浙江省温州市瓯海区一中2012-2013学年高二3月月考数学试题 Word版含答案

2012 学年第二学期高二第一次适应性考试数学试卷

一、选择题 (共 10 小题，每小题 4 分,共 40 分) 1、复数

1+i 3 的虚部是（ 1? i
B. 1

） C. ?i ） D． ? cos 2x ） D. i

A. ?1

2、函数 f ( x)

? sin 2 x 的导数 f ?( x) ? （ A． cos 2x B． 2 cos 2x

C． ?2 cos 2x

3、设复数 z1 ? 1 ? 3i, z2 ? 3 ? 2i, 则 A.第一象限

z1 在复平面内对应的点在（ z2
C. 第三象限 ）

B. 第二象限

D. 第四象限

4、函数 f ( x) ? x3 ? 3x 的单调递减区间是（ A. (??, ?1) B. (1, ??)

C. (??, ?1) U (1, ??) D. (?1,1)

5、 已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数为 1，则 B． ?
3 2

lim
x ?0

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? ( 3x
1 3
D． ?

)

A．3

2 3

C．

3 2
）

6、 已知函数 y ? 2x ? ax ? 36x ? 24 在 x ? 2 处有极值， 则该函数的一个递增区间是 （

3) A． (2，
3

? B． (3， ?)

? C． (2， ?)

3) D． (??，
）

7、曲线 y ? x 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为（ A．

4 3

B．

8 9
)

C．

8 3

D．

4 9

8、已知函数 y ? xf ' ( x) 的图象如图(1)所示(其中 f ' ( x) 是函数 f(x)的导函数)，下面四个图象 中，y＝f(x)的图象大致是(

9、经过点 (3， 的直线 l 与抛物线 y ? 0) 等于（ ） B． ?

x2 的两个交点处的切线相互垂直，则直线 l 的斜率 k 2
1 2
D． ?

1 A． ? 6

1 3

C．

1 2
)

10、已知函数 f(x)＝x3－ax2－bx＋a2 在 x＝1 处有极值 10，则 a、b 的值为( A．a＝－4，b＝11 C．a＝－1，b＝5 B．a＝ 3 ，b＝ ?3 或 a＝－4，b＝11 D．以上都不正确

二、填空题(共 7 小题，每小题 4 分,共 28 分) 11、曲线 y=2x3－3x2 共有 个极值. 12、 z ?1 ? i =1，则 z 的最大值=
2

.

13、点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点，则 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是 14、已知矩形的两个顶点位于 x 轴上，另两个顶点位于抛物线 y ＝4－x2 在 x 轴上方的曲线 上，则这种矩形中面积最大者的边长分别是 和 ．

2 15、已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) ， f ?(0) ? 0 ，对于任意实数 x ，有

f ( x) ≥ 0 ，则

f (1) 的最小值为 f ?(0)

16、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， f (1)=0，[xf ( x)]' ? 0( x ? 0) ，则不等式 f ( x) ? 0 的解集是 17、已知函数 f ( x) ? ( x ? 2 x)e ，下列说法中正确的有___________.
2 x

（1） f ( x ) 在 R 上有两个极值点；

（2） f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得最大值；

（3） f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得最小值； （4） f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得极小值 （5）函数 f ( x ) 在 R 上有三个不同的零点 三、解答题 18、 （本小题满分 10 分）已知函数 f ( x) ? x ? x ? 16 ．
3

? （1）求曲线 y ? f ( x) 在点 (2， 6) 处的切线方程；

（2）直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标．

19、 （本小题满分 12 分）设 a ? R ，函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x2 ? 4ax ， （1）若 x ? 2 是函数 y ? f (x) 的极值点，求 a 的值； （2）在（1）的条件下，求函数 f (x) 在区间 ? ?1,5? 上的最值． （3）是否存在实数 a ，使得函数 f (x) 在 R 上为单调函数，若是，求出 a 的取值范围， 若不是，请说明理由。

20、 （本小题满分 10 分）设 a ≥ 0 ， f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x ．
? （Ⅰ）令 F ( x) ? xf ?( x) ，讨论 F ( x) 在 (0， ∞) 内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当 x ? 1 时，恒有 f ( x) ? 0 ．

21、 （附加题：本题满分 15 分仅供实验班）已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, 其中 a ? R . (1)若 f ( x ) 在区间 (0, e] 上最大值为-3，求 a 的值； （2）当 a ? ?1 时，试推断 f ( x ) ?

ln x 1 ? 是否有实数解。 x 2

2012 学年第二学期高二第一次适应性考试数学试卷答案
一、选择题 (共 10 小题，每小题 4 分,共 40 分)
XK

1+i 3 1、复数 的虚部是（ 1? i
A. ?1 B. 1

C

） C. ?i B ） D. i

2、函数 f ( x) ? sin 2 x 的导数 f ?( x) ? （

A． cos 2x

B． 2 cos 2x

C． ?2cos 2x

D． ? cos 2x D ）

3、设复数 z1 ? 1 ? 3i, z2 ? 3 ? 2i, 则 A.第一象限

z1 在复平面内对应的点在（ z2
C. 第三象限 D ）

B. 第二象限

D. 第四象限

4、函数 f ( x) ? x3 ? 3x 的单调递减区间是（ A. (??, ?1) B. (1, ??)

C. (??, ?1) U (1, ??) D. (?1,1)

5、 已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数为 1，则 B． ?

lim
x ?0

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? ( B 3x
1 3
D． ?

)

A．3

2 3

C．

3 2

6、已知函数 y ? 2x3 ? ax2 ? 36x ? 24 在 x ? 2 处有极值，则该函数的一个递增区间是 （ B ） A． (2， 3) B． (3， ?) ? C． (2， ?) ? D． (??， 3) ）

7、曲线 y ? x3 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为（ C A．

4 3

B．

8 9
C )

C．

8 3

D．

4 9

8、已知函数 y ? xf ' ( x) 的图象如图(1)所示(其中 f ' ( x) 是函数 f(x)的导函数)，下面四个图象 中，y＝f(x)的图象大致是(

9、经过点 (3， 的直线 l 与抛物线 y ? 0) 等于（ A ）

x2 的两个交点处的切线相互垂直，则直线 l 的斜率 k 2

A． ?

1 6

B． ?

1 3

C．

1 2

D． ?

1 2
)

10、已知函数 f(x)＝x3－ax2－bx＋a2 在 x＝1 处有极值 10，则 a、b 的值为( A A．a＝－4，b＝11 C．a＝－1，b＝5 B．a＝ 3 ，b＝ ?3 或 a＝－4，b＝11 D．以上都不正确

二、填空题(共 7 小题，每小题 4 分,共 28 分) 11、曲线 y=2x3－3x2 共有 2 个极值. 12、 z ?1 ? i =1，则 z 的最大值=

2+1

.

13、点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点，则 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是

2

14、已知矩形的两个顶点位于 x 轴上，另两个顶点位于抛物线 y ＝4－x2 在 x 轴上方的曲线

8 4 3 和 ． 3 3 15、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) ， f ?(0) ? 0 ，对于任意实数 x ，有 f (1) f ( x) ≥ 0 ，则 的最小值为 2 f ?(0) 16、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， f (1)=0，[xf ( x)]' ? 0( x ? 0) ，则不等式 f ( x) ? 0
上，则这种矩形中面积最大者的边长分别是 的解集是

??1,0? U?1, ???

17、已知函数 f ( x) ? ( x2 ? 2 x)e x ，下列说法中正确的有_（1） （5）__________. （1） f ( x ) 在 R 上有两个极值点； （2） f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得最大值；

（3） f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得最小值； （4） f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得极小值 （5）函数 f ( x ) 在 R 上有三个不同的零点 三、解答题 18、 （本小题满分 10 分）已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? 16 ． （1）求曲线 y ? f ( x) 在点 (2， 6) 处的切线方程； ? （2）直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标． 解： （1） Q f ( x) ? 3x ? 1
' 2

? ? 在点 (2， 6) 处的切线的斜率 k ? f ?(2) ? 3 ? 22 ? 1 ? 13 ，

? 切线的方程为 y ? 13x ? 32 ；
2 （2）设切点为 ( x0，y0 ) ，则直线 l 的斜率为 f ?( x0 ) ? 3x0 ? 1 ，

2 3 ? 直线 l 的方程为： y ? (3x0 ? 1)( x ? x0 ) ? x0 ? x0 ?16 ．

又直线 l 过点 (0， ， 0)
2 3 ?0 ? (3x0 ?1)(? x0 ) ? x0 ? x0 ?16 ， 3 整理，得 x0 ? ?8 ， ? x0 ? ?2 ，

? y0 ? (?2)3 ? (?2) ?16 ? ?26 ，
l 的斜率 k ? 3? (?2)2 ? 1 ? 13 ，? 直线 l 的方程为 y ? 13x ，切点坐标为 (?2， 26) ． ?
19、 （本小题满分 12 分）设 a ? R ，函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x2 ? 4ax ， （1）若 x ? 2 是函数 y ? f (x) 的极值点，求 a 的值； （2）在（1）的条件下，求函数 f (x) 在区间 ? ?1,5? 上的最值． （3）是否存在实数 a ，使得函数 f (x) 在 R 上为单调函数，若是，求出 a 的取值范围， 若不是，请说明理由。 解： （1） Q f ' ( x) ? 3ax2 ? 4 x ? 4a
' 2

由f ' ( 2 ) 的 a ? 1 ? 0
2 ? x ? ? 或2 3
最大值 55 最小值-8

（2） Q a ? 1? f ( x) ? 3x ? 4x ? 4 ? 0

2 40 f (?1) ? 1, f (? ) ? , f (2) ? ?8, f (5) ? 55 3 27
（3） Q f ( x) ? 3ax ? 4 x ? 4a
' 2

要使得函数 f (x) 在 R 上单调递增
2

' 2 则 f ( x) ? 3ax ? 4 x ? 4a ? 0在R上恒成立 ， Q ? ? 16 ? 16 ? 3a ? 0 ? a不存在

20、 （本小题满分 10 分）设 a ≥ 0 ， f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x ．
? （Ⅰ）令 F ( x) ? xf ?( x) ，讨论 F ( x) 在 (0， ∞) 内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当 x ? 1 时，恒有 f ( x) ? 0 ．

（Ⅰ）解：根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ?

2 ln x 2a ? ，x ? 0 ， x x

故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a，x ? 0 ， 于是 F ?( x) ? 1 ? 列表如下：

2 x?2 ? ，x ? 0 ， x x

x

(0， 2)

2

(2， ∞) ?

F ?( x)

?
]

0 极小值 F (2)

?
Z

F ( x)

故知 F ( x) 在 (0， 内是减函数，在 (2， ∞) 内是增函数，所以，在 x ? 2 处取得极小值 2) ?

F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ．
（Ⅱ）证明：由 a ≥ 0 知， F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 ． 于是由上表知，对一切 x ? (0， ∞) ，恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 ． ? 从而当 x ? 0 时，恒有 f ?( x) ? 0 ，故 f ( x) 在 (0， ∞) 内单调增加． ? 所以当 x ? 1 时， f ( x) ? f (1) ? 0 . 21、 （附加题：本题满分 15 分仅供实验班）已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, 其中 a ? R . (1)若 f ( x ) 在区间 (0, e] 上最大值为-3，求 a 的值； （2）当 a ? ?1 时，试推断 f ( x ) ?

ln x 1 ? 是否有实数解。 x 2
命题人：陈锡敏 审核人：王海勇