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射影定理


直角三角形的射影定理

【定义】
从一点向一直线所引垂线的垂足,叫 做这个点在这条直线上的正射影.

A

M

A’

N

【定义】
一条线段在直线上的正射影,是指线 段的两个端点在这条直线上的正射影间 的线段.
A B

M

A’

B’

N

【问题】

直角⊿ABC中AD与CD、BD 与CD、BC与AC等相互垂直,这 些线段之间的某些关系?
C

A

D

B

【问题探究】
在Rt⊿ABC中, (1)⊿ACD与⊿CBD之间有什么关系? (2)⊿ACD 与⊿ABC之间有什么关系? (3)⊿ABC与⊿CBD 之间有什么关系?
C

A

D

B

【射影定理】
(1)直角三角形斜边上的高是两直角边在斜 边上射影的比例中项;
(2)两直角边分别是它们在斜边上射影与斜 边的比例中项.
C

A

D

B

【知识应用1】 用射影定理证明勾股定理。
C

A

D

B

【练习1】

如图:在Rt⊿ABC中,CD⊥AB, AC=6,AD= 3 3 ,求BC的长。
C

A

D

B

【知识应用2】 如图: 圆O上一点C在直径AB上的 射影为D,AD=8,DB=2,求CD、 AC和BC的长。
C

A

D

B

【练习2】

在Rt⊿ABC中,CD是斜边AB 上的高、在图中的六条线段中,你 认为只要知道几条线段的长,就可 以求其他线段的长?
C

A

D

B

【知识应用3】 如图:在⊿ABC中,顶点C在AB边 上的射影为D,且CD2=AD· DB。

求证: ⊿ABC是直角三角形。
C

A

D

B

【练习3】

在矩形ABCD中, AB=a , BC=b, M是BC的中点,DE⊥AM,E是垂足, 求DE.
A
E D

B

M

C

【课堂小结】
直角三角形的射影定理:
(1)直角三角形斜边上的高是两直角边在斜 边上射影的比例中项; (2)两直角边分别是它们在斜边上射影与斜 边的比例中项.

【课后作业】

P22

T1,T2,T3.


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