2012 学年第二学期高二第一次适应性考试数学试卷
一、选择题 (共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1、复数
1+i 3 的虚部是( 1? i
B. 1
) C. ?i ) D. ? cos 2x ) D. i
A. ?1
2、函数 f ( x) ? sin 2 x 的导数 f ?( x) ? ( A. cos 2x B. 2 cos 2x
C. ?2 cos 2x
3、设复数 z1 ? 1 ? 3i, z2 ? 3 ? 2i, 则 A.第一象限
z1 在复平面内对应的点在( z2
C. 第三象限 )
B. 第二象限
D. 第四象限
4、函数 f ( x) ? x3 ? 3x 的单调递减区间是( A. (??, ?1) B. (1, ??)
C. (??, ?1) U (1, ??) D. (?1,1)
5、 已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数为 1,则 B. ?
3 2
lim
x ?0
f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? ( 3x
1 3
D. ?
)
A.3
2 3
C.
3 2
)
6、 已知函数 y ? 2x ? ax ? 36x ? 24 在 x ? 2 处有极值, 则该函数的一个递增区间是 (
3) A. (2,
3
? B. (3, ?)
? C. (2, ?)
3) D. (??,
)
7、曲线 y ? x 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为( A.
4 3
B.
8 9
)
C.
8 3
D.
4 9
8、已知函数 y ? xf ' ( x) 的图象如图(1)所示(其中 f ' ( x) 是函数 f(x)的导函数),下面四个图象 中,y=f(x)的图象大致是(
9、经过点 (3, 的直线 l 与抛物线 y ? 0) 等于( ) B. ?
x2 的两个交点处的切线相互垂直,则直线 l 的斜率 k 2
1 2
D. ?
1 A. ? 6
1 3
C.
1 2
)
10、已知函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 a、b 的值为( A.a=-4,b=11 C.a=-1,b=5 B.a= 3 ,b= ?3 或 a=-4,b=11 D.以上都不正确
二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、曲线 y=2x3-3x2 共有 个极值. 12、 z ?1 ? i =1,则 z 的最大值=
2
.
13、点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点,则 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是 14、已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方的曲线 上,则这种矩形中面积最大者的边长分别是 和 .
2 15、已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,有
f ( x) ≥ 0 ,则
f (1) 的最小值为 f ?(0)
16、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1)=0,[xf ( x)]' ? 0( x ? 0) ,则不等式 f ( x) ? 0 的解集是 17、已知函数 f ( x) ? ( x ? 2 x)e ,下列说法中正确的有___________.
2 x
(1) f ( x ) 在 R 上有两个极值点;
(2) f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得最大值;
(3) f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得最小值; (4) f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得极小值 (5)函数 f ( x ) 在 R 上有三个不同的零点 三、解答题 18、 (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? x ? 16 .
3
? (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, 6) 处的切线方程;
(2)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标.
19、 (本小题满分 12 分)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x2 ? 4ax , (1)若 x ? 2 是函数 y ? f (x) 的极值点,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,求函数 f (x) 在区间 ? ?1,5? 上的最值. (3)是否存在实数 a ,使得函数 f (x) 在 R 上为单调函数,若是,求出 a 的取值范围, 若不是,请说明理由。
20、 (本小题满分 10 分)设 a ≥ 0 , f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x .
? (Ⅰ)令 F ( x) ? xf ?( x) ,讨论 F ( x) 在 (0, ∞) 内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,恒有 f ( x) ? 0 .
21、 (附加题:本题满分 15 分仅供实验班)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, 其中 a ? R . (1)若 f ( x ) 在区间 (0, e] 上最大值为-3,求 a 的值; (2)当 a ? ?1 时,试推断 f ( x ) ?
ln x 1 ? 是否有实数解。 x 2
2012 学年第二学期高二第一次适应性考试数学试卷答案
一、选择题 (共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
XK
1+i 3 1、复数 的虚部是( 1? i
A. ?1 B. 1
C
) C. ?i B ) D. i
2、函数 f ( x) ? sin 2 x 的导数 f ?( x) ? (
A. cos 2x
B. 2 cos 2x
C. ?2cos 2x
D. ? cos 2x D )
3、设复数 z1 ? 1 ? 3i, z2 ? 3 ? 2i, 则 A.第一象限
z1 在复平面内对应的点在( z2
C. 第三象限 D )
B. 第二象限
D. 第四象限
4、函数 f ( x) ? x3 ? 3x 的单调递减区间是( A. (??, ?1) B. (1, ??)
C. (??, ?1) U (1, ??) D. (?1,1)
5、 已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数为 1,则 B. ?
lim
x ?0
f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? ( B 3x
1 3
D. ?
)
A.3
2 3
C.
3 2
6、已知函数 y ? 2x3 ? ax2 ? 36x ? 24 在 x ? 2 处有极值,则该函数的一个递增区间是 ( B ) A. (2, 3) B. (3, ?) ? C. (2, ?) ? D. (??, 3) )
7、曲线 y ? x3 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为( C A.
4 3
B.
8 9
C )
C.
8 3
D.
4 9
8、已知函数 y ? xf ' ( x) 的图象如图(1)所示(其中 f ' ( x) 是函数 f(x)的导函数),下面四个图象 中,y=f(x)的图象大致是(
9、经过点 (3, 的直线 l 与抛物线 y ? 0) 等于( A )
x2 的两个交点处的切线相互垂直,则直线 l 的斜率 k 2
A. ?
1 6
B. ?
1 3
C.
1 2
D. ?
1 2
)
10、已知函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 a、b 的值为( A A.a=-4,b=11 C.a=-1,b=5 B.a= 3 ,b= ?3 或 a=-4,b=11 D.以上都不正确
二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、曲线 y=2x3-3x2 共有 2 个极值. 12、 z ?1 ? i =1,则 z 的最大值=
2+1
.
13、点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是
2
14、已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方的曲线
8 4 3 和 . 3 3 15、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,有 f (1) f ( x) ≥ 0 ,则 的最小值为 2 f ?(0) 16、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1)=0,[xf ( x)]' ? 0( x ? 0) ,则不等式 f ( x) ? 0
上,则这种矩形中面积最大者的边长分别是 的解集是
??1,0? U?1, ???
17、已知函数 f ( x) ? ( x2 ? 2 x)e x ,下列说法中正确的有_(1) (5)__________. (1) f ( x ) 在 R 上有两个极值点; (2) f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得最大值;
(3) f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得最小值; (4) f ( x ) 在 x ? 2 ? 6 处取得极小值 (5)函数 f ( x ) 在 R 上有三个不同的零点 三、解答题 18、 (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? 16 . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, 6) 处的切线方程; ? (2)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 解: (1) Q f ( x) ? 3x ? 1
' 2
? ? 在点 (2, 6) 处的切线的斜率 k ? f ?(2) ? 3 ? 22 ? 1 ? 13 ,
? 切线的方程为 y ? 13x ? 32 ;
2 (2)设切点为 ( x0,y0 ) ,则直线 l 的斜率为 f ?( x0 ) ? 3x0 ? 1 ,
2 3 ? 直线 l 的方程为: y ? (3x0 ? 1)( x ? x0 ) ? x0 ? x0 ?16 .
又直线 l 过点 (0, , 0)
2 3 ?0 ? (3x0 ?1)(? x0 ) ? x0 ? x0 ?16 , 3 整理,得 x0 ? ?8 , ? x0 ? ?2 ,
? y0 ? (?2)3 ? (?2) ?16 ? ?26 ,
l 的斜率 k ? 3? (?2)2 ? 1 ? 13 ,? 直线 l 的方程为 y ? 13x ,切点坐标为 (?2, 26) . ?
19、 (本小题满分 12 分)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x2 ? 4ax , (1)若 x ? 2 是函数 y ? f (x) 的极值点,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,求函数 f (x) 在区间 ? ?1,5? 上的最值. (3)是否存在实数 a ,使得函数 f (x) 在 R 上为单调函数,若是,求出 a 的取值范围, 若不是,请说明理由。 解: (1) Q f ' ( x) ? 3ax2 ? 4 x ? 4a
' 2
由f ' ( 2 ) 的 a ? 1 ? 0
2 ? x ? ? 或2 3
最大值 55 最小值-8
(2) Q a ? 1? f ( x) ? 3x ? 4x ? 4 ? 0
2 40 f (?1) ? 1, f (? ) ? , f (2) ? ?8, f (5) ? 55 3 27
(3) Q f ( x) ? 3ax ? 4 x ? 4a
' 2
要使得函数 f (x) 在 R 上单调递增
2
' 2 则 f ( x) ? 3ax ? 4 x ? 4a ? 0在R上恒成立 , Q ? ? 16 ? 16 ? 3a ? 0 ? a不存在
20、 (本小题满分 10 分)设 a ≥ 0 , f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x .
? (Ⅰ)令 F ( x) ? xf ?( x) ,讨论 F ( x) 在 (0, ∞) 内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,恒有 f ( x) ? 0 .
(Ⅰ)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ?
2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x
故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 , 于是 F ?( x) ? 1 ? 列表如下:
2 x?2 ? ,x ? 0 , x x
x
(0, 2)
2
(2, ∞) ?
F ?( x)
?
]
0 极小值 F (2)
?
Z
F ( x)
故知 F ( x) 在 (0, 内是减函数,在 (2, ∞) 内是增函数,所以,在 x ? 2 处取得极小值 2) ?
F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .
(Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . ? 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ∞) 内单调增加. ? 所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 . 21、 (附加题:本题满分 15 分仅供实验班)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, 其中 a ? R . (1)若 f ( x ) 在区间 (0, e] 上最大值为-3,求 a 的值; (2)当 a ? ?1 时,试推断 f ( x ) ?
ln x 1 ? 是否有实数解。 x 2
命题人:陈锡敏 审核人:王海勇