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2.3(3)直线平面垂直的判定及其性质(教学设计)


2.3(3)直线与平面垂直的判定及其性质(教学设计) 2.3.3 直线与平面垂直的性质院 一、教学目标 1、知识与技能 (1)掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; (2)能运用性质定理解决一些简单问题; (3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系. 2、过程与方法 (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;

(2)经历面面垂直到线面垂直再到线线垂直的思维过程. 3、情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认,推理证明” ,形成空间思维意识,会用图形和符号表达空间图形,体验数学的应用价 值. 二、教学重点、难点 重点:线面垂直和面面垂直的性质定理的证明及应用. 难点:线面垂直和面面垂直的两个性质定理的应用. 三、教学方法与教学用具 (1)教学方法:直观感知、操作确认,猜想与证明. (2)教学用具:长方体模型 四、教学设计 (一)复习回顾 1、直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 2、两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 (二)创设情景,导入新课 设问:若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢? (三)师生互动,新课讲解 1、思考引出线面垂直的性质定理 思考 1:观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系.在长方体 ABCD—A B C D 中,棱 AA 、BB 、CC 、DD 所在直线都垂直于平面 ABCD,它们之间是有什么位置关系?
1 1 1 1 1 1 1 1

2.3.4 平面与平面垂直的性质

1

思考 2:已知直线 a⊥α 、b⊥α 、那么直线 a、b 一定平行吗?(一定)我们能否证明这一事实的正确性呢?

证明:假定 b 不平行于 a,设 ? ? b ? O , b’是经过点 O 的两直线 a 平行的直线.

? a ∥b’, a ? ? ,? b’ ? ?
即经过同一点 O 的两直线 b ,b’都与 ? 垂直,这是不可能的,因此 b∥a. 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。

2. 类比上面定理得到面面垂直的性质定理 思考:若在两个平面互相垂直的条件下,又会得出怎样的结论呢?例如:如何在黑板面上画一条与地面垂直的直 线? 已知:面α ⊥面β ,α ∩β = a, AB ? α , AB⊥a 于 B, 求证:AB⊥β (让学生思考怎样证明) 分析:要证明直线垂直于平面,须证明直线垂直于平面内两条相交直线,而题中条件已有一条,故可过该直线作 辅助线. 证明:在平面β 内过 B 作 BE⊥a, 又∵AB⊥a, ∴∠ABE 为α ﹣a﹣β 的二面角, 又∵α ⊥β , ∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B, ∴AB⊥β 引导学生观察教室相邻两面墙的交线,容易发现该交线与地面垂直,这时,只要在黑板上画出一条与这交线平行 的直线,则所画直线必与地面垂直。然后师生互动,共同完成性质定理的确认与证明,并归纳性质定理: 定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 (三)概念辨析,巩固提高 思考 1、设平面α ⊥平面β ,点 P 在平面α 内,过点 P 作平面β 的垂线 a,直线 a 与平面α 具有什么位置关系? (答:直线 a 必在平面α 内) 思考 2、已知平面α 、β 和直线 a,若α ⊥β ,a⊥β ,a?α ,则直线 a 与平面α 具有什么位置关系?
2

例 1(课本 P72 例 4)已知平面 ? , ? ,? ? ? ,直线 a 满足 a ? ? ,a ? ? ,试判断直线 a 与平面 ? 的位置关系。

例 2: 空间四边形 ABCD 中, Δ ABD 与Δ BCD 都为正三角形, 面 ABD⊥面 BCD, 试在平面 BCD 内找一点, 使 AE⊥面 BCD, 请说明理由 解:在Δ ABD 中,∵AB=AD,取 BD 的中点 E, 连结 AE,则 AE 为 BD 的中线 ∴AE⊥BD 又∵面 BCD∩面 ABD=BD, 面 ABD⊥面 BCD ∴AE⊥面 BCD 例 3:如图,已知 PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC,求证:BC⊥平面 PAB

证明:过点 A 作 AE⊥PB,垂足为 E, ∵平面 PAB⊥平面 PBC, 平面 PAB∩平面 PBC=PB, ∴AE⊥平面 PBC ∵BC ? 平面 PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面 ABC,BC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面 PAB (四)课堂小结,巩固反思: 小结: (1)请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么? (2)类比两个性质定理,你发现它们之间有何联系?
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平面 ABC

(五)布置作业: A 组: 1、 (课本 P73 习题 2.3A 组第 5 题)

2、 (课本 P73 习题 2.3A 组第 6 题)

3、 (课本 P73 习题 2.3A 组第 8 题)

B 组: 1、 (课本 P73 习题 2.3B 组第 2 题)

2、 (课本 P73 习题 2.3B 组第 3 题)

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