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高二数学必修4


弧度制

角度制
1、用“度”作单位来度量角的单位 制称作 “角度制”,规定:圆周 1/360的圆心角称作1°角.

2、角度制的单位有:度、分、秒.
3、在角度制下,当把两个带着度、分、秒为 单位的角相加、相减时,由于运算进率不是十进 制,总给我们带来不少困难.那么我们能否重新 选择角的单位,使在该单位制下两角的加、

减运 算与常规的十进制加减法一样去做呢?

弧度制
1、1弧度角的定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角. B L=r 1弧度 设弧AB的长为L, A O r

L 若L=r,则∠AOB= =1 弧度 r

L = 2 弧度 若L=2r,则∠AOB= r L = 2π 弧度 若L=2 π r,则∠AOB= r
B
2弧度

L=2r O r A
2π弧度

L=2 π r

O

r

A(B)

若圆心角∠AOB表示一个负角,且它 所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度 数的绝对值是 L = 3,

r

L = -3弧度 即∠AOB=- r
O
B

r

A

-3弧度
L=3r

2.一般地,我们规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝 对值:

︱α︱=

L r

其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径.这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制.

由弧度的定义可知:

定 义 的 合 理 性

圆心角∠AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径 长的比的绝对值.

B
B

L=r
1弧度

L=r 1弧度 A O O r r

A

3、弧度与角度的换算
若L=2 π r,则∠AOB=
此角为周角 即为360°
2π弧度

L =2π弧度 r
L=2 π r O r (B) A

360°= 2π 弧度 180°= π 弧度

由180°= 1° = 180

π 弧度 还可得

π —— 弧度 ≈ 0.01745弧度 π

180 1弧度 =(——)°≈ 57.30°= 57°18′

4、例1
(1)把67°化成弧度. 3 (2)把 —π 弧度化成度. 5

例2. 把下列各角化成弧度. (1) 67 ° , (2)120 ° , (3)75 ° , (4)135 °,
(5) 300 ° , (6) - 210 ° , (7)22 ° , (8)225 °,

例3. 把下列各弧度化成度. (1)3π/5 , (2) π/12 ,(3) 3π/10 , (4) – π/5 (5) - 12 π , (6) 5π/6 , (7) 7π/12.

注:
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算 要熟记.
度 弧 度
0° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 ° 270° 360°

0

?
6

?
4

?
3

?
2

?

3? 2

2?

2、用弧度为单位表示角的大小时, “弧度”二字通常省略不写,但用 “度”(°)为单位时不能省.

3、用弧度为单位表示角时,通常写
成“多少π”的形式.

4、用弧度来度量角,实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系:
正角 零角 正实数 零
对应角的 弧度数

负角

负实数

角的集合

实数集R

小结:
1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个 仅与角α大小有关的常数,所以作为度 量角的标准.

2.量角的制度,除了角度制与弧度制以外, 还有其他的制度,弧度制除了使角与实 数有一一对应关系外,为以后学习三角 函数打下基础. 3.能熟练地进行角度与弧度之间的换算.

例题讲解
弧长公式和扇形面积公式
l 1、弧长公式: 由 ? ? 得: l? r

? ?r

1 1 2 2、扇形面积公式: S ? lr ? r ? 2 2

练习:求图中公路弯道处弧 ? AB的长 。 (精确 到1m ,图中长度单位: m ) 解:60 ?
?

?
3

? l ? ? R ? ? 45 ? 3.14 ? 15 ? 47(m) 3 答:弯道处 ? AB的长约为47m.

? 例4:已知扇形的周长为8cm,圆心角

为2弧度,求该扇形的面积.
解:设扇形的半径为r,弧长为

l

,则有

?2r ? l ? 8, ?r ? 2, ?l ? 2r , 解得 ?l ? 4. ? ? 1 2 故扇形的面积为S ? rl ? 4(cm ). 2


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