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浙江省温州市瓯海区一中2012-2013学年高二3月月考数学试题 Word版含答案


2012 学年第二学期高二第一次适应性考试数学试卷

一、选择题 (共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1、复数

1+i 3 的虚部是( 1? i
B. 1

) C. ?i ) D. ? cos 2x ) D. i

A. ?1

2、函数 f ( x)

? sin 2 x 的导数 f ?( x) ? ( A. cos 2x B. 2 cos 2x

C. ?2 cos 2x

3、设复数 z1 ? 1 ? 3i, z2 ? 3 ? 2i, 则 A.第一象限

z1 在复平面内对应的点在( z2
C. 第三象限 )

B. 第二象限

D. 第四象限

4、函数 f ( x) ? x3 ? 3x 的单调递减区间是( A. (??, ?1) B. (1, ??)

C. (??, ?1) U (1, ??) D. (?1,1)

5、 已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数为 1,则 B. ?
3 2

lim
x ?0

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? ( 3x
1 3
D. ?

)

A.3

2 3

C.

3 2


6、 已知函数 y ? 2x ? ax ? 36x ? 24 在 x ? 2 处有极值, 则该函数的一个递增区间是 (

3) A. (2,
3

? B. (3, ?)

? C. (2, ?)

3) D. (??,


7、曲线 y ? x 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为( A.

4 3

B.

8 9
)

C.

8 3

D.

4 9

8、已知函数 y ? xf ' ( x) 的图象如图(1)所示(其中 f ' ( x) 是函数 f(x)的导函数),下面四个图象 中,y=f(x)的图象大致是(

9、经过点 (3, 的直线 l 与抛物线 y ? 0) 等于( ) B. ?

x2 的两个交点处的切线相互垂直,则直线 l 的斜率 k 2
1 2
D. ?

1 A. ? 6

1 3

C.

1 2
)

10、已知函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 a、b 的值为( A.a=-4,b=11 C.a=-1,b=5 B.a= 3 ,b= ?3 或 a=-4,b=11 D.以上都不正确

二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、曲线 y=2x3-3x2 共有 个极值. 12、 z ?1 ? i =1,则 z 的最大值=
2

.

13、点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点,则 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是 14、已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方的曲线 上,则这种矩形中面积最大者的边长分别是 和 .

2 15、已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,有

f ( x) ≥ 0 ,则

f (1) 的最小值为 f ?(0)

16、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1)=0,[xf ( x)]' ? 0( x ? 0) ,则不等式 f ( x) ? 0 的解集是 17、已知函数 f ( x) ? ( x ? 2 x)e ,下列说法中正确的有___________.
2 x

(1) f ( x ) 在 R 上有两个极值点;

(2) f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得最大值;

(3) f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得最小值; (4) f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得极小值 (5)函数 f ( x ) 在 R 上有三个不同的零点 三、解答题 18、 (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? x ? 16 .
3

? (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, 6) 处的切线方程;

(2)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标.

19、 (本小题满分 12 分)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x2 ? 4ax , (1)若 x ? 2 是函数 y ? f (x) 的极值点,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,求函数 f (x) 在区间 ? ?1,5? 上的最值. (3)是否存在实数 a ,使得函数 f (x) 在 R 上为单调函数,若是,求出 a 的取值范围, 若不是,请说明理由。

20、 (本小题满分 10 分)设 a ≥ 0 , f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x .
? (Ⅰ)令 F ( x) ? xf ?( x) ,讨论 F ( x) 在 (0, ∞) 内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,恒有 f ( x) ? 0 .

21、 (附加题:本题满分 15 分仅供实验班)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, 其中 a ? R . (1)若 f ( x ) 在区间 (0, e] 上最大值为-3,求 a 的值; (2)当 a ? ?1 时,试推断 f ( x ) ?

ln x 1 ? 是否有实数解。 x 2

2012 学年第二学期高二第一次适应性考试数学试卷答案
一、选择题 (共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
XK

1+i 3 1、复数 的虚部是( 1? i
A. ?1 B. 1

C

) C. ?i B ) D. i

2、函数 f ( x) ? sin 2 x 的导数 f ?( x) ? (

A. cos 2x

B. 2 cos 2x

C. ?2cos 2x

D. ? cos 2x D )

3、设复数 z1 ? 1 ? 3i, z2 ? 3 ? 2i, 则 A.第一象限

z1 在复平面内对应的点在( z2
C. 第三象限 D )

B. 第二象限

D. 第四象限

4、函数 f ( x) ? x3 ? 3x 的单调递减区间是( A. (??, ?1) B. (1, ??)

C. (??, ?1) U (1, ??) D. (?1,1)

5、 已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数为 1,则 B. ?

lim
x ?0

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? ( B 3x
1 3
D. ?

)

A.3

2 3

C.

3 2

6、已知函数 y ? 2x3 ? ax2 ? 36x ? 24 在 x ? 2 处有极值,则该函数的一个递增区间是 ( B ) A. (2, 3) B. (3, ?) ? C. (2, ?) ? D. (??, 3) )

7、曲线 y ? x3 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为( C A.

4 3

B.

8 9
C )

C.

8 3

D.

4 9

8、已知函数 y ? xf ' ( x) 的图象如图(1)所示(其中 f ' ( x) 是函数 f(x)的导函数),下面四个图象 中,y=f(x)的图象大致是(

9、经过点 (3, 的直线 l 与抛物线 y ? 0) 等于( A )

x2 的两个交点处的切线相互垂直,则直线 l 的斜率 k 2

A. ?

1 6

B. ?

1 3

C.

1 2

D. ?

1 2
)

10、已知函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 a、b 的值为( A A.a=-4,b=11 C.a=-1,b=5 B.a= 3 ,b= ?3 或 a=-4,b=11 D.以上都不正确

二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、曲线 y=2x3-3x2 共有 2 个极值. 12、 z ?1 ? i =1,则 z 的最大值=

2+1

.

13、点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是

2

14、已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方的曲线

8 4 3 和 . 3 3 15、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,有 f (1) f ( x) ≥ 0 ,则 的最小值为 2 f ?(0) 16、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1)=0,[xf ( x)]' ? 0( x ? 0) ,则不等式 f ( x) ? 0
上,则这种矩形中面积最大者的边长分别是 的解集是

??1,0? U?1, ???

17、已知函数 f ( x) ? ( x2 ? 2 x)e x ,下列说法中正确的有_(1) (5)__________. (1) f ( x ) 在 R 上有两个极值点; (2) f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得最大值;

(3) f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得最小值; (4) f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得极小值 (5)函数 f ( x ) 在 R 上有三个不同的零点 三、解答题 18、 (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? 16 . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, 6) 处的切线方程; ? (2)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 解: (1) Q f ( x) ? 3x ? 1
' 2

? ? 在点 (2, 6) 处的切线的斜率 k ? f ?(2) ? 3 ? 22 ? 1 ? 13 ,

? 切线的方程为 y ? 13x ? 32 ;
2 (2)设切点为 ( x0,y0 ) ,则直线 l 的斜率为 f ?( x0 ) ? 3x0 ? 1 ,

2 3 ? 直线 l 的方程为: y ? (3x0 ? 1)( x ? x0 ) ? x0 ? x0 ?16 .

又直线 l 过点 (0, , 0)
2 3 ?0 ? (3x0 ?1)(? x0 ) ? x0 ? x0 ?16 , 3 整理,得 x0 ? ?8 , ? x0 ? ?2 ,

? y0 ? (?2)3 ? (?2) ?16 ? ?26 ,
l 的斜率 k ? 3? (?2)2 ? 1 ? 13 ,? 直线 l 的方程为 y ? 13x ,切点坐标为 (?2, 26) . ?
19、 (本小题满分 12 分)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x2 ? 4ax , (1)若 x ? 2 是函数 y ? f (x) 的极值点,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,求函数 f (x) 在区间 ? ?1,5? 上的最值. (3)是否存在实数 a ,使得函数 f (x) 在 R 上为单调函数,若是,求出 a 的取值范围, 若不是,请说明理由。 解: (1) Q f ' ( x) ? 3ax2 ? 4 x ? 4a
' 2

由f ' ( 2 ) 的 a ? 1 ? 0
2 ? x ? ? 或2 3
最大值 55 最小值-8

(2) Q a ? 1? f ( x) ? 3x ? 4x ? 4 ? 0

2 40 f (?1) ? 1, f (? ) ? , f (2) ? ?8, f (5) ? 55 3 27
(3) Q f ( x) ? 3ax ? 4 x ? 4a
' 2

要使得函数 f (x) 在 R 上单调递增
2

' 2 则 f ( x) ? 3ax ? 4 x ? 4a ? 0在R上恒成立 , Q ? ? 16 ? 16 ? 3a ? 0 ? a不存在

20、 (本小题满分 10 分)设 a ≥ 0 , f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x .
? (Ⅰ)令 F ( x) ? xf ?( x) ,讨论 F ( x) 在 (0, ∞) 内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,恒有 f ( x) ? 0 .

(Ⅰ)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ?

2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x

故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 , 于是 F ?( x) ? 1 ? 列表如下:

2 x?2 ? ,x ? 0 , x x

x

(0, 2)

2

(2, ∞) ?

F ?( x)

?
]

0 极小值 F (2)

?
Z

F ( x)

故知 F ( x) 在 (0, 内是减函数,在 (2, ∞) 内是增函数,所以,在 x ? 2 处取得极小值 2) ?

F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .
(Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . ? 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ∞) 内单调增加. ? 所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 . 21、 (附加题:本题满分 15 分仅供实验班)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, 其中 a ? R . (1)若 f ( x ) 在区间 (0, e] 上最大值为-3,求 a 的值; (2)当 a ? ?1 时,试推断 f ( x ) ?

ln x 1 ? 是否有实数解。 x 2
命题人:陈锡敏 审核人:王海勇


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