所 ,

由 ①② = C~ E 式, 知 篆 △L AK E C
C =C L 面E=1 等

以, ( 至 多减少 1因此 , 这一 个步骤 结束 时 , c ) . 在
总有 c B) . ( =k 这时在教室 A中有个团AnM, 其大
,I J AnMI , 以 , ( ≥k , =k所 C A) .

=C ~ C K G=C F
.

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2O O7年第 9 期 下面证明 : 教室 A中没有人数比 J更大的团 . } 设 pCA是任 意一个团 , 只须证 明 l ≤J 我们 Ql } . 事实上 , 室 A中 的任 意一个 团 p 中, 在两 教 存
种类型的选手 .

2 3
r 一r 一) 一 ( 1=一4 1 一 () 4) = · 1- r 曲一) (口一) 1 1 a. ( 4 nd

因此 , 存在某个正整数 c使得 r 4 e一1 :o .
由 .<b~ 4e = , a 一1 < 一1 c . 4 <.

() 中的一些成员 , 1M 因为 M 是一个团 , 与 他们 B 中的所有成 员都是朋友 ; nM
() 2 在第 五 步从 教 室 B调 整 到教 室 A 中 的选 手, 这种团中的每一 个都 包含 团 Bn M, 因此 , 他们
也与 BnM 中的所有成员都是朋友 .

由构造知 ( o 4 e一1 l4 一1 则 ( , ) 是 ) (a ), 0 c也
坏对 .

性质 2 如果 ( , ) o 6 是坏对 , ( , ) 则 6 o 也是坏对 . 性质 2的证 明 : 注意到
1 4 6 m a 4~一1 ) :1;( n )( .( o ),

从而, Q的所有成员都与 B nM 的所有成员是
朋友 . 而集合 Q, BnM 本身也是 团, 所以 , QU( Bn



( 6 一1 [ b 一( n )] 4 ) 4 4 6
=1b (a 6 '4 一1 0 n d( n —1 ) ) (1 4 6 ) . 0 因此 ,4 6 ) (b 一1 . (n —1 l4 )

M) 也是团 . 因为 M是最 大的团, 又 所以 ,
l ≥l Ml QU( BnM) =l +l l pl BnMl =l +l —l . Ql Ml M1 An 因此 , pl =J l ≤l Ml } An .

下面证 明坏对不存 在 . 用反 证 法 . 假设 存在 一个 坏对 , 取使 得 2 o+6 取得最小值 的坏对 . 如果 o<6 由性质 1 , 知存 在坏对 ( , ) o c 满足 c <6 使得 2 0+c a+6 矛盾 . <2 , 如 果 6<0 由性质 2知( , ) , 6 0 也是" 坏对 "这 时 ,
也有 2 +0<2 6 a+6 矛盾 . ,

故在第五步后 , C A =C B) } 有 ( ) ( =J . 4 如果 A . C= B C,
则 △ A C是 等腰 三 角 B
形, △ 和 △ R K 关 P

于角平 分线 C R是 对 称

这说 明坏对不存在 , o . 故 =b
63 . n个平面 .

的, 结论明显成立 .
如果 A C≠ B 不 C, 妨设 A C<B 如 图 2 C. , 用 0表 示△ A C的外 B 心, 注意到
R △ C ∽ R △ C P, t t K
图2

很容易发现 3 个平 面能满 足要 求 , 如 , 面 例 平 =i)=i ,, 和 =f i , , , , ( =12 … ) 易见这 3 个 平
面 的并集包含 J但不含原点 . 的例子是平面集 s 另外
+,+ =后( =12 … , ) , 后 ,, 3 .

下面证 明 3 是最少可能数 .
. ①


~L c K=L C L=L o e, e O o 且 =

针理

考虑 J个变 量 的非零多 项式 P( , , }

, . 所有 满 足 . , , 机)若 , … 机∈ {, , } 0 1 …, 且

设 z 弦c 是 R的垂直平分线 , z 则 过外 心 0. 由于△ 0 Q是 等腰 三 角形 , 以, Q 是 c . 尸 所 P, R 上关于 z 对称的两点 . 故
R P=c 且 加 =C o, P. 因此 , 由式① , ②得
1

1 2+… + >0的 点 ( , , ^ 都 是 + 1 2 …, )
P( ,2 …, 的零 点 , P( , , , ) , . , 机) 且 0 0 … 0 ≠0 则
d g P ≥ . e



引理 的证 明: J 归纳法 . 对 } 用

当J } =0时 , P≠0知结论成立 . 由 假设结论对 J }




s 雕一 艘

主 : 一. 一 竺 竺 . . 一
.

1 成立 , 下证结论 对 J 立 . } 成

Ns /~ 一 麟 一o C ' i g艘 n c P
.

令 y=机, 设 ( , , , . y 是 P 被 . 2 … 机一 , ) q y =y y一1…( ) () ( ) y— 除的余式 .
因为多项式 Q y 以 y=0 1 …, 为 +1 () ,, 个零

因此 , 撕 J s

=J s

5 称( n —1 l 0 一1 , 0 6的正整数对 . 46 )( ) 但 ≠ 4 ( 6 为" o, ) 坏对" 只须证 明坏对不存在 . , 下面用无穷递降法证明 . 性质 1 如果( , ) 0 6是坏对 , 0<6 则 存在 一 且 ,

点 , 以, 所
P( ,2 … , 一, ) 1 , ^1y =R( , , ,^1y , 1 2… 一 , )

对所有 . , , ly { , , , 成立 . , … 机一 , ∈ 0 1 … } 2 因此 , 也满足引理 的条件 , 进一步有 dgR e~ . , 又明显地 dg ≤dgP, e e 故只要证 明 dg ≥ e
即可 . ( 下转第 3 页) 1

个正整数 c , ( ,) <o使得 o c也是坏对 .
性质 1 的证 明: r 设 = , 则

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2O O7年第 9 期

3 1 故△ 同∞ ∽ △ 0 A c = .

{ 鲫 整解x—. :-:数52 一f l 2 3 , =, :1
若y ≥ , 还有两组整数解
f = ~ 2 , = 一45 21 f 4,
L y=4 5 4 , L y=2 1 2.

在△ C N与△ C M 中 , D A 因为
DC = N A M, C N = C D CM, A

所 以 . C N∽ △ C M. △ D A

所 以, 共有 4组整数解 . 三, 由条件知 +2 n+b f ~1 = , n= ,
: ~ n+ 6

从 , = j 吉 . 而 = = = 凹
故 B N=C N.

五, 获胜 的关键是要看裁判擦去 的是哪个数 . 注意到 23 …, 0 , , 206中有 1 0 2个奇 数 ,1 0 0 3 0

j 2 _. l= 1 b4 3

于是 ,一c c =( —1c (√ —1. 2 =Ⅱ +b √ 3 ) + 23 )
解得 c √ = 3—2 . 因此 , —b 4 b = 3+1 c n =一 3, —c √ , —n=一1 . 故 n +b +c ~a —b —C b c O ,
=

个偶 数 . () 判擦 去的是奇数 , , 1 若裁 此时 乙一定获胜 .
乙不管 甲取什 么数 , 只要还 有 奇数 , 就擦 去奇 数, 这样 , 最后 两个数一定都是偶数 , 从而 , 所剩两数 不互 质 , 乙胜 . 故

_ n 6 (— ) (— ) = + l(一 )+ b c + c n ] 4 √ . [

() 2若裁判擦去 的是偶数 , 此时 , 甲一定获胜 .
设裁 判 擦 去 的 数 是 2 则 将 所 剩 的 数 配 成 m,
10 C :

四, 图 7 联 结 如 ,

A B 因为 弦 C 垂 C, D. D
直 于直 径 A 则 B B, C=
B 所 以, D.
C D= B DC.

,.
0

( ,) … ,2 23 , ( m一2 2 , m一1 , 2 +12 ) (m ,m+2 , )


,

( c , 0 ) 20I 206 . 5

这样 , 不管乙擦 去哪一个数 , 甲都擦去所配数对 中的另一个数 , 后剩 下的两数必然互质 . 最 故甲胜 ,


因 O A:O , C有
O A= C O AC.

所以, 甲获胜的概率为

. ( 许清华 提供 )



D O C, C= A

图7



B D= O A C C.

( 上接 第 2 3页) 将多项式 R写成 Y的降幂形式 :
R( l , , —, ) ,2 … Ily
=

所 以, n 一, 一 ) R( 1 =0( =0 1 …,,, i ,, / 特别 / )
有 ( 一, 一) . n 1 =0

这样就证明了多项式 R ( , , , .满 足 : … 机一) 归纳假设的条件 , 以,e n k ), 所 dgR ≥( 一1 / / .
故 dgR≥ dgR +n k . e e n ≥ n

R( , , , 1 一( , ,, 1 + n l 2 一) … 广+ 1 1 2 一) … y
… +j ( , , ,I1 . c l 0 2 … —)

下证 ( , , , .满足 归纳假设条件 . : … 机一)
事实上 , 考虑多项 式 T y =R O0 … , , ) 易见 dg T , ≤1 这 ( ) (,, 0 y , e (, 1 ) , , 个多项式有 1 根 , =12 … ,, 1 , 个 y ,, 1 1 ; 另一 方面 , T O ≠0 T y ≠0 因此 ,e 由 () 知 ( ) . ds T

引理得证 . 回到原 题 . 假设 Ⅳ个平 面 的并集 包含 S但不 含

原点, 设它们 的方程是 f i t i ~+b i i i . 虑 y+C z+d =0 考
多项式


=/ 且 它的首项系数是 ( ,, 0 ≠0 / , , 00 …,) . 特别地 , k=1的情况 下 , 到系 数 圮 是非 在 得
零的.

Px,z=l ( + i C + 1 (,, b + i d , ,) l y z )
它 的阶为 Ⅳ. 对任何 ( ,o ) , 粕 y , ∈S 这个多项 式有 性质 P( o y , ) x ,o =0但 P O 0 0 ≠0 因此 , ( , ,) . 由引
理得 到 N=dsP>3 . e ~ n 注: 这个 问题 的本质是一个 代数问题 . 它虽有 空 间形式 , 但完全可由平 面结论类似过 去 , 当然平面 问 题具有 同样 的难度 .

类似 地 , 取任 意 n , , … , 一 ∈ { , , , . a , . 0 1 … n} z
且 口 +口 +… + 一 >0 l 2 l .

在多项式 g( : …, y 中令 = , x , , 机一 , ) 得
到 y的多项式 R( 一, 一 , ) , ,, ,, n l, 以 , 1… /为 , =0 /

根且 次数 不大 于 / 因此 , / , , 它是一个零多项式 .

( 朱华伟

提供 )

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